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培优点13数列中的奇、偶项问题专题三

数列数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列.解因为[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，所以[3＋(－1)2n－1]a2n＋1－2a2n－1＋2[(－1)2n－1－1]＝0，即a2n＋1－a2n－1＝2，又bn＝a2n－1，所以bn＋1－bn＝a2n＋1－a2n－1＝2，所以{bn}是以b1＝a1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*.(2)记数列{an}的前2n项和为T2n，求T2n.解对于[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，当n为偶数时，可得(3＋1)an＋2－2an＋2(1－1)＝0，当n为奇数时，可得(3－1)an＋2－2an＋2(－1－1)＝0，即an＋2－an＝2，所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)能力提升(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；②含有(－1)n的类型；③含有{a2n}，{a2n－1}的类型；④已知条件明确的奇偶项问题.(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.跟踪演练1231.数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于A.200 B.－200

C.400

D.－400√解析S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.1232.已知数列{an}的前n项和Sn＝(－1)n·n，若对任意的正整数n，使得(an＋1－p)·(an－p)<0恒成立，则实数p的取值范围是________.(－1,3)123解析当n＝1时，a1＝S1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)nn－(－1)n－1(n－1)＝(－1)n(2n－1).因为对任意的正整数n，(an＋1－p)(an－p)<0恒成立，所以[(－1)n＋1(2n＋1)－p][(－1)n(2n－1)－p]<0.①当n是正奇数时，化为[p－(2n＋1)][p＋(2n－1)]<0，解得1－2n<p<2n＋1，因为对任意的正奇数n都成立，取n＝1时，可得－1<p<3.②当n是正偶数时，化为[p－(2n－1)][p＋(1＋2n)]<0，解得－1－2n<p<2n－1，123因为对任意的正偶数n都成立，取n＝2时，可得－5<p<3.所以实数p的取值范围是(－1,3).123123因为bn＝a2n＋a2n－1，123123(2)求数列{an}的通项公式；

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