2023-2024学年北京西城区十五中高二（上）期中数学试题及答案

2023北京十五中高二（上）期中数学考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间为120分钟。请将答案作答在答题纸上。第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共小题，每小题5分，共分；每小题只有一个选项是正确的；请将答案填涂在答题纸上)1．已知直线经过点A(04)和点B(12)，则直线的斜率为（A．－2B3C．22．直线lP(1，1)，且与直线x−−=x+y−2=0D．）．不存在−y+2=0平行，则直线l的方程为（）A．xy20B．+(−)C．x−y=0x+y−4=03．已知圆C：x2(−)22=C(+)2y1+(+)2=C1C2）y34与圆：x19，则圆与圆的位置关系为（12A．相交B．外切=1的焦点坐标是（C．内切Dx2y24．椭圆+）925A．(0，3)，(0，－3)C．(0，5)，(0，－5)B．(4，0)，(－4，0)D．(0，4)，(04)5．若a=，2)，b=(24)，a与b的夹角为，则的值为（A．5B．4．−1D．06．焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为23的椭圆方程为（））x2y2x2y2A．+=1=1B．++=1=1416164x2y2C．+y2D．x2447．已知向量a=(−−2)，b=(−2)，c=(2)，若向量c与向量a，b共面，则实数x的值为（）1212−A．1B．C．D．−18．已知圆M经过A(−0，B(0，C(4)三点，则圆心到直线l:3x4y90的距离为（M−−=）12A．B．1C2D．39．已知直线y=2+k(x−与曲线y=1−x2有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（）33553A．B．(0)．(D．(，)(，441212410．如图，在棱长为2的正方体ABCDABCD中，P为线段−AC的中点，Q为线段上的动点，则下1111111列四个命题中正确命题的个数是（）①存在点Q，使得PQ//BD②不存在点Q，使得PQ⊥平面ABCD11③三棱锥Q−APD的体积是定值④不存在点Q，使得PQ与AD所成角为60°A．0B．1C2D．3第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共分；请将答案填入答题纸的指定位置)．以(－12)为圆心且与x轴相切的圆的方程为_______________．12．直线y=x+1与圆x+y+2y−3=0交于A，B两点，则_________．22=13．若直线ax+y=0与直线4ax+a2y+a−2=0平行，则a=_________．14．已知点A(2，0)，B(－2，0)，点P在直线x−2y+8=0上，则PA+PB最小值等于__．x22y2215．已知椭圆+=ab0)的两个焦点分别为F，F，过椭圆上顶点A与左焦点F的直线与椭圆的121ab另一个交点为B，若B是直角，则椭圆的离心率是________．2三、解答题(本大题共5小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；请将答案写在答题纸的指定位置上)16．(本小题14分)已知三角形的顶点为A(，B(2，C−4).（Ⅰ）求边上的中线所在直线方程；（Ⅱ）求边上的高线所在直线方程.17．(本小题14分)已知直线l经过点P0，圆C:xy22x6y()2++−+6=0.（Ⅰ）若圆C关于直线l对称，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l平行于直线3x+y−1=0，求直线l关于点M2的对称直线l的方程().8．(本小题分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，AD的中点为O，PO⊥平面ABCD.（Ⅰ）证明：AB⊥平面PAD；（Ⅱ）求直线与平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）求点D到平面PBC的距离.19．(本小题16分)如图，在四棱锥PABCD−CD⊥===EF，的中点，平面形，AD//，ADCD2BC2，、分别为棱PDPBD与平面PBC的交线是l．（Ⅰ）求证：∥直线l；（Ⅱ）求平面AEF与平面D所成锐二面角的余弦值；PG（Ⅲ）在棱PC上是否存在点G，使得∥平面AEF？若存在，求的PC值，若不存在，说明理由．20．(本小题16分)已知点P(13)，圆C:x2+2y=1．（Ⅰ）求圆C过点P的切线方程；（Ⅱ）Q为圆C与x轴正半轴的交点，过点P作直线l与圆C交于两点M，N，设QM，的斜率分别为k，k，求证：k+k为定值．1212参考答案第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共小题，每小题5分，共分；每小题只有一个选项是正确的；请将答案填涂在答题纸上)1A）2C）3B）4D）5C）6D）7B）8D）9A）10A）第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共分；请将答案填入答题纸的指定位置)22．(x(或写成x+y+2x−4y+1=0)12．22++(y2)=4−2213．－214．8515．5三、解答题(本大题共5小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；请将答案写在答题纸的指定位置上)16BC的中点坐标为3+12−4(，)=(2，−，................................................3分22因为A()，则边BC上的中线所在直线的方程为x=2；..................................6分2−(−4)（Ⅱ）边BC的斜率为=3，................................................................................8分3−11则其上的高的斜率为−，........................................................................................10分3又因为直线过A()，1则边BC上的高所在直线的方程为y−1=−(x−2)，............................................12分3即x+3y−5=0.............................................................................................................14分1353(直线方程也可以写成斜截式：=−x+)yx2+y2+2x−6y+6=0(x+2+(y−2=417..........................................2分可得圆心C(，半径r2，−=因为圆C关于直线l对称，所以直线l过圆心C(−3−0，分分.............................................33又直线l过点P0)，所以直线l斜率为k==−，..........................................5−1−123由点斜式方程可得y−0=−(x，即−3x+2y−3=0.................................................7分233(直线方程也可以写成斜截式：=−x+)y22（Ⅱ）由题意知，直线l斜率为k=−3，则由点斜式方程可得y−0=−x−，3x+y−3=0..........................................................................................................9，即分因为直线l与直线l关于点M2)对称，所以k=k=−3，....................................10分ll，直线过点P，P0)M2)P(5,4)l..........................12又因为点(也可以用直线l上其他的点求其对称点)y−4=−x−关于点对称的点分3x+y−19=0.............................................14，即则由点斜式方程可得分(直线方程也可以写成斜截式：y=−3x+19)18ABCD为正方形，则⊥，...................................................1分因为PO⊥平面ABCD，所以PO⊥AB，.......................................................................2分因为PO.......................................................................................................3分所以AB⊥平面PAD；......................................................................................................4分（Ⅱ）如图，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系O−.......................................6，分则O(0,0)，0)，B0)，C(0)，D(0)，P(0,3)，........................7分BC=(−0)BP=(−3)，PA=−3)，m=(x,y,z)设面PBC的一个法向量为，=0m则mx，令z=2，则m(0,3,2)，=..........................................9分x−2y+3z=0设直线与平面PBC所成角为，23217cosPAm==，.....................................................................11分|m||PA|742121sin=，因此直线与平面PBC所成角的正弦值为...............................12分77（Ⅲ）由（Ⅱ）知DC=(0,0)，.....................................................................................13分设点D到平面PBC的距离为d，|DC2217所以d=....................................................................................................15分|m|ADAD//，PADBC，平面PAD，19平面所以//平面PAD，............................................................................................................2分又因为BC平面PBC，平面PBC平面=直线l，.........................................3分所以∥l......................................................................................................................4分（Ⅱ）取AD的中点O，连接OP,OB，由题意可得：//，且BC=OD，则OBCD为平行四边形，可得//CD，且CD平面⊥，则，则OB⊥平面，由OP平面OP⊥OB，又因为△D为等边三角形，则O为AB的中点，可得OPAD，OBOB,ADABCDABCD，....................................6分如图，以O为坐标原点，,OB,OP⊥，平面，则OP⊥平面x,y,z分别为轴建立空间直角坐标系，............7分分3123()()(−)(−)()−A1,0,0,B2,0,C2,0,D1,0,0,P3,E,0,,F，则22AE=−,0,,EF=0可得，...........................................................................82223nx+z=022设平面AEF的法向量n=(x,y,z)，则，nEF=x+y=02n=−1,23)，令x=2，则y=−z=23，即.........................................................10分由题意可知：平面D的法向量m=(0)，.............................................................11分117cosn,m==−可得，n1711717所以平面AEF与平面D所成锐二面角的余弦值...............................................12分17()，.....................................................................13PC=−1,2,−3（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：分()PG=a,b,c−3)，设PG=PC，=−Ga,b,c，则=−aa可得b=2，解得b=2，c−3=−c=(−)31(())(())DG=1−,2,31−，G−,2,31−即，可得..........................................15分4，可得nDG21−)−2+61=−=)0，解得=，若∥平面AEF，则n5PGPC4=所以存在点G，使得∥平面AEF...................................................16分5C:x2+y2=1(0,0)20，圆心为，半径为1，当直线l斜率不存在时，直线l与圆C相切；此时方程为x=1..................................2分当直线l斜率存在时，设斜率为k，则直线ly−3=k(x−，即−y−k+3=0，..................................................3分因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离与圆的半径相等，−k+34即=1，得k=，.................................................................................................5分2k+13此时，切线方程为4x−3y+5=0，.................................................................................6分综上，切线方程为x=1或4x−3y+5=0.........................................................................7分P的直线l斜率存在，（