2023-2024学年吉林省示范名校高一数学第一学期期末质量检测试题含解析

2023-2024学年吉林省示范名校高一数学第一学期期末质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知在海中一孤岛的周围有两个观察站，且观察站在岛的正北5海里处，观察站在岛的正西方.现在海面上有一船，在点测得其在南偏西60°方向相距4海里处，在点测得其在北偏西30°方向，则两个观察站与的距离为A. B.C. D.2．已知集合，，，则（）A. B.C. D.3．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.4．已知角的终边与单位圆相交于点，则=（）A. B.C. D.5．已知函数（ω>0），对任意x∈R，都有≤，并且在区间上不单调，则ω的最小值是（）A.6 B.7C.8 D.96．的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则的面积为（）A. B.C. D.17．若关于x的不等式的解集为，则关于函数，下列说法不正确的是（）A.在上单调递减 B.有2个零点，分别为1和3C.在上单调递增 D.最小值是8．已知角的终边过点，若，则A.-10 B.10C. D.9．已知点P3,-4是角α的终边上一点，则sinA.-75C.15 D.10．已知函数的定义域是且满足如果对于,都有不等式的解集为A. B.C. D.11．若幂函数的图象经过点，则＝A. B.C.3 D.912．已知sin2α>0，且cosα<0，则角α的终边位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．函数的最大值为__________14．已知函数在区间上恰有个最大值，则的取值范围是_____15．计算____________16．命题“”的否定是___________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知为二次函数，且（1）求的表达式；（2）设，其中，m为常数且，求函数的最值18．已知.（1）求，的值；（2）求的值.19．设向量a=-1,2，b=（1）求a+2（2）若c=λa+μb，（3）若AB=a+b，BC=a-2b，CD20．已知函数为奇函数（1）求函数的解析式并判断函数的单调性（无需证明过程）；（2）解不等式21．我国是世界上人口最多的国家，1982年十二大，计划生育被确定为基本国策.实行计划生育，严格控制人口增长，坚持少生优生，这是直接关系到人民生活水平的进一步提高，也是造福子孙后代的百年大计.（1）据统计1995年底，我国人口总数约12亿，如果人口的自然年增长率控制在1%，到2020年底我国人口总数大约为多少亿（精确到亿）；（2）当前，我国人口发展已经出现转折性变化，2015年10月26日至10月29日召开的党的十八届五中全会决定，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策，积极开展应对人口老龄化行动.这是继2013年，十八届三中全会决定启动实施“单独二孩”政策之后的又一次人口政策调整.据统计2015年中国人口实际数量大约14亿，若实行全面两孩政策后，预计人口年增长率实际可达1%，那么需经过多少年我国人口可达16亿.（参考数字：，，，）22．已知点及圆.(1)若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；(2)设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；(3)设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、D【解析】画出如下示意图由题意可得，，又，所以A,B,C,D四点共圆，且AC为直径、在中，,由余弦定理得，∴∴（其中为圆的半径）.选D2、C【解析】解一元二次不等式求出集合，解不等式求出集合，再进行交集运算即可求解.【详解】因为，，所以，故选：C.3、C【解析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.【详解】对A，函数的图象关于轴对称，故是偶函数，故A错误；对B，函数的定义域为不关于原点对称，故是非奇非偶函数，故B错误；对C，函数的图象关于原点对称，故是奇函数，且在上单调递减，故C正确；对D，函数的图象关于原点对称，故是奇函数，但在上单调递增，故D错误.故选：C.4、C【解析】先利用三角函数的定义求角的正、余弦，再利用二倍角公式计算即可.【详解】角的终边与单位圆相交于点，故，所以，故.故选：C.5、B【解析】根据，得为函数的最大值，建立方程求出的值，利用函数的单调性进行判断即可【详解】解：对任意，都有，为函数的最大值，则，，得，，在区间，上不单调，，即，即，得，则当时，最小.故选：B.6、B【解析】由，利用向量加法的几何意义得出△ABC是以A为直角的直角三角形，又|，从而可求|AC|，|AB|的值，利用三角形面积公式即可得解【详解】由于，由向量加法的几何意义，O为边BC中点，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，∴三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形，∠BAC＝，斜边BC=2，又∵∴|AC|=1，|AB|=，∴S△ABC=,故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量及应用，三角形面积的求法，属于基础题7、C【解析】根据二次函数性质逐项判断可得答案.【详解】方程的两个根是1和3，则函数图象的对称轴方程是，是开口向上的抛物线，A正确；C错误；函数的两个零点是1和3，因此B正确；又，，，即，为最小值，D正确故选：C.8、A【解析】因为角的终边过点，所以，得，故选A.9、A【解析】利用三角函数的定义可求得结果.【详解】由三角函数的定义可得sinα-故选：A.10、D【解析】令x=，y=1，则有f（）=f（）+f（1），故f（1）=0；令x=，y=2，则有f（1）=f（）+f（2），解得，f（2）=﹣1，令x=y=2，则有f（4）=f（2）+f（2）=﹣2；∵对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），∴函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，故f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2可化为f（﹣x（3﹣x））≥f（4），故，解得，﹣1≤x＜0．∴不等式的解集为故选D点睛：本题重点考查了抽象函数的性质及应用，的原型函数为的原型函数为，.11、B【解析】利用待定系数法求出幂函数y＝f（x）的解析式，再计算f（3）的值【详解】设幂函数y＝f（x）＝xα，其图象经过点，∴2α，解得α，∴f（x），∴f（3）故选B【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题12、C【解析】根据二倍角公式可得到，又因为cosα<0，故得到进而得到角所在象限.【详解】已知sin2α>0，，又因为cosα<0，故得到，进而得到角是第三象限角.故答案为C.【点睛】本题考查象限角的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号是解决问题的关键，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、【解析】利用二倍角余弦公式，把问题转化为关于的二次函数的最值问题.【详解】，又，∴函数的最大值为.故答案为：.14、【解析】将代入函数解析式，求出的取值范围，根据正弦取8次最大值，求出的取值范围【详解】因为，，所以，又函数在区间上恰有个最大值，所以，得【点睛】三角函数最值问题要注意整体代换思想的体现，由的取值范围推断的取值范围15、5【解析】由分数指数幂的运算及对数的运算即可得解.【详解】解：原式，故答案为：5.【点睛】本题考查了分数指数幂的运算及对数的运算，属基础题.16、，.【解析】根据特称命题的否定的性质进行求解即可.【详解】特称命题的否定，先把存在量词改为全称量词，再把结论进行否定即可，命题“，”的否定是“，”，故答案为：，.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）（2）；【解析】（1）利用待定系数法可求的表达式；（2）利用换元法结合二次函数的单调性可求函数的最值【小问1详解】设，因为，所以整理的，故有，即，所以.【小问2详解】，设，故又，∵，所以，在为增函数，∴即时，；即时，18、（1），（2）【解析】（1）根据同角三角函数关系得到余弦值，正切值，利用二倍角公式求得；（2）在第一问的基础上，利用余弦的差角公式进行求解.【小问1详解】∵,且,∴,∴,.【小问2详解】19、（1）1（2）2（3）证明见解析【解析】（1）先求a+2b=1,0，进而求a+2b；（2）列出方程组，求出λ=-1μ=3，进而求出λ+μ；（【小问1详解】a+2b=【小问2详解】4,-5=λ-1,2+μ1,-1，所以-λ+μ=42λ-μ=-5【小问3详解】因为AC=AB+BC=a+b+20、（1），单调递增（2）【解析】（1）直接由解出，再判断单调性即可；（2）利用奇函数和单增得到，解对数不等式即可.【小问1详解】因为函数的定义域为R，且是奇函数所以，即，解得，经检验，，为奇函数，所以函数解析式为，函数为单调递增的函数.【小问2详解】因为函数在R上单调递增且为奇函数，解得，.21、（1）15；（2）14年.【解析】（1）先判定到2020年底历经的总年数，再利用增长率列式计算即可；（2）设经过x年达16亿，列关系，解不等式即得结果.【详解】解：（1）由1995年底到2020年底，经过25年，由题知，到2020年底我国人口总数大约为（亿）；（2）设需要经过x年我国人口可达16亿，由题知，两边取对数得，，即有，则需要经过14年我国人口可达16亿.22、（1）或；（2）；（3）不存在.【解析】（1）设出直线方程，结合点到直线距离公式，计算参数，即可．（2）证明得到点P为MN的中点，建立圆方程，即可．（3）将直线方程代入圆方程，结合交点个数，计算a的范围，计算直线的斜率，计算a的值，即可【详解】(1)直线斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即.又圆的圆心为，半径，由，解得.所以直线方程为