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考点突破练20利用导数研究函数的零点问题12341.(2020全国Ⅲ,文20)已知函数f(x)=x3-kx+k2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围.123412342.(2023黑龙江哈师大附中三模)已知f(x)=ex·sinx-x.(2)当x∈(-∞,π)时,讨论f(x)零点个数.12341234123412343.(2023湖南娄底模拟)已知函数f(x)=ex+kx2-x(其中k≥0),g(x)=xex-x.(1)证明:函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增;(2)判断方程f(x)=g(x)在R上的实根个数.1234(1)证明

f'(x)=ex+2kx-1,设F(x)=ex+2kx-1,则F'(x)=ex+2k,因为k≥0,所以F'(x)>0,所以F(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f'(x)=F(x)≥F(0)=0,当且仅当x=0时,取得等号,所以函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.1234当x≥1时,h'(x)≥0,则h(x)在区间[1,+∞)上单调递增,又因为h(1)=-k≤0,h(2)=e2-4k≥e2-2e>0,所以h(x)在区间[1,+∞)上有且只有一个零点;(2)解

方程f(x)=g(x)在R上有且仅有1个实根.证明如下:方程f(x)=g(x),即ex+kx2-x=xex-x,即(x-1)ex-kx2=0,令h(x)=(x-1)ex-kx2,则h'(x)=x(ex-2k),因为当x<1时,h(x)<0,则h(x)在区间(-∞,1)上无零点,所以只需证明h(x)在区间[1,+∞)上有且只有一个零点.1234②若

,由h'(x)>0,得x>ln(2k),由h'(x)<0,得1≤x<ln(2k),所以h(x)在区间[1,ln(2k))上单调递减,在区间(ln(2k),+∞)上单调递增.又因为h(1)=-k<0,h(k+1)=kek+1-k(k+1)2=k[ek+1-(k+1)2],令t=k+1>2,m(t)=et-t2,则m'(t)=et-2t,令φ(t)=et-2t,φ'(t)=et-2,因为t>2,所以φ'(t)>0,所以m'(t)=φ(t)在区间(2,+∞)上单调递增,所以m'(t)>m'(2)=e2-4>0,所以m(t)在区间(2,+∞)上单调递增,所以m(t)>m(2)=e2-4>0,即h(k+1)>0,所以h(x)在区间[1,+∞)上有且只有一个零点.综上所述,当k∈[0,+∞)时,h(x)在区间[1,+∞)上有且只有一个零点.所以方程f(x)

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