基于状态观测器的线性不确定系统鲁棒控制器设计

摘要在对实际控制过程的分析过程中，总有一些未知因素存在，诸如未建模动态，参数不确定性，工作环境的变化，降阶及线性化近似等，也包括外部干扰的不确定性。因此，对扰动控制系统或不确定控制系统的研究就更加符合实际过程。鲁棒控制理论的产生和开展，正是基于这一实际背景的，并逐渐成为控制理论和实际工程控制领域的一个重要研究方向。本文首先介绍鲁棒控制开展与历史以及一些根底知识。研究具有时滞的线性不确定系统的鲁棒稳定性问题利用矢量不等式的方法和Lyapunov稳定性原理给出不确定时滞系统鲁棒稳定的充分条件。本文主要利用Lyapunov稳定性理论，运用线性不等式(LMI)的方法研究不确定系统的基于状态观测器的鲁棒控制问题。本文研究的主题是基于状态观测器的不确定系统的鲁棒控制，包括线性不确定系统、线性不确定时滞系统在基于状态观测器情况下的鲁棒控制器设计。并利用LMI给出使系统镇定的控制器存在的充分条件，并用实例验证了所得结论，得到预期要得到的仿真图形，实现其价值。关键词：状态观测器；不确定性；时滞系统；鲁棒控制；线性矩阵不等式AbstractSomeunknownelementsalwaysexistintheanalysisprocessforthecontrolsystems,suchasunmodeleddynamics,parametricuncertainties,changeoftheoperatingenvioronment,modelreductionandlinearizationapproximations,etc,orexternaldisturbance.Soitissignificativetostudythedisturbanceprocessortheuncertainsystems.Theemergenceandthedevelopmentoftherobustcontroltheorywerejustinsuchenviorment,anditisbecominganimportantresearchfieldofthecontroltheoryanditspracticeapplications.Thispaperfirstintroducesthedevelopmentofrobustcontrolandintroducessomebasichistoricalknowledge.Studyoflinearuncertaintime-delaysystemrobuststabilityproblemoftheuseofvectorLyapunovinequalityandtheprincipleofthestabilityofuncertaintime-delaysystemsaregivenasufficientconditionforrobuststability.Inthispaper,theuseofLyapunovstabilitytheory,theuseoflinearinequality(LMI)methodoftheuncertainsystemstateobserver-basedrobustcontrolproblem.Thethemeofthispaperisbasedonstateobserverrobustcontrolofuncertainsystems,includinglinearuncertainsystems,linearuncertaintime-delaysystemsinstateobserverbasedontherobustcasecontrollerdesign.LMIisgivenusingthesystemcontrollercalmasufficientconditionfortheexistenceof,andexamplesdemonstratetheconclusionshavebeenexpectedtobethesimulationgraphics,realizeditsvalue.Keywords:Stateobserver;uncertainty;delaysystem;robustcontrol;linearmatrixinequality目录第1章绪论11.1系统不确定性存在的背景和描述11.2鲁棒控制开展概述21.3线性矩阵不等式〔LMI〕的开展51.4本文研究的意义61.5本文的研究内容及安排7第2章预备知识92.1状态观测器92.2线性矩阵不等式112.3Lyapunov稳定性理论13第3章基于状态观测器的线性不确定系统的鲁棒控制器设计163.1问题描述163.2主要内容173.3仿真实例193.4本章小结20第4章基于状态观测器的线性不确定时滞系统的鲁棒控制器设计214.1问题描述214.2主要内容224.3仿真实例254.4本章小结26结论28参考文献29致谢30附录31第1章绪论系统不确定性存在的背景和描述在控制系统的分析研究过程中，首先要建立被控对象的模型，即给出一种数学描述，由于实际控制对象的复杂性，加上周围环境的不稳定性，这使得用数学模型来完全真实反映一个实际的被控对象几乎是不可能的。因此，我们所研究的数学模型都是实际被控对象的一种近似描述，这种近似通常来源于几个方面：对高阶系统的降阶处理，非线性系统的线性化，测量误差，各种干扰信号，环境的变化对系统参数和动态的影响。这些近似来源一般归结为不确定因素，即不确定性。这种不确定性很明显会给我们带来不利影响，因此，我们要考虑这种影响的程度及对这些影响程度的估量方法，最好在对控制系统的分析设计时，通过考虑这些不确定因素，使得我们设计的控制器能够减少这种不利影响，鲁棒控制的方法正是基于这种思想提出的。所谓的鲁棒控制是通过利用系统模型的一些不确定信息，来设计一个控制器，使得闭环系统对所有的不确定性是稳定的，且具有一定的动态性能。鲁棒控制主要研究具有未知有界不确定性的系统模型，通过鲁棒控制的手段使系统具有鲁棒性，即系统在不确定因素作用下维持其稳定性的能力。这种模型对不确定型的描述是相对宽松的，它不需要对不确定因素的随机特性作任何假设，通常只是认为它属于某个集合。对于系统模型的未知有界不确定性又可以分为结构不确定性和非结构不确定性两类：结构不确定性是指那些模型与不确定性之间相互关系的结构非常明确的不确定性；非结构不确定性是指那些结构不明确的不确定性。在鲁棒控制问题的研究中，非结构化的不确定性模型更重要，其原因是由于所采用的控制模型只有包括某些非结构化的不确定性才能覆盖维建模动态。在实际生产过程中，对各种过程及环节的控制系统设计总是不可防止的要利用到被控对象的有关信息，这些信息可能是过程或环节的脉冲或阶跃响应〔模型预测控制〕、传递函数、动态方程，或者是描述系统的时间常数、延迟时间等，这些信息的获得总是要利用一些试验手段或理论推导得到我们要据此设计控制器的所谓“模型〞，这些模型的精确性由于信息获得过程的局限性往往会受到影响。另外，随着生产过程的复杂性以及控制要求的提高，即使获得了相对精确的模型，但据此所设计的控制器也会过于复杂常需对模型进行必要的简化，才可在实际中得以应用。此外，随着系统的工作环境或条件的变化，控制系统中元器件的老化、磨损，信号传输过程中出现的偏差或故障，对被控对象的特性均会有影响，从而导致系统模型的误差或称作不确定性。在实际过程中，从严格意义上讲，不存在不确定性的系统是不存在的。因此，对不确定性系统的稳定性和控制进行研究具有较大的意义和实际价值。[1]在经典控制理论中，被控对象的频率特性是设计控制系统的主要依据，整个系统的性能指标也是通过引入控制器来整定开环系统频率特性的方法而实现的。由于被控对象的频率特性通常是靠实验测试等手段获得的，因此，不可防止的带有不确定性。这就导致经典控制理论设计的控制器，在很大程度上必须依靠现场调试，才能获得满意的控制技能。而基于状态方程等数学模型为主要设计依据的现代控制理论，那么依靠线性代数微分几何以及最优化方法等严谨的数学工具，采用数学解析的手段来设计控制系统。同理，通常用机理推导和模型辨识等手段得到的数学模型同样带有不确定性。在实际应用的过程中，尽管系统模型存在不确定性，我们总希望所设计的控制器能够满足一定的期望指标。即希望所设计的控制器对系统的不确定性不过与敏感，这就是我们要考虑的鲁棒性问题。不确定性可分为非结构不确定性和结构不确定性这两大类。前者用于表示那些结构不明确的不确定性，例如频率响应位于复平面上某一个集合内的不确定性为非结构不确定性。后者用于表示那些整个控制对象和不确定性之间相互关系的结构是非常明确的不确定性，例如控制对象中存在有限个不确定性参数。一个不确定性系统的描述应该包括下述三个方面的内容：公称模型；表示不确定性的摄动及其与公称模型的关系；摄动的最大值。这样，不确定系统可以用一个非结构化集合或结构化集合来描述。鲁棒控制开展概述在控制系统的分析研究过程中，首先要建立被控对象的模型，即给出一种数学描述，由于实际控制对象的复杂性，加上周围环境的不稳定性，这使得用数学模型来完全真实反映一个实际的被控对象几乎是不可能的。因此，我们所研究的数学模型都是实际被控对象的一种近似描述，这种近似通常来源于几个方面：对高阶系统的降阶处理，非线性系统的线性化，测量误差，各种干扰信号，环境的变化对系统参数和动态的影响。这些近似来源一般归结为不确定因素，即不确定性。这种不确定性很明显会给我们带来不利影响，因此，我们要考虑这种影响的程度及对这些影响程度的估量方法，最好在对控制系统的分析设计时，通过考虑这些不确定因素，使得我们设计的控制器能够减少这种不利影响，鲁棒控制的方法正是基于这种思想提出的。所谓的鲁棒控制是通过利用系统模型的一些不确定信息，来设计一个控制器，使得闭环系统对所有的不确定性是稳定的，且具有一定的动态性能。鲁棒控制主要研究具有未知有界不确定性的系统模型，通过鲁棒控制的手段使系统具有鲁棒性，即系统在不确定因素作用下维持其稳定性的能力。这种模型对不确定型的描述是相对宽松的，它不需要对不确定因素的随机特性作任何假设，通常只是认为它属于某个集合。对于系统模型的未知有界不确定性又可以分为结构不确定性和非结构不确定性两类：结构不确定性是指那些模型与不确定性之间相互关系的结构非常明确的不确定性；非结构不确定性是指那些结构不明确的不确定性。在鲁棒控制问题的研究中，非结构化的不确定性模型更重要，其原因是由于所采用的控制模型只有包括某些非结构化的不确定性才能覆盖维建模动态。鲁棒思想最早可追溯到Peano，Bendixson和Darbox等人对微分方程解对初值和参数具有连续依赖性的工作。这是一种无穷小的分析的思想，其要求解在给定区间内的任意小变化可以有参数的充分小来保证。这种控制方法局限于微笑的不确定性，是一种敏感性分析方法。然而，实际中系统的参数是不能视为变化或仅具有无穷小变化，被控对象工作环境的变化，模型的不精确，降阶近似，非线性的线性化等均可化为一种参数扰动，这种参数的变化只能视为有界摄动而不是无穷小摄动，现代鲁棒性控制的重要特点就是要讨论系统性能在非微小有界不确定摄动下保持性能的能力。在经典控制理论的研究中，通过利用Bode图和Nyquist曲线等分析工具系统具有一定的增益裕度和相位裕度，这样的系统在增益和相位发生变化的情况下仍能保持稳定性，这本质上也是一鲁棒性控制思想的表达。但是这些处理方法多局限于单输入单输出系统，不适合现代的多变量的被控对象。现代鲁棒控制理论主要起始于二十世纪的五六十年代。经过几十年的开展，已成为一个比拟完整的理论体系，一般认为现代鲁棒控制理论的开展得益于如下几个方面的工作：Zames于1963年提出的小增益原理，这一原理为鲁棒稳定性分析奠定了根底；Kalman于1964年证明了单输入单输出系统具有LQ状态反应控制律，它具有很好的鲁棒性，即无穷大增益稳定裕度和60相位裕量。为时域的鲁棒控制分析提供了理论根底；Rosenbrock等于1969年提出了INA方法，将经典的Nyquist判定定理推广到多输入多输出系统；Belletrutti等于1971年提出了多变量系统的完整性问题；Kharitonov于1978提出由四个区间端点作为系数的多项式的稳定性来判别区间多项式族的哈市定理；Zames于1981年提出一控制系统内某些信号间的传递函数的范数为优化性能控制目标的设计方法。Doyle于1982年创立了结构奇异值理论，即μ理论。其方法是将系统的不确定局部和摄动局部分别进行关联重构，进而转化为处理块对角有界摄动问题等等。二十世纪六十年代，为了改善系统的稳定性，在控制系统的分析设计中，提出了基于Lyapunov稳定性理论第二方法的控制器设计思想，即通过对闭环系统构造一个适当的Lyapunov函数来确定系统的稳定化控制规律。早期对系统不确定性的描述多要求系统满足一定的匹配条件，进而设计相应的控制规律。然而，在大量的实际系统中，满足匹配条件的不确定系统很少，所以探讨一般的不确定系统的鲁棒镇定问题更为切合实际。一种解决方法是将系统的不确定性分解成匹配局部和不匹配局部，对于不匹配局部的度量不超过某个界，那么对匹配局部设计的稳定化控制律也是整个系统的稳定化控制律，然而这时文献提出的方法过于复杂，人们很难应用它去设计一个稳定的控制器。Riccati方程方法的线性不确定系统鲁棒稳定化控制器设计方法，它的主要思想是：通过不断放大在Lyapunov函数时间导数式中出现的不确定项，最后使得放大后所得到的Lyapunov函数时间导数的界小于零来导出鲁棒稳定化控制律需要满足的条件。通过将控制律取成含某个待定矩阵的形式，可以将这一条件转化为一个代数Riccati矩阵方程堆成正定解的存在性问题，并且在对称正定解存在的情况下，可以通过这个对称正定解矩阵构造系统的一个稳定化控制律。尽管对不确定性满足秩1的条件，并且在Lyapunov时间导数的放大过程中不可防止的产生保守性，但这种方法确实导出了一个线性控制律，且能有效地处理出现在系统模型中的任意形式的时变参数不确定性。因此，Riccati方程方法的提出受到了人们极大的关注，并相继提出了一些改良的方法。在鲁棒控制理论的开展中形成了一些理论分支，如控制理论，结构奇异值理论和Kharitonov区间理论等。在这些鲁棒控制理论中我们主要介绍一下控制理论。在二十世纪60年代，以状态空间描述对象的现代控制理论得到了很大开展，出现了以Kalman-Bucy滤波器和最优二次调节理论为根底的LQG设计方法，这种设计方法忽略了系统的不确定性，对系统的干扰作了很严格的要求，它要求精确的系统模型，如果系统的模型具有不确定性，LQG设计方法就不能保证系统具有鲁棒性。Zames指出：基于这状态空间模型的LQG设计方法之所以鲁棒性不好，主要是LQG使用的积分指标造成的；以及将不确定的干扰用白噪声模型表示。基于此，他提出，在假定干扰属于某一信号集的情况下，用其相应的灵敏度函数的范数作为指标，设计目标是在可能发生的最严重干扰下使系统的误差在这种范数意义下到达极小，这样就将干扰问题转化位求解使闭环系统稳定，并使相应的范数指标极小化的输出反应控制问题。控制的根本思想是用范数作为目标函数的度量进行控制系统的设计，使系统干扰至误差的传递函数的范数最小，从而使具有有限功率谱的干扰至误差影响降到最小程度。控制本质上可以认为是鲁棒控制的一个分支，最初的控制问题不是考虑系统的参数不确定性，而是考虑系统干扰的不确定性，后来开展的鲁棒控制理论，同时考虑了系统参数不确定性和干扰对系统性能的影响。一般认为Zames提出的以控制系统内的某些信号间的传递函数矩阵范数为优化指标的设计思想标志着控制理论的诞生。其后一段时期的问题主要是在控制系统内部稳定的控制器集合中寻求一个传递函数矩阵的范数的最小解问题。Doyle等人在美国控制年会上发表著名DGKF论文，证明了可通过求解两个适当的代数Riccati矩阵方程来得到控制的解。DGKF的论文标志着控制理论的成熟。在控制的研究中，有界实引理的引进以及其和控制之间关系的建立为控制的研究提供了新的工具，使得可以更加简洁有效地证明DGKF论文饿主要结论。有界实引理也为应用不确定系统二次镇定的Riccati方程方法来研究不确定系统的鲁棒控制问题提供了可能。[2]现代鲁棒控制理论已成为一个相比照拟完整的理论体系。随着计算机技术的开展，已出现专门求解鲁棒控制问题的Matlab工具包，可以很方便的给出求解结果。线性矩阵不等式〔LMI〕的开展在时域中分析不确定系统的稳定性及鲁棒控制问题的主要理论根底是Lyapunov稳定性理论，早期的结果大多是基于Riccati方程处理方法，主要是通过将系统的鲁棒分析和综合问题转化为Riccati方程的解的问题，进而获得系统的鲁棒性能和控制器的形式或结构。应用Riccati方程方法尽管可以给出控制器的具体结构，但由于一般情况下，Riccati方程的解需要事先确定一些设计参数，有时需要对方程进行诸如配方等处理，需要一定的技巧和数学处理技能，使得Riccati方程方法的应用具有一定的局限性，参数的人为给定也会为我们的设计结果带来一定的保守性。二十世纪九十年代初，随着求解凸优化问题的内点法的提出，线性矩阵不等式理论及方法受到了控制理论界的广泛关注，并被成功地应用于控制系统的理论分析和设计中。许多鲁棒控制的分析和设计可以转化为一个线性矩阵不等式的解，即所谓的凸优化问题。线性矩阵不等式方法克服了Riccati方程处理方法的很多缺乏。尤其是1995年Mathworks公司推出的Matlab的LMI工具箱，极大地方便了人们求解线性矩阵不等式，进一步推动了线性矩阵不等式在控制理论中的应用、推动了鲁棒控制理论的开展和深入。[3]线性矩阵不等式处理方法可以克服Riccati方程处理方法中存在的许多缺乏。线性矩阵不等式方法给出了问题可解的一个凸约束条件，因此，可以应用求解凸优化问题的有效方法来进行求解。正是这种凸约束条件，使得在控制器设计时，得到的不仅仅是一个满足设计方法的控制器，而是从凸约束条件的任意一个可行解都可以得到的一个控制器，即可以得到满足设计要求的一组控制器。时滞即时间滞后现象存在于许多系统中，比方化学过程在空气中的长距离通讯传输以及其它各种工程中，并且实践已经证明在各类系统中时滞的存在常常是系统不稳定的主要原因。因此，研究带有时滞的动态系统的鲁棒稳定性和鲁棒控制就成为动态系统分析的重要内容之一，像这种同时具有时滞及不确定性的动态系统我们称之为时滞不确定系统。近三十年来国内外广阔科研工作者在时滞不确定系统的鲁棒稳定性分析和鲁棒控制器设计上进行了广泛的研究并且已取得了丰硕成果，极大地推动了动态系统理论的开展，尤其是在线性时滞不确定系统方面，很多结果已在实际工作中发挥了重要作用，但是即使是针对线性系统也还有很多问题有待研究。在计算机控制应用中大多数控制系统都是采样控制系统，即计算机控制下连续控制对象所构成的闭环系统。因此，研究采样控制系统的鲁棒稳定性及鲁棒控制器设计就更有实际意义。系统的不确定性是表达在连续时间系统所描述的对象上，而计算机控制下的闭环系统其鲁棒性分析与设计那么要在离散域内进行。作为状态空间模式下采样控制系统的鲁棒性分析与设计，虽然已有些研究成果，但是由于闭环离散系统含有矩阵指数形式，这种特定的非线性不确定性结构用已有的连续域或离散域的方法直接处理显然是不适当的。由于这种处理上的复杂与困难，至今这方面的研究成果还很少，其实这也正是研究采样系统鲁棒稳定性分析与鲁棒控制器设计问题的瓶颈所在。因此，如何解决闭环离散系统中的类指数结构，便成为研究这一课题的关键问题之一，而大量的计算机控制的采样控制系统其鲁棒性如何，以及如何设计采样系统的控制器以使其闭环系统鲁棒镇定，那么又是面临需要解决的重要实际问题，也是又一个研究这一课题的关键问题。因此，尽管连续域和离散域内系统的鲁棒性分析与设计问题还在开展中，对于采样系统的该类问题的研究也应受到很大的重视。[4]1.4本文研究的意义线性不确定系统的鲁棒控制研究具有较高的实用价值，对于实际控制系统的设计和应用更具有指导性意义。除了不确定性，时滞也是系统设计分析中需要注意的一个重要因素。任何系统中，物质和能量的传输都需要时间，因此时滞是过程的固有特性，是普遍存在的。而它所产生的一个当然后果是，当控制参数已经变化时，被控量并不立即变化，而是要延迟一段时间才开始变化。随着控制系统变得越来越复杂，控制精度的要求越来越高，时滞已经不能在分析设计时加以忽略，而是要建立明确的时滞微分方程以作为更为精确的数学模型。因而时滞系统的研究不仅仅在于理论上巨大意义，还在于实际控制系统设计和应用的迫切需要。鲁棒控制自提出以来，很快受到了人们的广泛重视和研究，取得了一系列的研究结果和方法，并在一些工程领域中获得了成功的应用。总的来说，不确定性问题、鲁棒控制问题、时滞系统的控制问题以及鲁棒问题一直是近二十年来控制界和实际系统应用中的热点和难点问题。它们之间的结合所产生的更为复杂更具有综合性问题不仅具有丰富的实际应用背景，更具有很高的理论价值。特别地，随着线性矩阵不等式及求解凸优化问题的内点法的提出，为许多控制问题的分析和求解提供了有效工具。Matlab软件中线性矩阵不等式工具箱的推出使得各种线性矩阵不等式问题的求解更加方便、直接，从而，进一步推动了线性矩阵不等式处理方法在系统和控制领域中的应用。1.5本文的研究内容及安排本文主要研究基于状态观测器的不确定系统的鲁棒控制器设计，分别针对线性不确定系统、线性时滞不确定系统设计鲁棒控制器，同时还运用Lyapunov稳定性理论证明了在上述控制器作用下的闭环系统是稳定的，最后用Matlab的LMI工具箱很方便的给出了控制器的解，并用Simulink对实际系统进行了仿真试验，仿真结果说明上述控制器不仅能够到达较好的控制效果，而且具有较强的鲁棒性和稳定性。本文研究了基于状态观测器的鲁棒控制器设计、线性系统、线性时滞系统、稳定性分析以及在观测器设计过程中LMI参数选择的研究。全文共分为四章：第一章为绪论，简要介绍系统不确定性、鲁棒控制的起源和开展以及线性矩阵不等式的开展。第二章介绍了状态观测器、线性矩阵不等式、Lyapunov稳定性理论的相关知识。第三章是基于状态观测器的线性不确定系统的鲁棒控制器设计，并验证所得结论。第四章是基于状态观测器的线性时滞不确定系统的鲁棒控制器设计，并验证所的结论。第2章预备知识2.1状态观测器状态观测器就是根据系统的外部变量(输入变量和输出变量)的实测值得出状态变量估计值的一类动态系统，也称为状态重构器。60年代初期，为了对控制系统实现状态反应或其他需要，D.G.吕恩伯格、R.W.巴斯和J.E.贝特朗等人提出状态观测器的概念和构造方法，通过重构的途径解决了状态的不能直接量测的问题。状态观测器的出现，不但为状态反应的技术实现提供了实际可能性，而且在控制工程的许多方面也得到了实际应用，例如复制扰动以实现对扰动的完全补偿等。在现代控制理论中，利用状态反应可以对系统的极点任意配置，从而实现对系统的稳定性能的改良、给定信号的渐进跟踪、解耦问题等。可以说状态反应理论在现代控制理论中具有十分重要的作用，但是状态反应实现的前提是系统的所有状态都是可测的，对于状态不可测系统，解决问题的方法之一就是基于原系统构造一个全维或降维状态观测器，以获得状态变量的估值。基于观测器的状态反应系统包含了两个系统：观测器系统和状态反应系统。为了实现状态反应，需要系统全部的状态变量。但在实际系统中，大局部状态变量很难直接测量到。因此，为了实现状态反应控制，需要通过一个模型，利用的信息对系统状态变量进行估计。这样，可以构造一个与实际系统{A,B,C}具有同样动态方程的模拟系统，用模拟系统的状态向量作为实际系统状态向量的估计值。因此，控制器可以看成是实际对象的一个实时仿真系统。它利用控制对象的数学模型和输入变量，采用适当的控制方法，以保证状态观测器的状态可以很快地逼近控制对象的状态。因而状态观测器的状态又称为实际状态的估计值或者估计状态。[5]1.状态观测器的原理在一般情况下，系统的输出量与控制输入均为，所以希望能从与对构造的系统模型来估计出状态向量。当系统完全可观测时，一定存在状态观测器。对于与广义对象同维的状态观测器，有=+〔〕其中，是状态x的估计值，。对于降维状态观测器，有〔2.1.2a〕〔b〕这时是降维观测器的状态，。基于状态估计值的状态反应律为〔〕由〔〕式或〔2.1.2〕式与〔2.1.3〕式构成的控制器K，最终可转化成的形式。对于由〔〕式和〔2.1.3〕式构成的情况，有〔〕其中。对于由〔〕式和〔2.1.3〕式构成的情况，有〔〕这时。这样，闭环控制系统中由w到z的闭环传递函数矩阵由〔〕式和〔2.1.5〕式来描述。如果给系统参加某种形式的扰动，那么原系统在直接状态反应下的各项性能指针根本不变，而观测器－状态反应系统的响应那么会发生大幅度的变化，响应的抖动幅度加大，稳态时间变长。观测的状态变量与实际的状态变量间的误差，只与初始条件有关，与控制变量无关。只要现时状态观测器是渐进稳定的，不管初始条件如何，随着时间的增长，观测误差总是趋近于零，即观测状态趋向于实际状态。2.2线性矩阵不等式近十多年来，由于线性矩阵不等式(LMI)的优良性能以及数学规划和解法的突破，特别是内点法的提出以及Matlab软件中LMI工具箱的推出，LMI这一工具越来越受到人们的广泛关注与重视，使其在控制系统的分析和设计方面得到了广泛的重视和应用，成为这一领域的研究热点。在此之前，绝大多数的控制问题都是通过Riccati方程或其不等式的方法来表示和求解的。但是，求解Riccati方程或其不等式时，有大量的参数和正定对称矩阵需要预先调整，因而有时即使问题本身是有解的，也不能找出问题的解。这给实际问题的解决带来了很大的不便，而LMI方法可以很好地弥补Riccati方程方法的缺乏，不需要调整任何参数，便可获得问题的解。[6]线性矩阵不等式(LMI)是如下形式：(2.2其中是m个实数变量，称为LMI的决策变量，而是由决策变量构成的向量，称为决策向量，，是一组给定的实对称矩阵。〔2.2.1)式中的不等号“<〞指的是矩阵F(x)是负定的，即对所有非零的向量，或者F(x)的最大特征值小于零。假设F(y)<0和F(z)<0时，那么，所以式〔2.2等价于在许多将一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式的问题中，我们常常用到矩阵的Schur补性质。考虑一个矩阵身，并将S进行分块：其中的是rr维的。假定是非奇异的，那么称为在S中的Schur补。以下引理给出了矩阵的Schur补性质。引理对给定的对称矩阵，其中是rr维的。以下三个条件是等价的：(ⅰ);(ⅱ);(ⅲ)。对二次非线性矩阵不等式，通过Schur补引理可以转化为LMI，从而推广LMI在控制理论研究中的应用范围，其根本思想是：假设等价于三种最根本的LMI问题是：1)可行性问题〔LMIP〕：对给定的线性矩阵不等式F(x)<0，检验是否存在x，使得F(x)<0成立的问题称为一个线性矩阵不等式的可行性问题。如果存在这样的x，那么该线性矩阵不等式问题是可行的，否那么这个线性矩阵不等式就是不可行的。2)特征值问题(EVP)：该问题是在—个线性矩阵不等式约束下，求矩阵G(x)的最大特征值的最小化问题或确定问题的约束是不可行的。它的一般形式是：()这样一个问题也可以转化成以下的一个等价问题：()这也是LMI工具箱中特征值问题求解器所要处理问题的标准形式。问题()和问题(2.2.3)的相互转化是因为：一方面，另一方面，定义,那么是的一个仿射函数，且问题()可以写成：3)广义特征值最小优化问题：上述问题框架由于：〔1〕有充分的数值方法可解，如最近开展起来用于解凸优化问题的内点方法，内点方法是多项式时间的全局最优化方法；〔2〕非常适合于处理不确定性；〔3〕适合处理设计过程的不同目标，如目标的折中、性能限制和可能性分析等；〔4〕非常宽的应用，不仅仅应用于控制与辨识等原因非常吸引人。[7]在大多数的控制应用中，LMI不会自然有式〔〕的标准形式，而经常是如下的仿线性形式L(X,X,,X)<R(X,X,,X)其中L(.)和R(.)是矩阵变量X,X,,X的仿线性函数。许多控制问题具有LMI形式，其中包括Lyapunov型控制分析和设计，LQG优化控制、控制、方差控制、估计与辨识等。二十世纪九十年代初，随着求解凸优化问题的内点法的提出，线性矩阵不等式再一次受到控制界的关注，并被应用到系统和控制的各个领域中。许多控制问题可以转化成为一个线性矩阵不等式系统的可行性问题，或者是一个具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题。由于有了求解凸优化问题的内点法，使得这些问题可以得到有效的解决。1995年，Matlab推出了求解线性矩阵不等式问题的LMI工具箱，从而使得人们能够更加方便和有效地来处理、求解线性矩阵不等式系统，进一步推动了线性矩阵不等式方法在系统和控制领域中的应用。线性矩阵不等式处理方法可以克服Riccati方程处理方法中存在的许多缺乏。线性矩阵不等式方法给出了问题可解的一个凸约束条件，因此，可以应用求解凸优化问题的有效方法来进行求解。正是这种凸约束条件，使得在控制器设计时，得到的不仅仅是一个满足设计方法的控制器，而是从凸约束条件的任意一个可行解都可以得到的一个控制器，即可以得到满足设计要求的一组控制器。2.3Lyapunov稳定性理论俄国数学家和力学家A.M.李雅普诺夫在1892年所创立的用于分析系统稳定性的理论。对于控制系统，稳定性是需要研究的一个根本问题。在研究线性定常系统时，已有许多判据如代数稳定判据、奈奎斯特稳定判据等可用来判定系统的稳定性。李雅普诺夫稳定性理论能同时适用于分析线性系统和非线性系统、定常系统和时变系统的稳定性，是更为一般的稳定性分析方法。李雅普诺夫稳定性理论主要指李雅普诺夫第二方法，又称李雅普诺夫直接法。李雅普诺夫第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此李雅普诺夫第二方法就显示出很大的优越性。与第二方法相对应的是李雅普诺夫第一方法，又称李雅普诺夫间接法，它是通过研究非线性系统的线性化状态方程的特征值的分布来判定系统稳定性的。第一方法的影响远不及第二方法。在现代控制理论中，李雅普诺夫第二方法是研究稳定性的主要方法，既是研究控制系统理论问题的一种根本工具，又是分析具体控制系统稳定性的一种常用方法。李雅普诺夫第二方法的局限性，是运用时需要有相当的经验和技巧，而且所给出的结论只是系统为稳定或不稳定的充分条件；但在用其他方法无效时，这种方法还能解决一些非线性系统的稳定性问题。[8]李雅普诺夫第二方法是在推广振动系统稳定性根底上建立的。根据力学原理，如果一个振动系统的总能量随时间连续减小，直到平衡状态为止，那么振动系统就是稳定的。李雅普诺夫把这一原理推广到可用状态方程描述的一般系统，并且引入一个虚构的能量函数，称为李雅普诺夫函数。李雅普诺夫函数具有能量函数的根本特征，也是和系统运动有关的一个标量函数，但其含义比能量更为一般，常用V(x，t)来表示。当李雅普诺夫函数仅与状态有关而与时间t无直接关系时，可用V(x)表示。在李雅普诺夫第二方法中，通过对V(x，t)及其导数的符号特征的分析,可判断平衡状态为稳定、渐近稳定或不稳定。这样做比通过求状态方程的解来判断容易得多。对于简单非线性系统，李雅普诺夫函数常可取为x的一个二次型函数V(x)＝xQx，其中x为x的转置，Q为正定对称矩阵。不过，对于复杂的系统，寻找李雅普诺夫函数可能十分困难。设系统的状态方程为〔〕式中X为系统的状态向量，是矩阵；f(X,t)是状态向量X及时间t的函数向量。又设在给定的初始条件下，状态方程〔〕有唯一解，且，其中为初始时刻，为状态向量X的初始值，t是时间变量。在由式〔〕描述的系统中，对所有t，假设总存在〔〕那么称为系统的平衡状态。如果系统是线性定常系统，那么f(X,t)=AX，而且当A为非奇异矩阵时，该系统只有一个平衡状态；当A为奇异矩阵时，该系统有无穷多个平衡状态。研究系统的稳定性，主要是研究其平衡状态的稳定性，特别是分析坐标原点所代表的状态的稳定性。第3章基于状态观测器的线性不确定系统的鲁棒控制器设计由于被控对象在建模过程中必然会产生误差，系统参数随时间的推移和环境的变化亦会不断产生变化。因此，任何实际系统的设计和分析都将面临不确定性，这就要求开展一套能使系统满足一定鲁棒性的设计和分析方法，所谓鲁棒性，概略的说，就是系统的稳定性及其他性能指标对系统结构和参数变化的不敏感性。由此，按一般惯例鲁棒性可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。前者说明实际系统偏离设计所用模型，出现模型误差时，系统保持稳定性的能力。后者那么说明出现模型误差时，系统保持满意性能的能力。由于稳定性是控制系统运行时首先必须满足的条件，因此下面将对不确定系统的稳定性进行分析。[9]3.1问题描述针对系统中存在的不确定形式，我们考虑如下系统的稳定性问题。考虑如下的线性不确定系统：〔〕式中，是系统的状态矩阵，是控制输入，和和C是描述系统模型的实常数矩阵，假设。定义如下状态观测器：〔〕并且有〔〕由〔〕式和〔3.1.2〕式以及〔3.1.3〕式得到：〔〕〔〕由以上各式可以得到：〔3.1.6〕引理1：L，E，F为适维常数矩阵，且是适维单位矩阵，那么存在，使得。3.2主要内容定理对于线性不确定系统〔〕，存在基于状态观测器的线性反应〔3.1.2〕，使得闭环系统鲁棒稳定的充分条件是存在正定对称矩阵和矩阵Y，Z，K以及常数，使如下的线性矩阵不等式成立。<0证明对闭环增广系统〔3.1.6对上面定义的Lyapunov函数对t求导得由引理1得因此有其中由于闭环系统稳定的充分条件是，要证，只需证即可。在的两边分别左乘右乘diag(X,I〕,令，Z=可得：对上面的矩阵应用Schur补引理得：因此，只要证明上面矩阵小于零即可证明系统稳定。证毕。3.3仿真实例考虑系统具有如下的各矩阵参数：，，，，，利用MATLAB的LMITOOL解得：，仿真结果：图3-1系统仿真图图3-2误差仿真图在系统仿真图和误差仿真图中参数分别都是三阶的，所以仿真出的图形都是三条仿真曲线，曲线在一开始有大的波动，当受到鲁棒控制后，曲线逐渐趋于稳定，通过对这一过程进行仿真可知，所设计的状态观测器能够使系统稳定。3.4本章小结对鲁棒稳定性问题进行了分析,基于线性矩阵不等式的方法和Lyapunov稳定性原理给出了系统稳定的相关准那么,相应的降低了现有结果的保守性,其结果可望应用于不确定时滞系统的控制与镇定,然后对线性不确定系统的鲁棒镇定控制器的设计问题进行了探讨。第4章基于状态观测器的线性不确定时滞系统的鲁棒控制器设计研究单时滞系统是在无时滞系统的根底上加了一个时滞相进行更深一步的研究，本章局部论文写作思路和上一章根本一致，还是利用线性矩阵不等式(LMI)的方法和Lyapunov稳定性原理对系统的稳定性进行研究并且对线性不确定时滞系统的鲁棒镇定控制器的设计问题进行研究与探讨，下面给出对时滞系统的详细分析过程。[10]4.1问题描述考虑如下描述的线性不确定时滞系统〔〕其中：是系统的状态矩阵，是控制输入，是描述系统模型的实常数矩阵，d是时滞参数。是反映系统模型中参数不确定性的未知实矩阵，假设其是范数有界的，且具有以下形式：其中：为适维常数矩阵。定义如下状态观测器：〔〕并且有〔〕由〔〕式和〔4.1.2〕式以及〔4.1.3〕式得到：()()由以上各式得到：〔4.1.6〕4.2主要内容定理对于线性不确定系统〔〕，存在基于状态观测器的线性反应〔4.1.2〕，使得闭环系统鲁棒稳定的充分条件是存在正定对称矩阵和矩阵Y，Z，K以及常数，使如下的线性矩阵不等式成立。<0证明对闭环增广系统〔4.1.6〕构造如下对上面的Lyapunov函数对t求导得=由引理1得因此有其中由于闭环系统稳定的充分条件是，要证，只需证<0即可。在两边分别左乘右乘diag(X,I)，令可得对上面的矩阵应用Schur补引理得因此，只要证明上面的矩阵小于零即可证明系统稳定。证毕。4.3仿真实例考虑系统具有如下的各矩阵参数：，，，，，利用MATLAB的LMITOOL解得：，由上面的仿真得到下面的仿真结果：图4-1系统仿真图图4-2误差仿真图上面是时滞系统的仿真结果，因为在系统与误差方程中的参数都是三阶的，所以由量的作用仿真图形是三条趋于稳定的仿真线。仿真开始的时候是波动不定的由于参加了鲁棒控制，仿真曲线逐渐趋于稳定，稳定效果比拟好。4.4本章小结本章考虑了具有范数有界的线性不确定时滞系统，给出了系统基于状态观测器的鲁棒控制器存在的充分条件。通过求解线性矩阵不等式(LMI)，即可获得镇定系统的基于状态观测器的鲁棒控制器。仿真结果说明它具有很高的应用价值。结论本论文主要是对基于状态观测器的不确定系统的鲁棒性进行分析，结合线性不确定系统的相关特性以及线性矩阵不等式〔LMI〕的有关知识进行公式推导，基于Lyapunov稳定性理论对系统的稳定性进行科学的判断。本文的主要工作概括如下：首先，对线性不确定系统以及鲁棒控制和线性矩阵不等式的背景与开展做了详细的介绍，还介绍了本论文的研究意义以及内容和安排，让读者对本论文和论文研究的内容有个大概的了解。其次，由于本文是研究基于状态观测器的鲁棒问题，所以在这里详细介绍了状态观测器的开展情况以及工作原理等相关内容；介绍了线性矩阵不等式的求解方法以及解决问题的方法，这里还对Lyapunov稳定性理论的判断方法和原理进行了详细说明。最后，分两个章节分别对基于状态观测器的线性不确定系统、线性不确定时滞系统设计了鲁棒控制器，对两种情况进行了详细的描述以及求解、判定、仿真，最后得出结论。由于各种原因，本文只对线性系统进行了分析，而没有考虑对复杂的非线性系统的稳定性问题，另外，论文对时变系统以及离散控制系统未予考虑，这些在实际过程中均具有一定的实际背景。参考文献[1]杨园华，刘晓华.基于状态观测器的一类不确定系统的鲁棒预测控制[D].鲁东大学学报〔自然科学版〕，2023，24〔3〕：206-209.[2]李小华，旅颂梳，带观测器系统基于特征结构配置的鲁棒设计[D].福州大学学报，2003：〔5〕：2～17.[3]樊卫华，蔡骅，胡维礼，等.系统的稳定性控制[J].控制理论与应用：2004：21〔6〕：881-884.[4]陈方信，沈艳军，汪秉文.不确定离散时滞系统的稳定性研究[J].华中科技大学学报〔自然科学报〕，2004，32〔3〕：40-42.[5]张涛.线性不确定时滞系统鲁棒镇定方法研究[D].中国优秀博硕士学位论文全文数据库(博士),2006,(05)[6]马克茂.一类不确定时滞系统的输出反应镇定[J]电机与控制学报,2004,(04).[7]ChoiHH,ChungMJ.Memorylesscontrollerdesignforlinearsystemswithdelaystateandcontrol.Automatica,1995,316,31(6):917~919.[8]PearsonJB,StaatsPWJr.Robustcontrollersforlinearregulators.IEEETransactiononAutomaticControl,1974,AC-19,AC-19:231-234.[9]Lien,C.H.Robustobserver-basedcontrolofsystemswithstateperturbationsviaLMIapproach.IEEETransAutomControl,2004,AC-49,AC-49:1365~1370.[10]武俊峰,吴鹏.不确定时滞系统基于观测器的鲁棒控制器设计[J]自动化技术与应用,2005,(01).[11]王星,李智斌.基于观测器的时滞系统鲁棒控制器的设计[J]控制工程,2005,(04).致谢本论文是在我的指导教师杨克远老师精心指导和关心下顺利完成的，他平易近人和和蔼可亲的性格以及对学生细致入微的关心和治学的严谨态度让我很感动，他在这段时间里不仅教会了我许多自动化专业方面的知识，还教会了我很多做人的道理，这对我这个即将步入社会的大学生来说是一笔不可多得的财富。由于我的知识面有限，在做毕业设计的过程中我遇到了很多问题，老师总是很耐心的给我讲解，对于我犯下的一些错误总是第一时间给我指出，并帮我改正，而且不愿其烦的给我一遍一边讲解推导过程。在此，我对王老师在这段时间里对我的帮助表示由衷的感谢，谢谢老师对我孜孜不倦的指导和教诲，有了您的帮助我才能顺利完成毕业设计。我还要感谢我身边很多帮助过我的同学，当我遇到难题时，他们总是会帮助我解决问题、渡过难关，让我体会到了朋友的热情。在这里谢谢所有在毕业设计过程中关心和帮助过我的老师和同学们，谢谢你们！附录不确定线性系统在MATLAB中实现的编程：a0=[-20.20.1;-0.3-40.1;0.50-3];e0=[0.100;00.10;000.1];f0=[100;010;001];b0=[10;01;11];c=[101];i=[100;010;001];setlmis([]);x=lmivar(1,[31]);p2=lmivar(1,[31]);y=lmivar(2,[23]);z=lmivar(2,[31]);k=lmivar(2,[23]);ew=lmivar(2,[11]);lmiterm([111x],1,a0','s');%LMI#1:x*a0'+a0*xlmiterm([111y],b0,-1,'s');%LMI#1:-b0*y-y'*b0'lmiterm([121-k],1,b0');%LMI#1:k'*b0'lmiterm([122p2],a0',1,'s');%LMI#1:a0'*p2+p2*a0lmiterm([122z],1,-c,'s');%LMI#1:-z*c-c'*z'lmiterm([1310],e');%LMI#1:e'lmiterm([133ew],.5*1,-i,'s');%LMI#1:-ew*i(NONSYMMETRIC?)lmiterm([141x],f,1);%LMI#1:f*xlmiterm([1440],-0.5*inv(ew)*i);%LMI#1:-0.5*inv(ew)*ilmiterm([152p2],e',1);%LMI#1:e'*p2lmiterm([155ew],.5*1,-i,'s');%LMI#1:-ew*i(NONSYMMETRIC?)lmiterm([-211x],1,1);%LMI#2:xlmiterm([-311p2],1,1);%LMI#3:p2lmiterm([-411ew],1,1);%LMI#4