2023年湖南省衡阳市水口山希望中学高三数学理联考试卷含解析

2023年湖南省衡阳市水口山希望中学高三数学理联考

试卷含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

xAl

x-jr+l<0

.{2x-j-2^0则z=2x+y的最小值为

A.1B.2C.4D.10

参考答案：

C

【分析】

先画出满足条件的平面区域，有区得到通过平移直线发现直线过

时，，最小，代入求出z的最小值即可.

【详解】解：画出满足条件的平面区域，如图示：

由z=2x+y得：jr=-2x+z

由图象得：了二d+z过Q»2)时，“最小,

故选：C.

【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于基础题.

2.已知函数f(x)在定义域R上的导函数为f(x),若方程f(x)=0无解，且f[f(x)

n%

-2017x]=2017,当g(x)=sinx-cosx-kx在[-9,2]上与f(x)在R上的单调性相同

时，则实数k的取值范围是()

A.(-co,-1]B.(-co,72]C.[-1,五]D.[拉，+oo)

参考答案：

A

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【分析】由题意可知：f(x)为R上的单调函数，则f(x)-2017,为定值，由指数函数

KJT

的性质可知f(x)为R上的增函数，则g(x)在[-花-，下]单调递增，求导，则g,

—2L

(x)K)恒成立，则kW&sin(x+T)min，根据函数的正弦函数的性质即可求得k的取值

范围.

【解答】解：若方程f(X)=0无解，

则f(x)>0或f(x)<0恒成立，所以f(X)为R上的单调函数，

?xGR都有f[f(x)-2017x]=2017,

则f(x)-2017X为定值，

设t=f(x)-2017S则f(x)=t+2017x,易知f(x)为R上的增函数，

vg(x)=sinx-cosx-kx,

兀

g'(x)=cosx+sinx-kzV2sin(x+~^~)-k

又g(x)与f(x)的单调性相同，

717T

・・・g(x)在R上单调递增，则当x€”2,2],g*(x)NO恒成立，

当x€等]sin(x+?)€[《，1]

V2sin(x+-^-)€[-1>亚]

此时代-1,

故选A.

3.如果复数8+2))。+】)的模为4,则实数4的值为(

)

A.2B.2及c.±2D.±2及

参考答案：

c

x—[x],x20

f（X）=5v

4.设函数lf（x+1）,x:0,其中[x]表示不超过x的最大整数，如[一

x_l_1

1.3]=-2,则函数y—MxJ4X4不同零点的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

参考答案：

B

略

5.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

参考答案：

B

【考点】由三视图求面积、体积.

【分析】由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长

度，由锥体的体积公式求出几何体的体积.

【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P-ABCD中挖去一个半圆锥，

四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2,

圆锥的底面半径是1、高是2,

11198-

-1-X2X2X2-—x—KXI2X2—L

二所求的体积V=323=3

【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查

空间想象能力.

而」丽♦说）

N万=3记，若8,0,。三点共线，则

6.已知。为△ABC内一点，且2

f的值为（）

112

A.彳B.3C.2D.3

参考答案:

B

7.在复平面上的平行四边形4题中，向量而、前对应的复数分别为4+10>、

-6+&,则向量而对应的复数

为

（）

A.2+1&B.l+9iC.2-1&

D.l-9t

参考答案：

D

2.1.1

aII

8.设a>b>0,则aba（a-b）的最小值是（）

A.1B.2C.3D.4

参考答案:

D

【考点】基本不等式在最值问题中的应用.

【专题】计算题；压轴题；转化思想.

a2-+^-+~~q-1ab+~+a(a-b)+—?—r—

【分析】将册a(a-b)变形为aba(a-b),然后前两项和后

两项分别用均值不等式，即可求得最小值.

a2+~^-+~~7-ab+-^+a(a-b)+—/■―--c—

【解答】解：aba(a-b)=aba(a-b)24

GW

ab

<

a(a-b)=—/1,、

当且仅当［a(a-b)取等号

+

；.a^ba(a-b)的最小值为4

故选：D

【点评】本题考查凑成几个数的乘积为定值，利用基本不等式求出最值.

9.已知函数人工)是偶函数，且,/U)=l,则/T>=()

A.-1B.-5C.1D.5

参考答案：

C

10.已知角。的顶点与原点重合，始边与X轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，则sin

(20+-3")=()

3_哂3-十4一加4-加

A.-10B.--10C.-10D.--ICH

参考答案：

A

【考点】GQ：两角和与差的正弦函数.

【分析】根据定义求解sin。和cos。的值，利用两角和与差的公式以及二倍角公式即可

化简并求解出答案.

【解答】解：由题意，已知角6的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直

线y=3x上，

可知6在第一或第三象限.

,3V10V10

十-------------------

根据正余弦函数的定义：可得sin9=-10,cos0=±10,

兀

则sin（20+丁）

工工&i_2sin28）且也飞的空返

=sin20cos3+cos20sin3=sin0cos0+2=10210=10

故选：A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.已知集合人={1,2,3,4},B={1,2）,则满足条件B?C?A的集合C的个数

为.

参考答案：

4

【考点】子集与真子集.

【分析】根据B?C?A,确定满足条件的集合C的元素即可得到结论.

【解答】解：：A={1,2,3,4},

若B?C?A,

；.C={1,2}或{1,2,3},或{1,2,4},或{1,2,3,4）,

故满足条件的C有4个，

故答案为:4.

12.（理）如图是一个算法框图，则输出的上的值是.

理第85，

参考答案:

6

略

13.关于函数/(x)=COS2x-2招sinxcosx,下列命题：

xn

①、若存在A马有应一电="时，/(xj=/(xj成立；②、/(x)在区间L上

是单调递增；③、函数/(X)的图像关于点(l2")成中心对称图像；④、将函数/(X)的

5K

图像向左平移下个单位后将与y=2sm2x的图像重合.其中正确的命题序号

参考答案：

①、③

略

14.若圆/+/=4与圆/+/+2@_6=0(°>0)的公共弦长为2/，则@=

参考答案:

15.已知菱形ABC。的边长为2,ZABC=W,则瓦万丽-.

参考答案：

6

12

16.已知直线勿4"+2=0＞。,力＞0)经过圆卜+1)2+8-2)2=4的圆心，则)+否

的最小值为.

参考答案：

4

17.现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量才为三个盒子中含球最多的盒子

里的球数，则《的数学期望£4为.

参考答案：

17

9

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(本小题共13分)

-与+2cos'K

已知函数S

(1)求/(0的最小正周期；

(H)求/(0在区间1°'3上的最大值和最小值.

参考答案：

【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合

/(X)=-sin2x--cos2x+l+cos2x=—stn2x+-cos2x+l

【试题解析】(I)2222

=sm(2x+-)+l

所以/（幻的最小正周期丁=兀.

六叫时,所以

（II）因为

71

2x+-=-x=

于是当62,即不时，/（*）取得最大值2；

2X+Z=2xJ1

当66,即2时，/«）取得最小值2.

19.每年5月到7月，是芒果的成熟季节，华南农业大学校内也种植了很多食用芒果。据该

校后勤处负责人介绍，他们校内的芒果种植过程中没有使用过农药，也没有路边那种绿化

芒的污染，可以放心食用。2018年该校的芒果也迎来了大丰收。6月25日，该校南北校

区集中采摘芒果，并将采摘到的芒果免费派送给学校师生。现随机从一些芒果树上摘下

100个芒果，其质量分另■NO0J5OU15O皿［200250）即001［300350“350.80）

（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.

（I）现按分层抽样从质量为［250,300）,［300,350）的芒果中随机抽取9个，再从这9个中随

机抽取3个，记随机变量x表示质量在［300,350）内的芒果个数，求x的分布列及数学期望.

（II）以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，

将频率视为概率，假如你是经销商去收购芒果，该校当时还未摘下的芒果大约还有10000

个，现提供如下两种收购方案：

A：所有芒果以10元/千克收购；

B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购.

通过计算确定你会选择哪种方案？

参考答案：

（I）9个芒果中，质量在R'OJOOWBOMSO）内的分别有6个和3个.

则X的可能取值为0』,2,3.

网K=0)=

~fC*C?18~U1

Pfj[—=—--=—PCjt=9——-——

CM《84..................4分

所以上的分布列为

X0123

2045181

P

84848484

«20,45,18,1,

ELX)—Ox—♦lx—，2x—+3x—=1

X的数学期望fMMMM6分

(11)方案A：(125x0002+175x00»2+225x-(MB+27sx•108+525x0g+375x0001)

x50xl0000x]0x0.001^25750

..................9分

方案B：

低于250克：(0.002+0.002+0.003)x50x10000x2=7000(元)

高于或等于250克(0.008+0.004+0.001)x50x10000x3=19500(元)

总计7000+19500=26500元

由2575(X26500,故B方案支出更多，应选A方案........................12分

20.(本小题满分12分)

如图，四边形ABCD是菱形，DEA.DC,平面力&：_L平面ABCD.

(I)求证：ZCJL平面BDE；

AF^-DEDM

(H)若AF〃DE,3,点M在线段BD上，且3,求证：AM〃平面

BEF.

c

参考答案:

证明：(1)因为平面£皿_1平瓦〃归0,。后_1以7,平面助8。八平蜘3>=8,

QKu平面ABC,所以DSJL平面455，又ZCu平面/0,所以ZW1/C-

-------------------------------------2分

因为4ICD是菱形，所以4C1M,

又MCIDE=Da/J.ZMfu平面JWJK

从而发，平面AQS.------------------------------------------------5分

(II)法一：延长EF、ZM交于点G,-------------------6分

AF^DE跑=丝」

因为“〃瓜，3,所以GODE37分

21RM1

DM=tBDBM=-BD—=-

因为3，所以3，因此也13,

RMGA\

所以RD一0一1----------9分

所以血/〃(3?,----------10分

又平面虏质，厘匚平面丹加，所以//〃平面MF.

12分

(II)法二：在中，过M点作MM〃理MVc晒=",连接-

-----6分

因为所以MNOAF,--------------------------------------7分

21MNRM1AF1

DMRM--RD-=-

因为3,所以3DEXD3,又DE3,所以=

所以四边形4M而为平行四边形，--------------------------------------10分

AMUFN,因为ZMcz平面砥V,EMu平面斑W,因此3〃平面如7L---------

--------------12分

21.(本小题满分14分)设函数f(8)=J5sin8+cos9,其中，角9的顶点与坐标原点重

合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x,y),且0«把兀

(13)

(1)若点P的坐标为2,2,求f(o)的值；

卜十后1

Q：\xWl

(2)若点P(x,y)为平面区域IvWl,上的一个动点，试确定角0的取值范围，

并求函数f(0)的最小值和最大值.

参考答案：

成1W析，(1)由*p的坐标利三角函版0m(可舄，

⑵作出平面区域。卸三京区域ABC：加图所示.其中A(IO),BUDqOD

又只鲂=由山+B党=2皿6+；卜且盛&&