2023-2024学年北京顺义区一中高二（上）期中数学试题及答案

2023北京顺义一中高二（上）期中数学本试卷共4页，150分考试时长分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题（本大题共10小题，共40.0分）(−)(−)A0,B5,31.经过两点的直线的斜率是（）32A.1B.1C.1D.−)，b=(1,0,4)，且aa=(m,2,1b，则实数m的值为（2.已知向量−−2A.4B.4C.2D.x2+y2=1与圆(x−B.22+(y−4)2=r2(r0)外切，则rC.3=（）3.已知圆A.1D.4x2+y+2x−y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是24.已知方程5545454A.mB.m−C.mD.m−45.设aR，则“a＝1”是“：ax＋－1＝0：x＋(a＋1)y＋4＝0”的（）l1l2A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件xy+=1与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为（6.直线）42xx22+y+y2−4x−2y−1=0−4x−2y+1=0B.x22+y+y22−4x−2y=0−2x−4y=0A.C.2D.x7.椭圆x2+2y2=4的焦点坐标为（）((2,0)，−2,0))−6,0)2)(2)，−A.C.B.D.6)，−6)6,0，ABCD−ABCDABAD的中点，则直线和CN中，M，分别是棱，所成角的余11118.在正方体N1111弦值是（）6325152515A.B.C.−D.339.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为，则点A到平面的距离是（）142312A.B.C.D.22−y+2k+1=0与x+2y−4=0的交点在第四象限，则实数的取值范围为（k）10.已知直线1(−2)−,0A.B.6111−,−,+C.D.262二､填空题（本大题共5小题，共25.0分）)=()，则a=(−3,2，b2a+b=______．已知向量12.已知直线x-y-1=0和圆（x-1）2+2交于A，B两点，则|AB|=________．x−y+3=0的对称点的坐标为______.13.点14.点关于直线P(2,−kx−y+1+2k=0(kR)的最大距离为_____________．到直线15.关于曲线C:x2+y2=x+y，给出下列四个结论：①曲线Cxy关于原点对称，也关于轴､轴对称：2π+2；③曲线C上任意一点到原点的距离者不大于2；④曲线C②曲线C围成的面积是上的点到原点的距离的最小值为1.其中，所有正确结论的序号是__________.三､解答题（本大题共6小题，共85.0分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(A4的顶点为)，B(−6)，C(−0)，求：16.已知（1）边AC上的中线所在直线的方程；（2）边AC上的高所在直线的方程；（3）边AC的垂直平分线的方程.17.已知直线lax2y30l：−xa3ya0+=，：+(−)+=.12（1）当=1时，求两直线的距离；l⊥l1（2）若.求a的值；2l（3）写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值.118.已知圆C经过坐标原点O和点(2)，且圆心在x轴上.（1）求圆C的标准方程；（2）设直线l经过点()，且l与圆C相交所得弦长为23，求直线l的一般式方程；相切的直线方程.的底面是矩形，1,2P3)与圆C（3）求过点(19.如图，四棱锥P−PD⊥底面ABCD，PD==1，AD=2，M为BC的中点（1）求证：⊥（2）求直线PB与平面PAM所成角的正弦值（3）求平面PAM与平面的夹角的余弦值20.已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线3x+4y−8=0（1）求圆C的标准方程；相切．（2）直线l:y=+2①求k的取值范围；与圆C交于，B两点．②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．+y=16上两个不同的动点，Q是线段MN的中点，点P(0)满足21.已知M、N是圆=90.O:x22（1）当M的坐标为(0)时，求的坐标；N（2）求点Q的轨迹方程；（3）求的最小值与最大值.参考答案一､选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.【答案】B【分析】根据两点斜率公式即可求出.0−3−−(−)【详解】经过()()两点的直线的斜率是=1.A0,B5,325故选：B2.【答案】A【分析】依题意可得a，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.a=m,2,1()，b=(1,0,4)，且a【详解】解：因为，+4=0，解得m=4.所以a故选：A3.【答案】Dr.【分析】根据两圆外切关系，圆心距离等于半径的和列方程求参数【详解】由题设，两圆圆心分别为(0,0)、4)，半径分别为1、r，∴由外切关系知：0)−2+(40)−2=r+1，可得r=4.故选：D.4.【答案】C【分析】本题首先根据圆的一般式方程可知D4+1−4m0，最后通过计算得出结果．2+E2−4F0，再根据题意即可列出不等式52+E2−4F即4+1−4m0m，解得，故选C．【详解】由圆的一般式方程可得D4【点睛】本题考查的是圆的相关性质，对圆的一般式方程的性质的了解是解决本题的关键，方程++Ey+F=0想要表示圆，则需要满足D−4F0，是简单题．5.【答案】Ax2+y22+E2ll2【详解】∵当a时，直线：x+2﹣1=0与直线：x+2+4=0，112−两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到a2a+1−1=，14解得a=2a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．6.【答案】B【分析】利用截距式的几何意义得到A(4,0)，B(0,2)，从而求得该圆的圆心与半径，进而得解.xy+=1在xy轴上的截距分别为4，，则A(4,0)，B(0,2)，【详解】因为直线4211r=|=16+4=5所以AB的中点坐标为，且，22(x−2)2+(y−2=5，即x2+y2−4x−2y=故以线段AB为直径的圆的方程为故选：B.7.【答案】A【分析】由题方程化为椭圆的标准方程求出c，则椭圆的焦点坐标可求．x2y2+=1【详解】由题得方程可化为，42a2=b2=c=4−2=22所以所以焦点为(2,0)故选：A.8.【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式即可求解.xyz【详解】以D为坐标原点，,DC,分别为轴，轴，轴的正方向，1(4,0),M(4,建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为4N(2,4),C(0,0)=CN=(2,，所以所以AMCN0816=−+=825,CN=所以,CN203615故选：D.9.【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，求平面【详解】建立空间直角坐标系如图所示：的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.则C(0,0)，Q2)，G(0,2)，0)，QC=(−1,2,−2)，=(=(0)，−x=0−x+2y−2z=0n设平面的法向量为n=(x,y,z)，则，即，则平面的一个法向量n为n，=n则点A到平面的距离d=.2n故选：C10.【答案】C2−4k+2k16k+1即得解.【分析】先求出两直线的交点，再解不等式组2k+12−4k2k+16k+12k+1x=y=,−y+2k+1=【详解】联立解得，x+2y−4=,2−4kx=y=2k16k+12k+1+由直线−y+2k+1=0与x+2y−4=0，的交点在第四象限可得1161126−k−−,−解得，即实数k的取值范围为．2故选：C．二､填空题（本大题共5小题，共25.0分）【答案】52【分析】将向量相加求模即可.2a+b=22)+()=(4)+()=5)【详解】由题，+=(−5)2+52=52.所以2ab故答案为：52.12.【答案】2【分析】首先确定圆心到直线的距离，然后求解弦长即可．【详解】圆（x-1）2+2的半径r=1，圆心（1,0）|1−0−1|d==0，则直线经过圆的圆心，圆心到直线的距离2所以弦长|AB|=2r=2．故答案为：．13.【答案】(0,4)(Px))【分析】设点坐标.，根据线段的中点在直线上以及斜率得出方程组，解方程组即可得出点P的000(Pxx−y+3=0【详解】设点是点关于直线的对称点.0x+10+30−+3=022x−y+3=0由已知直线的斜率为1，0−3kAP==−10−1x=00P(4).解得，所以点y0=4故答案为：(4).14.【答案】25kx−y+1+2k=0(kR)(−2,1)P(2,−到直线【分析】根据题意可知：直线过定点P(2,−到定点的距离，利用两点间距离公式即可求解.，由条件可知：点kx−y+1+2k=0(kR)的最大距离就是点kx−y+1+2k=0(kR)kx2(+)−(−)=y10(xR)，【详解】因为直线方程可化为x+2=0不论k取何值，直线都过(−，即点，y−1=0P(2,−kx−y+1+2k=0(kR)P(2,−的最大距离就是点到定点(−2,1)的距由题意可知：点到直线离，由两点间距离公式可得：=(2+2+11)2(−−)=25，2d故答案为：25.15.【答案】①③④【分析】画出曲线C的图象，根据对称性、面积、图象等知识确定正确答案.【详解】曲线C:x2+y2=x+y，21221212xy0则时，x2y2xy,x+=+−+y−=，121221xy0xy0时，x2+y2=−x+y,x++y−=，21221212时，x2y2xy,x+=−−+y+=，2212212212当xy0时，x2，+y2=−x−y,x++y+=由此画出曲线C的图象如下图所示，由图可知：曲线C关于原点对称，也关于轴、轴对称，①正确.xy14π12曲线C围成的面积是+22=π+2，②错误.222曲线C上任意一点到原点的距离者不大于+=2，③正确22曲线C上的点到原点的距离的最小值为1，即OA=OB=OC=OD=1，所以④正确.故答案为：①③④.三､解答题（本大题共6小题，共85.0分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）2x−y+10=016.1）2x+y−2=0（2）（3）2x+y+6=0）根据中点坐标公式得到D(−2)，然后根据点斜式求直线方程即可；（2）根据两直线垂直时斜率相乘为-1得到边上高的斜率为-2，然后写直线方程即可；（3）由（1（2）得的垂直平分线的斜率为-2，过点(−2)，然后写直线方程即可.【小问10−84+0D,D(−2)，设中点为D，所以6−2，即22k==2y−2=2(x+4)2x−y+10=0，所以，直线BD：，即−−(−)242x−y+10=0所以边上的中线所在的直线方程为【小问2.0−48−012k==，所以边上高的斜率为-2，由题意得y−6=−2x+2()，即2x+y−2=0所以边上高所在直线的方程为：.【小问3由（2）得的垂直平分线的斜率为-2，由（1）得的垂直平分线过点(−2)，y−2=−2x+4)，即2x+y+6=0.(所以的垂直平分线的方程为：2517.1）5（2）a=6332d=（3）；d=2a+4）利用两平行线间的距离公式求解即可；（2）利用两直线垂直时斜率的关系求解即可；（3）先利用点到直线的距离公式，再分析最小值即可求解【小问1l：x−2y+3=lx−2y+5=0当a时，，123−5255=所以两直线的距离为；212+(−2)【小问2l⊥l若则，21a1+−2a−3=0，()()解得a=6；【小问3l原点到直线的距离为133d===，2a2+4a2+(−2)32当a=0时，d(−)18.1）x22+y2=4；（2）x−1=0和3x+4y−11=0；5x−12y+16=0.0和（3）x−4=）设圆心(a,0)，则圆心到(0)与(2)距离相同且等于半径，由此求出a=2，进而求出圆C的方程.（2）分别研究斜率存在与斜率不存在时两种情况：当斜率不存在时，直线为x=1，符合要求；当斜率存2k+2−kd=−y+2−k=0在时，设直线l为，则圆心到直线的距离，再结合弦长公式即可求出k2k2+(−)的值，由此能出直线l的方程.（3）根据题意，分直线斜率存在与不存在讨论，由直线与圆相切可得d=r，列出方程，即可得到结果.【小问1设圆心(a,0)，则圆心到(0)与(2)距离相同且等于半径，所以r=a2=(2−a)+22，解得a=2，22所以圆心为(0)，半径r2，=(−)所以圆C的方程为x22+y2=4．【小问2y−2=kx−)，整理得−y+2−k=0，(当斜率存在时，设直线l为|2k+2−k|d=则圆心到直线的距离，①k2+(2=23，解得d=1，②又因为2r2−d2=222−d23k=−由①②解得：，433−x−y+2+=0，整理得3x+4y−11=0；所以直线方程为44当斜率不存在时，直线为x=1，此时圆心到直线的距离d=1，所以其弦长为22=23，符合题意.2−12−=3x+4y−11=0.综上，所求直线方程为x10和【小问3y−3=kx−4)，整理得−y+3−4k=0(当斜率存在时，设直线l为，|2k+3−4k|5)到直线的距离d==r=2，解得：，则圆心(2,0k=k2+(21255x−y+3−=05x−12y+160=所以直线方程为，整理得；123当斜率不存在时，直线为x=4；5x−12y+16=0.0和综上，所求直线方程为x−4=19.1）证明见解析1（2）（3）666）建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标公式计算得向量垂直，从而证明线线垂直；（2）利用空间向量线面角公式进行求解即可；（3）利用面面角的向量求法进行求解即可；【小问1因为PD底面⊥ABCD，且四边形ABCD是矩形，所以DA，，DP两两垂直，、、z以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系.轴，则(D0,0,0)、()、()、()、()、()，C0P0,1B0M0A0,0=(PC1−)AD=(−0)所以所以，，PCAD0210100=(−)++(−)=，所以⊥，得证；【小问2)，，AP=(−2,0,1)，AM=(−0)设平面PAM的法向量为n=(x,y,znx+z=0y=1n=2)PB1=(−)，由，取，可得，又n−x+y=01PB,n=所以，6661所以直线与平面PAM所成角的正弦值为.6【小问3易知平面的一个法向量为m=1,0,0)，π2设平面PAM与平面的夹角为，6=,n==则，mn666所以平面PAM与平面的夹角的余弦值为.634(−)20.1）x12+y212（ⅰ）=−,−ⅱ）具体见解析.）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；（2（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.()CCa,0(a0)）由题意，设圆心为，因为圆过原点，所以半径r=a，|a−8|又圆C与直线3x+4y−8=0相切，所以圆心C到直线的距离d==aa=15(−)x12+y2=1.以圆C的标准方程为：（2l代入圆的方程可得：k+1x)+4k−2x+4=0()22，因为有两个交点，3344k2=(−)216k−(2+)−10k−,−.所以，即k的取值范围是44k−2x+x=−122+k1（ⅱ）设()()，由根与系