适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习上篇六大核心专题主攻专题2数列高考小题突破3等差数列等比数列课件

高考小题突破3等差数列、等比数列考点一等差、等比数列基本量的运算例1(1)(2023全国甲,理5)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1,S5=5S3-4,则S4=(

)C(2)(多选题)(2023山东德州高三期中)将n2个数排成n行n列的数阵,如图所示,该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11=3,a13=a51+1,记这n2个数的和为S,下列结论正确的是(

)a11

a12

a13

…

a1na21

a22

a23

…

a2na31

a32

a33

…

a3n……an1

an2

an3

…

annA.m=2

B.a78=15×28C.aij=(2i+1)·2j-1

D.S=n(n+2)(2n-1)ACD解析

由题意a13=a11·m2=3m2,a51=a11+4m=3+4m,由a13=a51+1,则3m2=3+4m+1,整理可得(3m+2)(m-2)=0,又m>0,所以m=2,故A正确;对于B,a71=a11+6×2=15,a78=a71·27=15×27≠15×28,故B错误;对于C,ai1=a11+(i-1)×2=1+2i,aij=ai1·2j-1=(1+2i)·2j-1,故C正确;(3)(2022全国乙,文13)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=

.2解析

设等差数列的公差为d.由题意得2(3a1+3d)=3(2a1+d)+6,即3d=6,解得d=2.规律方法等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量,首项a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些结构特征,如前n项和为Sn=An2+Bn(A,B是常数)的形式的数列为等差数列,通项公式为an=p·qn-1(p,q≠0)的形式的数列为等比数列.(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置,所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.对点训练1(1)(2023江苏如东高级中学模拟)山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间,左右对称分布,最中间的是明间,宽度最大,然后向两边均依次是次间、次间、梢间、尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减,且明间与相邻的次间的宽度比为8∶7.若设明间的宽度为a,则该大殿9间的总宽度为(

)D9考点二等差、等比数列的性质考向1等差数列性质的应用例2(1)(2023全国甲,文5)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=(

)A.25 B.22

C.20

D.15C(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=15,S9=99,则S6=________.48解析

因为等差数列{an}的前n项和为Sn,所以S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6),因为S3=15,S9=99,所以2(S6-15)=15+(99-S6),解得S6=48.延伸探究解

因为数列{an},{bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,所以可设Sn=An(4n+2),Tn=An(3n-1),A≠0,考向2等比数列性质的应用例3(1)(2023新高考Ⅱ,8)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=(

)A.120 B.85

C.-85 D.-120C(2)(2023广东广州高三联考)已知等比数列{an}满足log2a2+log2a13=1,且a5a6a8a9=16,则数列{an}的公比为(

)B增分技巧等差数列、等比数列性质问题的求解策略

对点训练2A解析

∵{an}是等比数列,∴a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8也成等比数列,∵a1+a2=6,a3+a4=12,∴a5+a6=24,a7+a8=48,∴数列{an}的前8项和为a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=90.故选A.(2)(2023山东济宁高三统考)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=15,a5+a6+a7+a8+a9=35,则S14=__________.105120考点三求数列的通项公式例4(1)(2023福建厦门外国语学校期末)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,高阶等差数列中前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,2,4,7,11,16,22,则该数列的第50项为(

)A.1224 B.1225

C.1226

D.1227C解析

设数列{an}的前7项分别为1,2,4,7,11,16,22,由题意可得a2-a1=1,a3-a2=2,a4-a3=3,…,a50-a49=49,上述等式累加可得a50-a1=1+2+3+…+49==1

225,所以a50=a1+1

225=1

226.故选C.160增分技巧求数列{an}通项公式的常用方法

对点训练3(1)已知数列{an}满足a1=1,an=n(an+1-an),则数列{an}的通项公式an=(

)A.2n-1 B.C.n2

D.nD(2)(2023山东烟台模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=14n-n2,则an=__________;若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,则T20=__________.15-2n218考点四两数列的公共项问题例5(1)(2020新高考Ⅰ,14)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为__________.3n2-2n解析)数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列构成的新数列{an}为以1为首项,以6为公差的等差数列.所以{an}的前n项和为(2)(2023河南濮阳一中高三质检)由数列{an}和{bn}的公共项组成的数列记为{cn},已知an=3n-2,bn=2n,若{cn}为递增数列,且c3=bm=at,则m+t=_______.28解析

因为an=3n-2,所以a1=1,a2=4,因为bn=2n,所以b1=2,b2=4,因为数列{an}和{bn}的公共项组成的数列记为{cn},所以c1=a2=b2=4,设cn=bx=ay,即cn=2x=3y-2,bx+2=2x+2=4(3y-2)=3(4y-2)-2,因为4y-2∈N*,所以bx+2是{cn}中的项,所以cn+1=bx+2=a4y-2.因为cn=bx=ay,c1=a2=b2=4,所以n=1,x=2,y=2,所以c2=b4=a6,所以n=2,x=4,y=6,所以c3=b6=a22,所以m=6,t=22,所以m+t=28.规律方法求两个数列公共项的两种方法

不定方程法列出两个项相等的不定方程,求出符合条件的项,并解出相应的通项公式周期法即寻找下一项:通过观察找到首项后,从首项开始向后,逐项判断,并找到规律(周期),分析相邻两项之间的关系,从而得到通项公式对点训练4(1)我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩二,七七数之剩二,问物几何?”根据这一数学思想,所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an},所有被5除余2的自然数从小到大组成数列{bn},把{an}和{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},则下列结论正确的是(

)A.a3+b5=c3 B.b28=c10C.a5b2>c8 D.c9-b9=a26B解析

根据题意数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,则an=2+3(n-1)=3n-1,数列{bn}是首项为2,公差为5的等差数列,则bn=2+5(n-1)=5n-3,数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},故数列{cn}是首项为2,公差为15的等差数列,则cn=2+15(n-1)=15n-13.对于A,a3+b5=(3×3-1)+(5×5-3)=30,c3=15×3-13=32,a3+b5≠c3,A错误;对于B,b28=5×28-3=137,c10=15×10-13=137,b28=c10,B正确;对于C,a5=3×5-1=14,b2=5×2-3=7,c8=15×8-13=107,a5b2=14×7=98<107=c8,C错误;对于D,c9=15×9-13=122,b9=5×9-(2)(2023安徽十校联盟模拟)已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=2n,bn=2n,现从数列{an}中剔除{an}与{bn}的公共项后,将余下的项按照从小到大的顺序进行排列,得到新的数列{cn}