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文档简介

培优拓展(十三)隐零点问题在求解导数问题时,如果f'(x)是超越式(对字母进行了有限次初等超越运算,包括无理数次乘方、指数、对数、三角、反三角等运算的解析式,称为初等超越式,简称超越式),并且f'(x)的零点是存在的,但我们无法求出其零点,此时可对函数的零点设而不求,利用整体代换的思想,再结合题目条件最终解决问题,我们称这类问题为“隐零点问题”.即f'(x)单调递增,又因为f'(0)=0,所以∀x∈(0,x0),f'(x)>0,f(x)在(0,x0)上单调递增.综上所述,f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,x0)上单调递增,所以0为f(x)的一个极值点,故a=2.增分技巧隐零点问题求解的三个步骤(1)用零点存在定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程f'(x0)=0,并结合f(x)的单调性得到零点的取值范围.(2)以零点为分界点,说明导函数f'(x)的正负,进而得到f(x)的最值表达式.(3)将零点方程适当变形,整体代入最值式子进行化简证明,有时(1)中的零点范围还可以适当缩小.对点训练(2023河南豫南名校联考三模)已知函数f(x)=ex-4lnx-4.(1)判断f(x)的导函数在(1,+∞)上零点的个数,并说明理由;(2)证明:当x∈(1,+∞)时,ex-4xlnx-1>0.注:0.69<ln2<0.7.所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增,即f'(x)在(1,+∞)上单调递增,又f'(1)<0,f'(2)

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