2023年高考数学第33讲 数列相遇不等式

第33讲数列相遇不等式，珠联璧合互渗透

一、知识聚焦

数列与不等式知识的交汇,是高考命题的一个热点,且涉及数列不等式的证明、数列中的最

值问题数列不等式恒成立条件下的参数问题、解有数列参与的不等式问题以及比较大小问

题.

特别要强调的是近年来高考命题中经常出现利用放缩法证明数列型不等式，且多以压轴题的

形式出现,需要综合利用相关数学知识和数学方法解决问题,如果所证数列不等式与和式有

关,可先求出其和,再借助放缩法证明,或先将数列放缩为可以求和的形式再求和,并加以证

明.

二、精讲与训练

【核心例题1]

己知等差数列｛4｝满足：q=2,且q,生,％成等比数列.

⑴求数列｛4｝的通项公式.

⑵设S”为数歹U｛a“｝的前n项和,是否存在正整数n，使得S,,>60/1+800?若存在,求n

的最小值;若不存在，说明理由.

【解题策略】

本例是求数列的通项公式以及数列不等式的求解问题.第(1)问,设等差数列｛4｝的公差为

4,利用4，。2，。5成等比的条件得到=6％，并用4，"表示"2,。5,求出公差d进而求出

通项.第(2)问，先利用(1)的结论与等差数列的前"项和公式求出S,.然后根据

S,,>6〃+800列出关于”的不等式求解,探求不等式能成立时”的最小值.

【解】

(1)设等差数列｛。“｝的公差为d,依题意2,2+d,2+44成等比数列，故有

(2+dy=2(2+4d).化简得d2-4J=0,解得d=O或d=4.当d=O时，%=2；当

4=4时，%=2+(〃一1)x4=4n—2,从而得数列｛4｝的通项公式为=2或

%二4〃-2.

(2)当例=2时，=2〃，显然2〃<60/2+800,此时不存在正整数n，使得Sn>60〃+800

〃「2+(4〃-2)1、

成立.当a“=4〃-2时，S“=------------=2n~,

令2/?>60〃+800,即“2-30〃-400>0,解得〃>40或〃<一10(舍去)，此时存在正整

数及，使得S,,>60〃+800成立，”的最小值为41.综上,当%=2时,不存在满足题意的n；

当an=4n-2时,存在满足题意的"，其最小值为41.

【变式训练】

等比数列｛《,｝的公比q>1,第17项的平方等于第24项,求使

q+a,++an>—+—++!恒成立的正整数”的取值范围.

4a2an

【核心例题2)

oc17

设数歹IJ｛q｝的前〃项和为sn,己知％=1,半=

(1)求生的值.

(2)求数列也｝的通项公式.

.1117

(3)证明：对一切正整数〃，有1----FH---<—.

q々4

【解题策略】

第(2)问，由条件等式写出“姐妹式”作差得到a向与凡的递推关系式，再构造等差数列写

出通项公式.第(3)问，把(2)所得结果代入所证不等式左边,先放缩再求和,再放缩.

一般地，对于和式不等式的证明有两类，一是先求和后放缩，二是先放缩再求和，视和式的

特征而定.本例显然是后一类,放缩后才能运用裂项相消法,再利用添减项放缩.

(1)【解】

I?1?

——-=a.——n2-n——eN*,.•.当〃=］时，2a=2sl=a,---1——=

nn+,331233

a2-2,又％=1,故%=4.

⑵【解】

2s122z*

-^li=4+1-/neN,

1,,2〃(鹿+1)(〃+2)

2S”=na,l+i--n--n---n=nan+i--------------，①,

当几.2时，——曾——②

由①-②得2S“-2S,i=nan+l-(n-l)a,(-H(H+1).

2a“=2S"-2S._i，:.2a0=叫用-〃(〃+1).

整理可得3L—%=1,③

〃+1n

当〃=1时，③式显然成立,即数列I组;是首项为幺=1,公差为1的等差数列,

〃J1

=1+1x(n-1)=n,/.=H2(n..2),

n

2

an-n,nGN*.

(3)【证明】

由⑶知：%=7Z2,HGN\

17

(i)当〃=1时，一二1〈一，故原不等式成立;

44

1117

(ii)当〃=2时，一+—=1+—<一，故原不等式成立;

q%44

(iii)当几.3时，…n2>(n-l)(A7+l),.\—<-----&----r

11

22n2

---++--+--------+------------

1x32x4-----(〃一2)〃(〃一1)(〃+1)

1

2(〃一2nJ2(〃一1〃+1

111111111

1------1-----------1----------F+--------+-----------

32435〃-2nn-1〃+1

17If1117

1+----=-+-——----<—

1〃+U421nn+\)4

二当几.3时结论成立，即原不等式也成立.

一1117

综上，对一切正整数〃，有---1------F…H-----<—.

Ga2an4

【变式训练】

已知数列｛a,J满足%+i

3个+1

(1)若方程/(x)=x的解称为函数)，=/(%)的不动点,求an+i=/(q)的不动点的值.

(2)若4=2,2=子，证明：数列｛｛ln0“｝是等比数列，并求数列｛bn｝的通项.

(3)当任意〃eN*时，证明：2+为+&+

【核心例题3]

已知函数/(x)=x2+x,xe[l,+oo),a„=

(1)证明：jx+，

</(x)“2x2.

I2)

]3

(2)设数列｛©的前〃项和为An，设数列.，的前〃项和为纥,q=万，证明:

4+L

22”<也32"

3纥

【解题策略】

第(1)问，可运用比差法证明.第(2)问是不可求通项型的数列不等式证明，可结合(1)所证结

果利用递推的特点实施构造放缩.

【证明】

=X2+X—|X2JQ--|=—>0,

⑴小)-1+；)4I4J4

“3〉[+{l-p

X/(x)-2x2=x2+x-2x2=x-x2=x(l—x)京0(%1),/./(%)?2x2,

<1、2]

XdVf(X),,2炉.

I2J2'"

⑵&=/(«„-,)=<i+%，­,-<i=a,~a„-\■

3

运用累加法得4=a；+q；++a；=ciH+^—4=%+i—~,

an=<1+a,i=%(a„_,+1),取倒数得；=/八=7"一7"

UnC"〃一十/Un-\Un-\

]_J____1_

,'%+1%an'

1112__

运用累加法得久=—+4----------=-------------

4+1%+1%+1«l%+13atl+i

3

•4一°"+「2_3

••gT~2r~2a,,+l

a

3n+\

22、2”

>q+g

由(1)得>%十万一,n%+「I>

7

a>22-，L=<Z，，+l

n+\iBi〉3x2?T

q=/(a,i)融4n%2a燃疗？^'af=2^'^=^32".

,331.2n12Z,+,

---=—6Fp,—x—x3=—x3Q.

2n'224

3A1

"

<X3H

-4-瓦2

4-

22"+」<江

3纥

又223—1>22].22"<士£,32".

3纥

【变式训练】

设数列｛q)满足an+]=crn-nan+1,neN*.

(1)当q=2时，求生,%,%并由此猜测。”的一个通项公式(不需要证明).

⑵当q23时，用数学归纳法证明an>n+2.

(3)当4=3时,证明：---+---F•・•+---<—.

1+q1+%1+〃“2

【核心例题4】

x

设等比数列｛a,,｝的前及项和为Sn,已知对任意的”eN*,点(〃,S“)在函数y=h+r

(6〉0且bw均为常数)的图像上.

(1)求r的值.

⑵当力=2时,记d=2(log2a„+1)(neN*),证明:对任意的〃eN*,不等式

4+14+1b4-1/~

----•----•••----->\/拉+1成立.

4瓦bn

【解题策略】

本例的精彩之处在第(2)问，在求出外之后代入所证不等式左边的连乘式,如何对这个连乘

式进行缩小就成了关键,可以有多种不同的处理方法，如运用数学归纳法证不等式;通过构造

数列抓住通项进行比较实现放缩;构造函数利用函数的单调性进行放缩，通过糖水不等式逐

项进行放缩;运用均值不等式进行放缩等，众多证法供读者赏析.

(1)【解】

­,•对任意〃eN*,点(小均在函数y=//+r(b>0且匕#l,b,r均为常数)的图像上，

n

Stl=b+r.

当几=1时，q=S[=b+r.

当〃..2时，4=S„-%=bn+r-(bn-x+r)=bn-bn-l=(b-1)bn-1.

X-{4}为等比数列，.“=-4,公比为瓦4=仅一1)加1.

(2)【证明】

当b=2时，？=(匕一l)Z/i=2"T.

),

b“=2(log2a,(+1)=21og22=2n,

.也+12n+lb,+1b,+\b+\3572〃+l

则」;一=-----,，一4~―――弋—=-x-x-x...x--------

bn2nh}b2bn2462n

原问题即转化为证不等式3x2x2/x型口〉成立.

2462n

【证法一】(数学归纳法)

(D当〃=i时，左边=3,右边=0.3>&,.•.不等式成立.

22

(ii)假设当〃=人(左/)时不等式成立,即3x』xZx…x竺担>成立.

2462k

则当〃=攵+1时,

3572Z+12A:+32k+3

左边=±x±x'xx->---y-j-k--+--l-------

2462k2k+22k+2

但A+3>_卜(A+l)2+4(k+l)+l

V4(1+1)R4(1+1)

=/k+1）+1+^（h）>^+1）+L

,当〃=攵+1时，不等式也成立.

由（。和（ii）可知,原不等式恒成立.

【证法二】（构造数列,抓住通项实现放缩）

设数列｛%｝满足C”=+L①，

则qc2cn_]=4n,②

①+②得q,=呼L

yJn

3572〃+1血85/4\/n+l

...原不等式等价于？xex,xX------------>―-=-X―-=X--=XX-=—.

2462HJix/2、/3Jn

二"士1><=>2”+1>2,〃+1•册=4〃2+4〃+1〉4/+4〃

2n册

显然41+4〃+1>4/+4〃恒成立，原不等式成立.

【证法三】（构造函数,通过探究函数单调性进行证明）

令"〃"焉j332〃+1

x------------

2〃

2

EI62n+l2〃+1U/i+4n+l

/(n-l)Vn+12n2G7n+lV4”~+4〃

函数/（〃）=一/----x/x;x：*X——在定义域上单调递增.

Vn+124