电路分析与仿真教程课件

第1章

电路的基本概念和基本定律

教学提示：本章主要介绍电路：电路的组成与功能；电路的基本物理量；基尔霍夫定律；电路的等效；理想电源及其等效变换；受控电源。

教学要求：初步掌握电路的组成与功能；理解电路的基本物理量：电流、电压、电功率；掌握基尔霍夫定律、电路的等效在电路中的应用；掌握电源及其等效变换的方法；理解受控电源的原理。1.1电路

人们在现实生活中越来越多地使用电路，我们所讲的电路都是由实际电路抽象而来的，由理想电路元件构成了电路模型，作为研究电路的基础。那么什么是电路呢？简言之，电路就是电流流过各种元部件所流经的路径。1.1.1电路的组成及功能

在日常生活中，人们最常见的电路，如电灯、收音机、电视机、计算机、电风扇等各种电路，它们是由各种电路基本元部件(如电阻器、电容器、电感器、二极管、三极管、变压器、指示器等)组成的总体。现实世界中的电路形式是各种各样的，有的甚至是非常复杂的，但不论电路多么复杂，它们都是由三个基本部分组成，即电源、负载和中间环节。(1)电源：它是向电路提供电能的装置，其作用是可以将其他形式的能量，如化学能、光能、热能、机械能等非电能转换为电能。(2)负载：它是电路中的用电器，各种负载进行能量转换的形式各有不同，如电灯是将电能转变成热能和光能。(3)中间环节：它是利用各种元部件将电源和负载连接起来构成闭合电路，并对整个电路起着传输和分配能量、控制、保护和测量的作用。

图1.1所示是一个最简单的电路——手电筒电路，它由电源(电池)、负载(灯泡)和中间环节(导线、开关)三部分组成。当开关闭合时，电流从电源的正极通过导线流过灯泡中的灯丝，并回到电源负极。当灯丝有电流流过时，就将电能变成了热能和光能。日常生活中，人们熟悉的用电器，如电视机、电风扇、冰箱等都是利用电能转换成人们所需要的各种其他能量。图1.1手电筒电路

总而言之，虽然实际电路种类繁多，但从本质上来说，都是由电源、负载和中间环节三部分组成，因此又称为组成电路的三要素。1.1.2电路模型

实际中的电路种类很多，较复杂的电路中有成千上万个元器件，所以用实物画出的电路元器件让人们直观就认出来是什么肯定是不现实的，例如图1.1所描述的手电筒电路是最简单的电路，虽然人们一眼就能认出哪个是电池、哪个是开关、哪个是灯泡，但画起来很烦，就不要说更复杂的电路了，所以人们把组成电路的实际元器件加以理想化。采用足以反映实物主要性质的一些符号来近似代替所用的元器件，这些符号就称为元件的模型，用这些符号画出的电路图就称为电路模型。这里给出电路中最基本的三种元器件，理想电阻、电容、电感的元件模型，分别如图1.2(a)、(b)、(c)所示。图1.2理想化电路元件模型

关于理想化，这里还要强调一下：所谓“理想”，是指对某一个元件仅仅是近似它的主要功能，而有些影响在某种条件下是可以忽略不计的，例如一个电感元件是用漆包铜线绕制而成，那么用的这一段铜线就会存在一些电阻，而所绕的电感元件的线圈之间也会存在一些分布电容，在理想电感中把存在的微量电阻和电容都忽略不计了。所以说，真正理想电路元件在实际中并不存在，但又源于实际电路中，这种只抓主要矛盾的方法在电路分析中起到重要作用。

这里所介绍的各种电路模型，只适用于低频电路中，这些电路的各电路元件基本上都是“集中参数元件

”(存在的微量电阻、电容可忽略不计)，而高频电路中，有时还必须考虑电感元件中存在的电阻和电容的影响(这种现象在其他电路元件中也存在)，则可用“分布电路模型”来描述电路，将一个理想的电感L串一个理想电阻R或者再加一个理想电容C来等效实际电感，等效模型如图1.3所示。图1.3分布电路模型

有了电路模型的概念，可以将图1.1所示的手电筒电路，用一个手电筒的电路模型来表示，如图1.4所示。图1.4手电筒电路的电路模型

图中，R表示灯泡；S表示开关；Us表示电池两端电压；Rs表示电池的内阻。在实际使用手电筒的过程中，当手电筒用过一段时间，电池的内阻Rs会增大，电压Us会减小，流过负载灯泡R的电流会减少，所以灯泡不会太亮甚至不亮。1.2电路的基本物理量

在电路分析中，电流、电压和电功率是电路的基本物理量，这三个物理量在电路中起到至关重要的作用。1.2.1电流

电荷有规则的定向移动形成了电流，它有大小和方向，在直流电路中，电流的大小和方向不随时间变化；在交流电路中，电流的大小和方向是按正弦规律变化。电流的大小称电流强度，即单位时间内通过导体横截面的电荷量，电流强度表示式为(1.1)

在直流电路中，电流的大小和方向不随时间变化，电流强度表示式为(1.2)

在式(1.1)中，用表示随时间变化的电流，用dq表示在dt时间内通过导体横截面的电荷量；在式(1.2)中，用I表示直流电流，用Q表示在时间t内通过导体横截面的电荷量；电荷量q的单位是库[仑](C)，时间单位为秒(s)，电流强度单位是安[培](A)。

对于很小的电流可用毫安(mA)、微安(µA)甚至用纳安(nA)，它们之间的换算关系为1A=103mA=106µA=109nA1.2.2电压

电压实际上是电路中两点之间的电位差。在介绍电压之前，有必要先介绍一下电位，那么什么是电位？在进行电路分析时，引入电位的概念可以使得分析电路简单化，如果将各点的电位标于电路图上，有利于对电路的分析。电位是一种由电路中的位置所确定的势能，首先要确定能计算电位的起点即零参考点，并将以参考点的电位定为零值。电器设备中常把汇集到金属机壳、金属底板等公共点，作为电路参考点，常用电器符号“⊥”表示，称作接地。这里指的接地并不一定与真的大地连接，而仅仅是作为电路的一个基准，以便用来确定其他各点电位的值。

比如，参考点的电位为零值，电路中某一点的电位值就是这一点与参考点两点间的电位差。电路中各点相对于参考点的电位用V表示，单位为伏[特](V)，如a点电位用Va表示，b点电位用Vb表示，那么电压与电位的关系为

即电路中任意两点间电压，就是两点间的电位差，a、b两点间电压Uab在数值上等于随时间变化的电压U，把电荷dq由a点移到b点所做的功。其表示式为(1.3)

对于电压单位在不同的场合下有不同的表示，大的电压单位用千伏(kV)，很小的电压单位用毫伏(mV)或更小的电压单位可用微伏(µV)表示。它们之间的换算关系为1kV=103V1V=103mV=106µV1.2.3电功率

电功率：电路中单位时间内电流做的功，电功率用P表示为式(1.4)中电功W的单位是焦[耳](J)，时间t的单位是秒(s)，电功率的单位是瓦[特](W)，简称瓦。1瓦功率就是在1秒钟内做功1焦[耳]，即1W=1J/s。日常生活中的一只220V、60W的白炽灯，如果在它两端加上220V电压时，可在1秒钟内做功60焦[耳]，将其电能转换为热能和光能。式(1.4)也说明，用电器的电功率就等于用电器两端的电压与用电器上所有通过的电流的乘积。(1.4)

对于大功率用电场合，可用千瓦(kW)表示，对于小的功率可用毫瓦(mW)表示，它们之间的转换关系为1W=103mW1kW=103W

为了计算一段电路所产生功率，这里有一个电流、电压的参考方向的概念。在电压、电流参考方向一致的条件下，关联参考方向如图1.5(a)所示，这段电路所产生的功率等于这段电路上电压与电流的乘积，即P=UI(1.5)电压与电流参考方向一致(b)电压与电流参考方向非一致图1.5电压、电流参考方向

若这段电路上电压、电流参考方向非一致(非关联参考方向)，如图1.5(b)所示，则这段电路产生的功率为

为了计算方便，在设定参考方向时，要尽量将电路元件两端电压与电流的参考方向设定为一致。

在电路分析中，电功率有正、负之分；凡是计算的功率结果P＞0，该电路元件就是吸收功率；若P＜0，则电路元件(如电源)是产生功率。P=-UI(1.6)【例1.1】某段电路，如图1.6所示，已知电源U=12V，电路中的电流I=2A，试计算出电阻功率和电源功率。图1.6某段电路解：由图1.6所示，电压U与电流I参考方向关联，则

P＞0，表明电阻R吸收功率24W。

电源US与电流I参考方向非关联，则PS=-U·I=-12×2=-24W

P＜0，表明电源US产生功率24W。显然，同一电路中，吸收功率的总和与产生功率的总和相等。1.3欧姆定律与单环路中变量分析

本节介绍用欧姆定律来分析简单电路，并对单环路中的电路变量进行分析。1.3.1欧姆定律

欧姆定律是电路的重要基本定律，它指出在电路中，当假设电阻上的电压正方向与流过电阻的电流正方向一致时，欧姆定律表示其值为电阻与电流的乘积，即(1.7)

电阻R的单位为欧[姆](Ω)，简称欧，对于大阻值的电阻可用千欧(kΩ)或兆欧(MΩ)为单位表示，它们之间的转换关系为1MΩ

=103kΩ

=106

Ω1.3.2单环路中变量的分析【例1.2】在图1.7中，U=12V，I=2A，电阻上的电压与电流的参考方向一致，根据欧姆定律求出电阻R。图1.7例1.2图

可见，只有一个环路的电路，用欧姆定律可以方便地分析求出电路的各种变量。但具有多个环路的电路求电路变量就不能简单采用欧姆定律去分析和计算了。有必要推出能分析多个环路电路的基本定律——基尔霍夫定律。1.4基尔霍夫定律

德国科学家基尔霍夫提出了基尔霍夫电流定律(KCL)和基尔霍夫电压定律(KVL)，这两个定律是分析电路的重要基本定律。在介绍两个基本定律之前，先介绍电路图中几个有关的术语。1.支路

电路中任意两节点之间的一段无分支的局部电路。如图1.8所示的电路中，adc、ac、abc都是支路。该电路中共有三条支路。图1.8电路图2.节点

电路中3条或3条以上的支路的交点称为节点，如图1.8所示的电路中，a点和c点都是节点。该电路中有两个节点。要注意的是b、d两点并不是节点。3.回路

电路中任何一个闭合的路径称为回路。如图1.8所示的电路中，acda、abca、abcda都是回路。该电路中共有3个回路。4.网孔

电路中不含有其他支路的回路称为网孔，图1.8所示的电路中，acda、abca都是网孔。该电路中共有两个网孔。1.4.1基尔霍夫电流定律(KCL)

基尔霍夫电流定律(KCL)指出：对于电路中的任一节点，在任一时刻，流入节点的电流总和恒等于流出节点的电流总和。用数学式子表示为

在图1.8中所示的节点a，有

若将流入节点的电流取正，流出节点的电流取负，则图1.8中所示的节点a可表示为(1.9)

用数学式子表示为

(1)必须先给出电路中各支路和电流参考方向。

(2)可约定流入节点的电流为正，流出节点的电流为负。然后写出电流方程式。

在应用KCL分析电路列出电流方程式时要强调几点：(1.10)

解：由图1.9可知，该电路有A、B两个节点。根据KCL，式(1.10)有A点：I3-I1-I2=0，则I3=I1+I2=1+2=3AB点：I5-I3-I4-I6=0，则I4=I5-I3-I6=1-3-(-1)=-1A【例1.3】如图1.9所示的电路中，已知：I1=1A，I2=2A，I5=1A，I6=-1A，试求出电阻R3上电流I3及I4的值。图1.9例1.3电路示意图

所求得结果I3=3A，为正号说明I3的参考方向与实际方向相同；I4=-1A，为负号说明I4的参考方向与实际方向相反，它的实际方向应由节点B流入。1.4.2基尔霍夫电压定律(KVL)

基尔霍夫电压定律(KVL)指出：对于电路中的任一回路，在任一时刻，沿任意绕行方向绕行一周，回路中各段电压的电压降总和恒等于各段电压升的总和。用数学式子表示为

(1.11)

如图1.10所示的电路，按ABCDA顺时针方向绕行一周，其中各段电压的参考方向均已标出，此时沿绕行方向确定环路电阻两端电压的正负符号(电压降取正，电压升取负)。如果标出的流经电阻的电流方向与绕行方向一致时，该电阻上的电压取正值，反之取负值。如果电源标出的方向与绕行方向一致则取负值，反之取正值。以图中参考方向为例，元件上电压降分别是U1、U2、，元件上电压升只有，即图1.10电路图示例

由此，KVL还可以表述为：对于电路中的任一回路，在任一时刻，沿任意方向绕行一周，回路中各段电压的代数和等于零。用数学式子表示为U1+U2+=或写成U1+U2+-=0(1.12)

对电路ABDA回路，有：U1+U3-US1=0

对电路BCDB回路，有：U2+US2-U3=0

用KVL求复杂电路中任意两点间的电压十分方便。【例1.4】图1.11所示的电路中，已知：R1=100Ω，R2=30Ω，R3=90Ω。US=12V。利用KVL求解电压U1、U2的值。图1.11电路示意图解：先求出支路电流I3，在电路的右回路。假设一个如实线的参考绕行方向，然后对该回路列出KVL方程式：求得1.5电路的等效变换

在电路分析中，为了达到化简电路的目的，经常用较为简单的电路来代替原来较为复杂的电路。

例如，图1.12所示的电路中，已知：E1=E2=1.5V(干电池)，R1=R2=R3=8Ω，R4=4Ω。图1.12电路的等效如果将电路的A、B两点断开，Ａ、B两点左边的两节1.5V的电池串联一起就是3V，用一个3V的电压源UAB替代E1+E2。A、B两点右边的4个电阻经过并、串联就由RAB来代替，即

因此，可以用一个4电阻来代替4个电阻，这样可以将图1.12(a)用图1.12(b)来代替，代替以后，并不改变图中待求量电流I和电压UAB的值。反而，用图1.12(b)来求电流I和电压UAB的值就显得十分容易了。这样用比较简单的图1.12(b)来代替图1.12(a)，就称为等效变换。1.5.1电阻的串联

在实际电路中，电阻之间有各种各样的连接形式，而常用的连接形式有电阻的串、并联方式。图1.13(a)是电阻的串联电路，它具有如下三个特点：(1)串联电路两端的等效电阻，等于各个电阻之和。

(2)串联电路中，流过各个电阻的电流处处相等。

(3)串联电路两端的总电压，等于各个电阻上电压之和。

图1.13电阻串联分压电路

由图1.13(a)可得到图1.13(b)等效电路，即

由欧姆定律得

等效后的电路中，电路两端的电压U，电流I不变。常用的两个电阻串联的分压公式有(1.13)

(1.14)

(1.15)

【例1.5】图1.13所示的电路中，已知：UAB＝5V，R1＝30Ω，R2＝20Ω，求电压U1、U2？解：根据式(1.14)和式(1.15)，可求得

由此可看出图1.13是一个电阻串联分压电路。1.5.2电阻的并联

图1.14(a)是电阻的并联电路，它也具有如下两个特点：图1.14电阻并联分流电路(1)并联电路中，并联电路两端的等效电阻的倒数，等于各并联电阻的倒数(电导)之和。这里的电导指电阻G是电阻R的倒数，即(1.16)

(2)并联电路两端的总电流等于流过各个电阻中电流之和。

由图1.14(a)可得到图1.14(b)等效电路，即

由欧姆定律得

等效后的电路中，电路两端的电压U不变。常用的两个电阻并联的分流公式有(1.17)(1.18)(1.19)(1.20)【例1.6】图1.15所示的电路中，已知：R1=R2=R3=60Ω，求A、B两点间的等效电阻RAB。解：由图1.15所示的电路中，各电阻连接方式看起来较复杂，可采用电压观察法判断各电阻之间关系。若在A、B两端加上电压U，各个电阻上电压相同，那么各个电阻为并联关系。图1.15例1.6电路图

观察例1.6电路图可以看到R1、R2、R3两端为并联关系。求得电阻RAB为

可知相同的n个电阻相互并联，为单个电阻的1/n。【例1.7】图1.16是一个串并联混联电路，已知：R1=R3=R5=R6=1kΩ，R2=R4=2kΩ，求电路中等效电阻RAB的值。图1.16电阻串并联混联电路解：设RD为R5串联R6后并联R4，则

设RC为R3串联RD后并联R2，则

得

RAB=R1+RC=1+1=2kΩ

由此得到图1.16(b)所示的等效。1.6电源及等效变换

电源是电路中产生能源的动力，在实际应用中，电源的种类有很多，如干电池、稳压电源、发电机和各种信号源等。一般电源有两种不同的形式：电压源及电流源。若电源的电压或电流是不受外电路的影响而独立存在，就称为独立电源。1.6.1电压源

能产生一个数值恒定的电压US或是一定的时间函数关系的电源(如干电池、发电机)称为电压源。电压源的图形符号如图1.17(a)、(b)所示。图1.17电压源及外特性

电压源的端电压U由US或ES决定，与流过它的电流无关，即与接入电路的任何方式无关(而流过电压源的电流由它本身与连接的外电路有关)。端电压U表示为US有时也可用电动势的正、负符号表示。

实际电路装置中所用的电源，一般需要输出较为稳定的电压，但实际电源总会存在内阻的，比如前面讲到的手电筒电路的电源是干电池，当使用过一段时间，干电池的内阻就会变大，电源的端电压总会逐渐下降，手电筒的负载灯泡发光也会逐渐变暗。为了使电路装置能够稳定运行，在实际应用中，电源的内阻越小越好。假设电源内阻等于零时，就称为理想电压源。(1.21)

当电压源的电压为恒定值时，就称为直流电压源，直流电压源的外特性如图1.17(c)所示。1.6.2电流源

能产生一个数值恒定的电流IS或是一定的时间函数关系的电源(如蓄电池、光电池等)称为电流源。电流源的图形符号如图1.18(a)所示。图1.18电流源及外特性

电流源的输出电流I由IS决定，与端电压无关，即与接入电路的任何方式无关(而电流源的端电压与它本身连接的外电阻有关)。电流I表示为

实际电路装置中所用的电源，在有些特殊的场合，有时也会要求电源具有很高的内阻，因为高内阻的电源产生的电流会很稳定。电源输出电流是恒定值时，就称为直流电流源，直流电流源的外特性如图1.18(b)所示。【例1.8】如图1.19所示的电路中，一个理想电压源和一个理想电流源相连接，已知US=12V，IS=2A，计算该图中各器件上的功率。(1.22)解：图1.19所示的电路中，电流从电压正端流出，电压源上电压与电流为非关联参考方向：PU=-US×IS=-12×2=-24W(电压源是输出功率)

电流源的端电压U由电压源决定，等于US，其上电压与电流为关联参考方向：PI=US×IS=12×2=24W(电流源是吸收功率)图1.19例1.8示意图1.6.3实际电源模型

实际电源除向外部供应能量外，还有一部分能量是在电源本身内阻上消耗掉，所以实际电源总会有内阻存在。上面所介绍的是理想电压源和理想电流源，忽略了电源内阻。其实理想电压源和理想电流源，实际中并不存在，只是其性能在一定的范围内与理想电源接近。1.实际电压源模型

一个实际电压源模型，一般可等效为一个理想电压源US与一个内电阻RO的串联组合的模型，如图1.20(a)所示。实际电压源的端电压除了与US有关外，还受通过RO上的电流影响，当接上负载后，电路中端电压U与电流I的关系为图1.20实际电压源模型与外特性

其外特性如图1.20(b)所示，为一条下降的直线，I越大，U越低。2.实际电流源模型(1.23)

一个实际电流源模型，一般可等效为一个理想电流源IS与一个内电阻RO的并联组合模型。如图1.21(a)所示。实际电流源的输出电流除了与IS有关外，还受其两端电压影响。当接上负载后，电路中输出电流与电压U的关系为(1.24)

其外特性如图1.21(b)所示，为一条下降的直线，U越大，I越低。图1.21实际电流源模型与外特性

因为实际电源内阻上的功率消耗是很小的，所以，由上述分析的实际电压源模型和实际电流源模型所对应的外特性图1.20(b)和图1.21(b)与理想电源的外特性十分接近。这两种实际电源的电路模型，在一定条件下还可以等效互换。1.6.4

实际电压源与电流源的等效变换

由上述分析可知，一个实际的电源可以用与内电阻串联的理想电压源作为它的电路模型，也可以用一个与其内电阻并联的理想电流源作为它的电路模型。由此，这两种实际电源的电路模型，在一定条件下可以等效变换，这里假设图1.20(a)、图1.21(a)中的内阻RO相等，端口上都接上相同负载电阻R，使两个电路的负载电压相同，那么即或，图1.22给出了两者之间的等效变换图。

这里要着重强调两点：一是在进行两种电源模型的等效变换时，要使电压源的极性与电流源的方向保持一致；二是在实际的电压源中内阻RO很小，而实际的电流源内阻RO很大，在工程上两者不能相互替代，这里只是为了方便解题，所谓“等效”只是说它们对外电路而言其效果相同。图1.22两种电源模型的等效变换【例1.9】图1.23(a)所示电压源电路，已知RO=8Ω，US=16V，试将其转化为电流源电路。图1.23等效变换过程解：图1.23(a)所示电路可等效为图1.23(b)所示电路。1.6.5受控电源

除前面讨论的独立电源外，在电子电路中还有另一类型的电源，它们的电压和电流并不独立存在，而受电路中另一处的电压和电流控制，正如三极管集电流大小是受基极电流控制，这样的受控源称为电流控制的电流源。而场效应管漏极电流是受栅源极电压控制，这样的受控源称为电压控制的电流源。

根据受控源在电路中呈现的是电压还是电流，以及是受电压控制还是受电流控制可分为4种：它们是电压控制电压源(VCVS)、电压控制电流源(VCCS)、电流控制电压源(CCVS)和电流控制电流源(CCCS)。4种受控源的图形符号如图1.24所示。受控源符号用菱形表示。图中u和i分别表示控制电压和控制电流，μ、γ、g、β分别是有关的控制系数。图1.244种受控电源符号【例1.10】求图1.25所示电路中和，已知为8V。图1.25例1.10图解：图中受控源为CCCS，先求：再求：1.7本章小结1.现实世界的电路形式各种各样，有的甚至是非常复杂，但它们都是由三个基本部分组成，即电源、负载和中间环节。2.实际的电路元器件可用理想化的电路元件模型来表示。3.电路中的基本物理量有电压、电流和电功率等。在分析电路时，电流、电压的参考方向是一个重要的概念，要熟练运用。4.KCL和KVL是分析电路的两个重要的基本定律，在分析多环回路电路中起到非常重要的作用。KCL描述为：对电路的某一节点，流入该节点的电流总和等于流出该节点的电流总和；KVL描述为：对电路中的任意一个回路，沿给出的绕行方向绕一圈，回路各段电压以参考方向为准，电压降总和恒等于各段电压升的总和。5.电路的等效变换，在电路分析中可以达到化简电路的目的，经常用较为简单的电路来代替原来较为复杂的电路。电阻串、并联电路等效变换方法是电路问题分析中经常使用的方法。6.实际电源总会有内阻存在。一个实际电压源模型，一般可等效为一个理想电压源与一个内阻的串联组合模型；一个实际电流源模型，一般可等效为一个理想电流源与一个内阻的并联组合模型。第2章直流电路的基本分析方法

教学提示：本章主要介绍几种常用的分析直流电路的方法：支路电流法；节点电压法；叠加定理；戴维南定理和诺顿定理；最大功率传输定理。

教学要求：初步掌握支路电流法；解题方法和步骤；理解节点电压的概念，理解节点电压法；熟练掌握用弥尔曼定理求解电路的基本方法；理解叠加定理的适用范围和叠加性；熟练掌握戴维南定理分析电路的方法；理解负载获得最大功率的条件及应用范围。

2.1电路的支路电流法

实际中的电路结构是各种各样的，仅仅只用前面所学习过的电路分析方法去分析复杂电路显然不够用，还需要用更多的分析方法，对电路的基本定律和基本分析方法进一步扩展。下面介绍用支路电流法分析复杂电路，并给出了支路电流法分析电路的解题步骤。2.1.1支路电流法

支路电流在电路中客观存在，构成了许多复杂的电路，支路电流法是分析复杂电路的基本方法之一。支路电流法是以各条支路电流设为未知量，运用KCL和KVL定律对电路列出方程式，并求解出各未知量。下面举例说明运用支路电流法解题的方法。解：本题有3条支路、2个节点、3个回路和2个网孔、参考方向如图2.1所标示。根据KCL和KVL，对回路I(或网孔I)和回路Ⅱ(或网孔Ⅱ)列方程式，可得【例2.1】如图2.1所示电路，已知=120V，=100V，R1=R2=2Ω，R3=54Ω，用支路电流法求出各支路电流I1、I2、I3。图2.1例2.1电路示意图对节点a列KCL方程： I1+I2=I3将已知元件数值代入方程组，并化简得对回路I列KVL方程： R1I1+R3I3=

对回路Ⅱ列KVL方程： R2I2+R3I3=

I1+I2-I3=0I1=60-27I3I2=50-27I3求解联立方程组得I1=6A (参考方向与实际方向一致)I2=-4A (参考方向与实际方向相反)I3=2A(参考方向与实际方向一致)2.1.2支路电流法的解题步骤

从上述分析可得出支路电流法的解题步骤：

(1)确定电路中支路数，并选择独立节点和独立回路。

(2)设定各支路电流的参考方向及回路的参考绕行方向。

(3)运用KCL定律列出独立节点的电流方程式。

(4)运用KVL定律列出独立回路的电压方程式。

(5)将已知元件参数代入，求解联立方程组，得出各支路电流。2.2节点电压法

前面介绍的支路电流法是将支路电流作为未知量，但在解决电路的某些问题，如电路中支路数目较多，列方程的数目就会多，计算量也会很大。本节引入节点电压法，在电路节点数不多且支路数较多的情况下，它是一种计算量较小的分析电路的方法。弥尔曼定理是节点电压法的一个特例。2.2.1弥尔曼定理分析法1.节点电压的概念

所谓节点电压，就是对于一个多节点电路，可在电路中选定某一个节点作为参考节点，那么其他各节点对参考节点的电位，都可以看做该节点与参考节点之间的节点电压。节点电压法是以节点电压为未知量的分析电路的方法。下面先介绍弥尔曼定理是节点电压法。2.弥尔曼定理

弥尔曼定理应用于电路只有两个节点时的计算，在电路中选定一个节点为参考节点(接地点)，只要另一个节点对参考节点之间的节点电压求出后，使得两个节点之间的任一支路电流、电压的求解变得十分简单。

下面举例说明应用弥尔曼定理解题的方法。图2.2(a)所示电路中有2个节点。设b节点为参考节点(接地)，a节点电压待求，各支路电流方向如图中所标示。

为了求得最简单等效图，先将图2.2(a)电压源模型等效变换成图2.2(b)电流源模型。将图中所有电流源合并成一个电流源IS，可得图2.2弥尔曼定理电路举例示意图

将图2.2(b)中的所有电阻并联成一个总电阻R，可得由此，可以得到图2.2(c)示意图。求得节点a的电压Ua为

如果电路中含有电流源，此时的节点电压方程式的一般表达式为

使用弥尔曼定理要注意下述约定：

(1)凡是电压源的正极与待求节点相连时，US/R取正，反之取负。IS流入待求节点取正，反之取负。

(2)分母为各支路的电阻的倒数和，恒为正值。

(3)在列方程式时，与各电流源串联的电阻应当去掉，并不计入分母为各支路的电阻倒数和中。【例2.2】如图2.3所示的电路，求图中R1上电压U1的值?解：如图2.3所示，设一个参考节点接地，利用弥尔曼定理，先求出另一节点电位Va，可得图2.3例2.2示意图R1上的电压为【例2.3】如图2.4所示的电路，求图中R1的阻值是多少？解：如图2.4所示，设参考节点接地，利用弥尔曼定理电位Va可得图2.4例2.3示意图

已知R2支路上的电流为3A，则Va=3×2=6V，代入上面方程式，可得2.2.2多节点的电路电压法

上述的弥尔曼定理仅适用于计算两个节点的电路。下面利用节点电压法来解3个节点及更多节点电路的计算问题。图2.5所示电路中共有3个节点，设节点c为参考节点，各支路电流的参考方向如图2.5所标示。图2.5节点电压法举例

根据KCL，可列出独立节点电流方程

由图2.5可知，恒流源、电阻R1的端电压就等于a点电位Va；恒流源、电阻R3的端电压就等于b点电位Vb；R2上电压U2等于a点至b点的电位差Va-Vb。用节点电压表示各支路电流分别为(2.1)

(2.2)

代入式(2.1)、式(2.2)，并进行处理可得

对上式进行整理可得

方程式右边第一项括号内电导之和称自电导，自电导等于连接于本节点上所有支路的电导之和，恒为正值；右边后面项的电导为相邻节点与本节点之间支路电导，称为互电导，互电导总是取负值。方程式左边则是汇集到本节点上的所有已知电流的代数和(流入节点取正、流出节点取负)，求解该方程，可得节点电压。最后求出各未知支路电流。将图2.5所示的已知元件参数代入式(2.6)和式(2.7)得(2.6)

(2.7)

再利用欧姆定律可求得

对a点：

对b点：，

对上两式求解后可得：,

由此，总结出节点电压法解题步骤：

(1)选定一个参考节点(接地点)。对其他节点编号，其他节点与参考节点之间的电压为待求节点电压。

(2)列出求解节点电压方程。算出各节点的自电导、互电导及汇集到本节点的已知电流代数和。

(3)求解方程组，得出各节点电压。

(4)由节点电压及支路的伏安关系求出各支路电流。2.3叠加定理及应用注意事项

叠加定理在分析线性电路中十分重要。叠加定理常用来分析线性电路的性质而一般不用作解题。2.3.1叠加定理

叠加定理可表述为：在线性电路中，如果有多个独立源同时作用时，任何一条支路上的电流或电压，等于各个独立源单独作用时对该支路上产生的电流或电压的代数和。下面通过一个例子来验证其正确性。在图2.6所示的电路中，求R2上的电压U2和电流I2。图2.6叠加定理举例用弥尔曼定理求出图2.6(a)节点电位Va就是R2上的电压，即那么电流为

图2.6(b)为电压源单独作用时的电路，此时电流源不参与而被断开。利用分压公式求得此时R2上的电压为

图2.6(c)为电流源单独作用时的电路，此时电压源不参与而被短路(视内阻为零)。利用分流公式求得此时R2上的电流为

得到验证结果为那么电流为

由此证明，用叠加定理求得的结果与用弥尔曼定理求得的结果是完全一致的。2.3.2应用注意事项

应用叠加定理时，必须注意以下几点：

(1)叠加定理只适用于线性电路。

(2)叠加定理只适用于电压、电流的叠加，不适用于功率的叠加计算。

(3)当一个电源单独作用时，其他电源置零。其中，理想电压源置零，视为短路；理想电流源置零，视为开路。

(4)叠加时，要特别注意电压和电流的参考方向。叠加定理常用来分析线性电路的性质而一般不用作解题。2.4戴维南定理和诺顿定理

戴维南定理表明任意一个有源二端网络都可以用一个简单的电压源来等效代替，而诺顿定理表明任意一个有源二端网络都可以用一个简单的电流源来等效代替。1.戴维南定理等效过程

戴维南定理可以表述为：任何一个线性有源二端网络，对外部特性而言，都可以用一个理想电压源UO与一个电阻元件RO串联组合来等效代替。等效代替的条件是，电压源的电压UO等于有源二端网络的开路电压UOC，电阻元件RO等于有源二端网络中所有独立电压源短路、独立电流源开路时的入端电阻Ri。如图2.7所示，戴维南定理等效过程可由图2.7(b)计算开路电压UO，由图2.7(c)计算入端电阻RO，这样原电路图2.7(a)就由电路图2.7(d)替代了。替代后，在外电路中产生的电压、电流和等效前是完全一样的。2.4.1戴维南定理图2.7戴维南定理等效过程图

线性：指二端网络中的电阻的阻值是恒定的。

戴维南定理等效过程中几个常用的术语如下：

二端网络：指图2.7(a)中，断开了外电路后，剩下a、b两个端口的网络(内部电路)。有源：指网络中有独立电压源或独立电流源。电压源UO：指图2.7(b)所示的外电路断开后，a、b两端的开路电压。内阻RO：指图2.7(c)所示的外电路断开，原二端网络除源后，从a、b两端向左看的内部等效电阻。2.应用戴南定理解题步骤(1)选择适当的内、外电路，将外电路从网络中移开，剩下二端网络；

(2)求开路电压UOC；

(3)求内阻RO；

(4)画等效电路图，求解待求变量。图2.8例2.4戴维南等效过程图【例2.4】用戴维南定理计算如图2.8(a)所示电路中RL上的电流I。解：选择a、b两端的RL为外电路，其他部分为内电路。

由图2.8(b)可得

由图2.8(c)可得

画出等效电路如图2.8(d)所示，求得RL上电流I为2.4.2诺顿定理

诺顿定理可以表述为：任何一个线性有源二端网络，对外部特性而言，都可以用一个理想电流源IS与一个电阻元件RO并联组合来等效代替。等效代替的条件是：电流源的电流IS等于含源二端网络的短路电流ISC，电阻元件RO等于所有独立电源都不作用时的入端电阻Ri，等效电路如图2.9(a)、(b)所示。图2.9诺顿定理

由此或2.5最大功率传输定理

在电路中，经常遇到最大功率传输问题，如戴维南等效电路的外接不同负载RL时，由于RL不同，流经RL的电流就会不同，RL上获得的功率大小也会不同。那么，下面讨论满足什么条件负载才能从同一个电路中取得最大功率的问题。2.5.1负载获得最大功率的条件

在图2.10所示的电路中，UO和RO组成一个实际电压源，RL为负载电阻。在能量的传输过程中，由于线路中存在一定阻值，所以RO是由电压源内阻加上线路中电阻串联而得，因而电源提供的功率一部分消耗在内阻上，另一部分传送给负载。负载电阻RL变化时，负载上获得功率大小随时间变化，负载何时能获得最大功率呢？图2.10负载功率传输电路

求得RO＝RL时，RL上的功率PL最大，即RL获得最大功率的条件为RO＝RL。

由图2.10可列式得负载RL上的功率为在UO和RO恒定的条件下，PL值的大小与负载RL有关。当时，PL为最大值。

2.5.2最大功率传输定理

由上面所述RL获得最大功率的条件为：RO＝RL

最大功率传输定理：若负载电阻等于电源内阻，则负载上获得的功率为最大。对应的最大功率为：

这里要强调，当RO＝RL时，负载可获得最大功率，但电能的传输效率只有50%。所以在电力系统的电力线路传送电能是不要求电阻匹配的；而在电子线路是以处理弱电信号为目的，传输功率也比较小，它就要求工作在匹配信号源内阻的状态下，这样可以使负载获得最大功率。比如，有线电视互联网所用的电缆，接头都是采用50Ω、75Ω阻值，为的是能得到很好的匹配，而使负载能获得功率最大。2.6本章小结1.支路电流法，是以各条支路电流为未知量，运用KCL和KVL定律对电路列出方程式，并求解各未知量。2.节点电压是对于一个多节点电路而言，可在电路中选定某一个节点作为参考节点(接地点)，那么其他各节点对参考节点的电位，就是该点与参考节点之间的节点电压。3.节点电压法是以电路中的节点电压为未知量，运用KCL定律对电路求解的方法，一般适用于节点数少且支路数多的电路。4.弥尔曼定理应用于两个节点的电路计算，在电路中选一个参考节点，只需求出另一个节点对参考节点之间的电压后，就能很简单地求出两个节点之间的任一支路电流和电压。5.叠加定律主要用来分析线性电路的性质，可表述为：在线性电路中，若有多个独立源同时作用时，任何一条支路上的电流或电压，等于各个独立源单独作用时对该支路上产生的电流或电压的代数和。叠加定理只适用电压、电流的叠加，不适用于功率的叠加计算。6.戴维南定理指出：任何一个线性有源二端网络都可以用一个理想电压源UO与一个电阻RO串联组合来等效代替。而诺顿定理是用一个理想电流源IS与一个电阻RO并联组合来等效代替。二者之间可以转换。7.最大功率传输定理是指：若电路的负载电阻等于电源内阻，则负载上获得的功率最大。但要注意的是，这时电能的传输效率只有50%。因此，电力线路不要求与负载阻值匹配，而电子信息处理电路则要求与负载阻值能很好地匹配。第3章动态电路的基本分析

教学提示：本章主要介绍动态电路的基本分析方法。在大多数实用电路中，电阻元件、电感元件和电容元件都是构成电路模型的基本元件，后两者是动态元件，它们是分析各种动态电路的基础。一阶动态电路就是只含有一个元件的电路。将响应的初始值、稳态值、时间常数称作一阶动态电路的三要素。一阶动态电路的三要素分析法就是对三要素求解的方法。

教学要求：掌握动态元件的特性；理解电路的动态过程及换路定律；初步掌握一阶动态电路的零输入响应、零状态响应、全响应和三要素分析法。

3.1电感元件、电容元件与换路定律

电阻、电感和电容都是构成电路模型的基本元件；电阻元件是耗能元件，电感元件和电容元件属于储能元件，后两者的电压和电流关系是对时间t的微积分关系，所以称为动态元件。含有动态元件的电路就称为动态电路。因此，搞清楚动态元件的特性，是分析各种动态电路的基础。

在分析动态元件前，先观察一个含R、L、C元件的实验电路如图3.1所示。

图3.1R、L、C实验电路

电路分别由一个电压源US，一个开关S三个规格一样的灯泡串上各自对应的元件R、L和C所构成。当开关S闭合后，可以观察到三个灯泡发生了不同的现象。与R串联的灯泡立即发亮，而后亮度不变；与L串联的灯泡开始不亮，而后逐渐由暗变亮，直至亮度稳定不变；与C串联灯泡仅是瞬间发亮，而后亮度逐渐变暗，直至熄灭。

所观察到的三种不同现象，其原因是灯泡串接了三种不同的元件R、L、C，各种元件的特性不同，才会产生上述的三种不同现象。只有把电感、电容的遵循规律搞清楚，才能为分析各种动态电路打下一个良好基础。3.1.1电感元件与电感的换路定律1.电感元件

将一漆包铜线(俗称漆包线)绕在骨架上(可以是磁芯或铁芯)或绕成螺旋状的线圈，就构成了一个实际的电感器。图3.2(a)所示为一N匝线圈构成的电感器，图3.2(b)所示为电感器的模型或符号。

图3.2电感元件

当电流i流过电感线圈时，线圈周围就会产生磁场，因此也就存储了磁能，就会有磁通穿过这个线圈。如果电流i发生变化时，也随之发生变化，且的变化与电流i的变化是正比关系。如果用磁链表示磁性的强弱，N为线圈的匝数，则

因为这个磁通量线圈中自身电流产生的，可称为自感磁通或自感磁通链，若用线圈的自感L表示，则式中，L就是电感，所用单位是亨[利]，简称亨(H)，常用的单位还有毫亨(mH)，微亨(H)等，它们之间的换算关系为1mH=10-3H1μH=10-6H

(3.1)(3.2)

由式(3.2)可知，当电流i变动时，磁通链随之变动，则在线圈两端将感应出电压u，若电压u和电流i的参考方向一致，则将式(3.2)代入上式，就得到电感两端的电压u与流过电感的电流i之间的关系为

电感元件中的电压、电流关系还可以用积分关系表示为(3.3)

(3.4)

由式（3.3）可知，任何时刻线性电感元件上的电压与该时刻电流的变化率成正比。当电流不随时间变化时，则感应电压为零，这时电感元件相当于短路。在直流稳定电路中，由于电感中电流是稳定不变的，感应电压u=0，电感相当于短路。2.电感的换路定律

从式(3.4)可看出，电流i是电压u随时间t积分的值，如果时间变化趋于零，i的变化也会趋于零，则有电感的换路定律为

(3.5)

式(3.5)表述为：当电路中开关合上后的瞬间，电感上的电流，等于开关合上前的瞬间电感上的电流值。电感的换路定律是：在电路发生换路后的一瞬间，电感元件上通过的电流iL应保持换路前一瞬间的原有值不变化。由此得出一个重要结论：电感内的电流不会发生突变。3.电感元件的感抗

电感元件在电路中起到过直(流)阻交(流)作用。反映电感对交流阻碍作用程度用感抗XL表示，在只含有电感元件的交流电路中，感抗为

感抗XL的单位为Ω。显然感抗与f和L两个量成正比关系。电感元件具有“通直流”、“隔交流”的作用。(3.6)【例3.1】

在一个音频电路中，有一只电感为2mH，试计算频率在2000Hz及2000kHz时各自的电感值，并述说这只电感在电路中所起的作用。

解：频率在2000Hz(音频范围)时

频率在2000kHz(高频范围)时

当频率在2000kHz时的感抗是频率在2000Hz时的感抗的1000倍。可见，电感起到过音频阻高频的作用，使得该音频电路不受高频干扰。=25.12Ω

=25120Ω

3.1.2电容元件与电容的换路定律1.电容元件

将两块金属极板中具有一定间隔，且中间加上绝缘介质(如空气云母、电解质等)就构成了一个实际的电容器。电容器种类繁多，常见的有瓷介电容、电解电容等。电容元件可以储存电荷和电场能量。如图3.3(a)所示，是一个电容元件的符号，在电容元件两端加上电源后，两块极板上将聚集等量的正负电荷，如图3.3(b)所示，在介质中建立了电场，储存了电场能量。如果将电源撤走后，电荷仍会继续聚集在两块板上一段时间，电场仍保留一段时间，所以说电容器是一种储能元件。图3.3电容元件

若用C表示电容器的电容量，q表示电容器所带的电荷量，u表示电容器两端的电压，其关系为

式(3.7)中，q的单位为库[仑](C)，简称库，u的单位为伏(V)，C的单位为法[拉]，简称法(F)，实际中的电容器常用单位为微法(F)或皮法(pF)，它们之间的换算关系为

(3.7)

当电容上的电压u变化时，q也随之变化，其电流i就是q的变化率。如果选择u和i的参考方向一致，如图3.3(c)所示，则该电流为

(3.8)

这就是电容上流过的电流与其电容两边电压的关系，即电容上的电流与电压的变化率成正比。电容器具有充放电的功能；当加到电容器上的电压与电流参考方向一致，而且是从零逐步上升时，，电容器上电量也随之增多，这就是对电容器充电；当加到电容器上的电压与电流参考方向不一致，而且是电压逐步下降时，，电容器上电量也随之减少，这就是电容在放电。如果，也就是电压不随时间变化时，电容器相当于开路。

由式(3.8)可知，电容元件中的电压、电流关系还可以用积分关系表示为

(3.9)2.电容的换路定律

从式(3.9)可看出，电压u是电流i随时间t积分而来的值，如果时间变化趋于零，u的变化也会趋于零，则有电容的换路定律为

(3.10)

式(3.10)表述为：当电路中开关合上后的瞬间，电容上的电压等于开关合上前的瞬间，电容上的电压值。电容的换路定律是：在电路发生换路后的一瞬间，电容元件上的极间电压UC，应保持换路前一瞬间的原有值不变化。由此得出一个重要结论：电容端电压不会发生突变。

3.电容元件的容抗

电容元件在电路中起到过交(流)隔直(流)作用。反映电容对交流阻碍作用程度用容抗XC表示，在只含有电容元件的交流电路中，容抗为

显然容抗与和C两个量成反比关系；在直流稳定电路中，由于频率f为零，则容抗为无穷大，换言之，对直流电路中电容相当于开路。

【例3.2】

在一个220V，50Hz的交流电路中，有一只电容为20F，试计算电容的容抗；当频率50Hz升到500Hz时，电容的容抗又是多少？

(3.11)解：频率在50Hz时

频率在1000Hz时

由例3.2可知，同一电容对不同频率具有不同的容抗，频率越高，容抗就越小。

3.2电容、电感的串并联

由电容的串并联及电感的串并联可以构成各种串并联电路，与电阻的串并联公式类似，下面将给出电容、电感的串并联公式。

3.2.1电容的串并联

在实际电路应用中，经常会遇到手头上的电容器的电容量或耐压值达不到所需要求时，可以采取将一些电容器串、并联连接起来的方法来满足需求。1.电容的并联

图3.4(a)为电容C1与C2相并联的电路，图3.4(b)为其等效电路图。并联电容的等效电容等于各个电容之和，所以并联电容可以提高电容量，其并联电容公式为图3.4电容的并联(3.12)

式(3.12)电容并联公式类似电阻串联公式，其电容并联分流关系与电阻串联时的分压关系类似，电容分流(交流电流)公式为2.电容的串联

图3.5(a)为电容C1与C2相串联的电路，图3.5(b)为其等效电路图。串联电容的等效电容的倒数，等于各个串联电容的倒数之和，所以串联电容的等效电容量变小，且小于每个电容，但等效电容的耐压值加大。要特别注意电容小的分得的电压大，其串联电容公式为(3.13)

式(3.14)电容串联公式类似电阻并联公式，其电容串联时的分压关系与电阻并联时的分流关系类似，电容分压(交流电流)公式为(3.14)图3.5电容的串联(3.15)解：当C2与C3并联时的等效电容为

当C1与C23串联时等效电容为

【例3.3】

如图3.6所示电路中，有标称值为3μF、250V的3个电容器分别为C1、C2、C3进行串并联，试求等效电容及端口电压Uab最大允许值？

图3.6例3.3电路图

由已知条件可知C1小于C23，则U1是大于U23的，且U1不能超过标称值250V。当U1=250V时，可得

则

所以求得端口最大电压值不允许超过375V。

=3.2.2电感的串并联1.电感的串联

图3.7(a)为电感L1与L2相串联的电路，图3.7(b)为其等效电路图。串联电感的等效电感等于各个电感之和，所以串联电感可以提高电感量，其串联电感公式为图3.7电感的串联(3.16)

式(3.16)电感串联公式类似电阻串联公式，其电感串联的分压关系与电阻并联时的分流关系类似，电感分压(交流电压)公式为2.电感的并联

图3.8(a)为电感L1与L2相并联的电路，图3.8(b)为其等效电路图。并联电感的等效电感的倒数，等于各个并联电感的倒数之和，所以并联使电感的等效电感量变小，其并联电感公式为(3.17)(3.18)图3.8电感的并联

式(3.18)电感并联公式类似电阻并联公式，其电感并联的分流关系与电阻并联的分流关系类似，电感分流(交流电流)公式为(3.19)

如同电阻的串、并联公式一样，利用电容、电感的串并联公式，可以将电路中的多个电感、电容进行合并化简后，更容易计算出它们的未知电流和电压。解：电路总电感为

电路总电容为

【例3.4】

如图3.9(a)电路所示，当t＜0时，开关处在1的位置上，电路处在一个稳定状态，当t=0时，开关S从1打到2上，求初始值、。

得到等效电路图如图3.9(b)所示。

(b)图3.9例题3.4电路图

当t＜0时，电路处在一个稳定状态，电容C上充满电且很稳定，无电流流过，可视电容开路；通过电感的电流也很稳定，可视电感为导线，相当于短路，由此得

根据换路定律，当开关S打到2上时，即t=的瞬间，

电流为

电流为

3.3一阶电路的暂态分析

当某些事物处于一种稳定状态，当条件发生变化后，经过一定的时间又会过渡到另一种新的稳定状态，而由一种稳态到另一种稳态并不会发生突变，需要经历一个过渡过程，这个过渡过程又称为暂态过程。下面对含有动态元件的电路的暂态过程进行分析。3.3.1基本术语1.换路

前面介绍了动态元件电感和电容的换路定律，这里概括就是在含有动态元件的电路中，如果发生电路的接通、断开或电源突然变化等情况，称为“换路”。2.稳态

动态电路的稳定状态，称为稳态。

3.暂态

动态元件的能量一般只能连续变化，且不能发生跃变，然而，当电路发生换路时，会引起动态元件上响应变化。由此，引起变化时间很短暂，称为“暂态”。4.零输入响应

在电路发生换路前，动态元件上已储存有原始能量。换路时，当外加激励(电压源，电流源)为零。此时的动态元件上原始能量引起电路中的电压、电流发生变化，称为“零输入响应”。

5.零状态响应

在电路发生换路前，动态元件中原始能量为零。换路时，仅由外加激励引起电路中的电压、电流发生变化，称为“零状态响应”。

6.全响应

在电路发生换路前，动态元件上已储存有原始能量。换路时，且又有外加激励作用，这种情况所引起电路中的电压、电流发生变化，称作“全响应”。在线性电路中，全响应可以看成零输入响应和零状态响应两部分之和。

3.3.2一阶动态电路的零输入响应1.RC放电电路的零输入响应

只含有一个动态元件的电路称为一阶电路。一阶电路在实际的电路中用得很多，一般分为RC一阶电路和RL一阶电路。

RC放电电路如图3.10所示，RC零输入响应电路，实质上就是一个RC放电电路。当开关S处在1端的位置时，电压源US对电容C充电，当充电一段时间后，C上已被充满电荷，RC电路处于稳态。此时流过C的电流为零。当t=0时，开始换路，将开关S从1端合到2端，电压源被断开(外加激励为零)，由电容C与R构成放电回路，储存在电容C中的电荷要通过电阻R释放，于是放电过程开始。

放电刚开始的瞬间，由电容换路定律知

根据KVL定律，RC放电回路的电压方程式为

图3.10RC零输入响应电路上式是一个一阶常系数线性齐次微分方程，对该式求解可得

RC回路的零输入响应为

因为

，所以有

(3.20)(3.21)上式的τ=RC称为动态电路的时间常数。τ的单位秒(s)。电容中流过的电流为(3.22)

由式(3.20)、式(3.22)可见，电压uC和电流iC都是随时间按指数规律不断衰减的曲线，如图3.11(a)、(b)所示。其过渡过程从理论上看，按指数规律，要经过无限长时间，过渡过程才结束，但实际上一般经过3～5的时间后，剩下的电容电压值极小，可以认为电路已经进入稳态。图3.11uC和iC响应曲线

时间常数τ=RC的值越大，放电时间越长，如C越大，电容器原先储存的电量就多，因此放电时间就会长一些，所以在实际生活和工作中，刚关断电源的电路，如果有的大电容存储了很高电压，一时来不及放电，这时是不能用手随意触摸电容的电极，否则有被触电的危险。解：(1)根据图3.10电路所示，由电容换路定律得

由式(3.20)得

【例3.5】

如图3.10电路所示，已知图中的R=10kΩ，US=12V，C=10μF，当开关从1端合到2端时，求：(1)电路的零输入响应和；(2)当电容器上电压放电后，衰减到6V时所需要的时间是多少？

时间常数

由式(3.22)得

(2)时得

2.RL电路的零输入响应

RL电路如图3.12所示，开关S原先是断开的，电路处在稳态，此时电感相当于短路，，L中已经储能；当t=0时，开关S合上，L上原有的能量要通过电阻R释放，电感中仍有初始电流iL并在RL回路中逐渐衰减，直至为零。在这个过程中，L中原来的储能逐渐被电阻R消耗，转为热能。图3.12RL零输入响应电路

根据KVL定律，RL放电回路的电压方程式为

以电流iL作为待求响应，对上式求解可得

因为，所以有(3.23)

RL回路的零输入响应为。

式(3.23)中的称为动态电路的时间常数。其单位为秒(s)。可见，RL回路中，R值越大，L值越小，响应速度就越快，反之就慢。

电感两端的电压为

由式(3.23)、式(3.24)，可以得到如图3.13所示的RL电路的零输入响应曲线。

图3.13RL零输入响应曲线

(3.24)

由图3.13可知，电路的时间常数决定了暂态过程的时间快、慢，改变电路中的L和R可以改变RL电路的暂态过程。

解：(1)当S断开前：

(2)当t=0时，S断开，由式(3.23)得

【例3.6】

如图3.14所示的电路中，开关S断开前电路处于稳态。已知US=120V，R1=