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文档简介
2022年山西省运城市运康中学中考数学模拟试卷
一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.下列四个数中,最大的数是()
A.-2B.;C.0D.6
2.下列计算正确的是()
A.(—a)4+a?=aB.(—x3y)2=xsy2
C.a2-a3=a6D.(x—y)2=x2—y2
3.下列宣传图案中,既中心对称图形又是轴对称图形的是()
A.戴口罩讲卫生B.少出门少聚集
C.有症状早就医D.勤洗手勤通风
4.不等式组匕“一22一3的解集在数轴上表示为()
12(4-x)>4
A.B.V3C.V9D.V18
6.如图所示,AE//CD,EF1ED,垂足为E,41=28。,则42的度数为()
A.30°B.40°C.62°D.50°
7.如图,利用标杆BE测量建筑物。C的高度,如果标杆BE长为1.2米,测得sinA=|,BC=8.4
米,则楼高(;。是()
A.6.3米
B.7.5米
C.8米
D.6.5米
8.将二次函数y=/的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得图象的函表达
式是()
A.y=(x—I)2+2
B.y=(x+I)2+2
C.y=(x-l)2-2
D.y=(x+I)?—2
9.如图,在正方形ABC。中,AB=4,E为对角线AC上与点A,C不重合的一个动点,过点E
作EFLAB于点F,EG1BC于点G,连接DE,FG,下列结论:①DE=FG;@DELFG-,
③NBFG=zL4DE;④FG的最小值为3,其中正确的结论是()
A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④
10.如图,在扇形40B中,AAOB=90°,OA=2,C是。4的中点,CE_L。4交⑪于点E,
以点。为圆心,以OC为半径作就交OB于点D,则图中阴影部分的面积为()
A。6
A-3+T
B.工+直
122
Q7zr_V3
•12-T
二、填空题(本大题共5小题,共15.0分)
11.如图是正方体的一种展开图,则原正方体中与“真”所在面的对面所标的字是
12.分解因式2/-号=.
13.下列各式是按新定义的已知运算得到的,观察下列等式:
2A5=2X3+5=11,2△(-1)=2x3+(-1)=5,
6A3=6X3+3=21>4△(—3)=4x3+(-3)=9..
根据这个定义,计算(-2022)42022的结果为.
14.古代名著媒学启蒙》中有一题:良马日行二百里.鸳马日行一百二十里.鸳马先行一
十二日,问良马几何追及之.意思是:跑得快的马每天走200里,跑得慢的马每天走120里.慢
马先走12天,快马几天可追上慢马?则快马天可追上慢马.
15.如图,在中,4c=90。,AC=爬BC,BC=1,在△ABC内作第一个正方形
使点&在边4C上,点外在边AB上,点名在边BC上,再作第二个正方形4142M2%,
使点4在边4c上,点“2在边4B上,点出在边4Mi上…如此下去,则第2021个正方形
4202()42021M2021B202I的面积为------
三、解答题(本大题共9小题,共75.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(本小题5.0分)
计算:(1-V3)0+\-y[2\-2cos45。+4)T
17.(本小题6.0分)
先化简,再求值:(55+1)+看],其中a=6.
18.(本小题6.0分)
在如图直角坐标系%Oy中,将AABC平移后得到△4/16,其中△ABC和△&B1G的顶点的坐
标分别为{a,0),8(—1,4),C(-4,2),4(2,2),B《4,b),G(c,d).
(1)根据对应点的坐标变化,直接填空:
△ABC向右平移个单位长度,再向上平移个单位长度可以得到且
a=,b=,c=,d=.
(2)在坐标系中画出AABC和A&BiCi;
(3)求出三角形力BC的面积.
19.(本小题7.0分)
如图,在平面直角坐标系中,直线y=x与反比例函数y=;(x>0)的图象交于点儿将直线
y=X沿y轴向上平移k个单位长度,交y轴于点B,交反比例函数图象于点C,且翳=9.40_Ly
轴于点0、CE_Ly于点E.
(1)求证:△。40;
(2)求点4和点C的坐标;
(3)求k值.
20.(本小题8.0分)
吸食毒品极易上瘾,不但对人的健康危害极大,而且严重影响家庭和社会的稳定.为了解同
学们对禁毒知识的掌握情况,从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,调
查评价结果分为:“了解较少”,“基本了解”,“了解较多”,“非常了解”四类,并根
据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图.
请根据统计图回答下列问题:
(1)本次抽取调查的学生共有人,其中“了解较多”的占%;
(2)请补全条形统计图;
(3)估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有人;
(4)“了解较少”的四名学生中,有3名学生A2,生是初一学生,1名学生8为初二学生,
为了提高学生对禁毒知识的认识,对这4人进行了培训,然后从中随机抽取2人对禁毒知识的
掌握情况进行检测.请用画树状图或列表的方法,求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率.
21.(本小题9.0分)
某校为响应我市全民阅读活动,利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计,第一个月进
馆128人次,进馆人次逐月增加,到第三个月末累计进馆608人次,若进馆人次的月平均增长
率相同.
(1)求进馆人次的月平均增长率;
(2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力不超过500人次,在进馆人次的月平均增长率相同
的条件下,请判断校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次,并说明理由.
22.(本小题9.0分)
如图,CB是。。的直径,C尸是。。的切线,切点为C,点D为直径CB右侧。。上一点,连接BD
并延长BD,交直线CF于点4连接。D.
(1)尺规作图:作出/C。。的角平分线,交C4于点E,连接OE(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的条件下,
①求证:DE=AE.
②若。。半径为2,当前的长为时,四边形OCE。是正方形.
23.(本小题12.0分)
如图,△4BC和△4DE是等边三角形,连接BE,BD,CD,EC.
(1)如图1,若乙40c=30。,若4E=7,EC=9,求EB的长度;
(2)如图2,点B在ZkAOE内,点F是4。的中点,连接BF、BE、BD,若DB1BF且BE=2BF.求
证:BE1EC;
(3)如图3,△ABC的边BC=6且过D点,EC=2回,N是直线ZB上一动点,连接DN,将仆DBN
沿0N翻折得到△0HN,当最大时,过“作4H的垂线,M是垂线上一动点,连接M4将线
段M4绕点M逆时针旋转60。,得到线段MP,连接PH,直接写出PH的最小
值.
图I图2图3
24.(本小题13.0分)
如图,抛物线y=+以+,过4(4,0),B(2,3)两点,交y轴于点C.动点P从点C出发,以
每秒5个单位长度的速度沿射线C4运动,设运动的时间为t秒.
(1)求抛物线y=-lx2+bx+c的表达式;
(2)过点P作PQ〃y轴,交抛物线于点Q,当t=[时,求PQ的长;
(3)若在平面内存在一点M,使得以4B,P,M为顶点的四边形是菱形,求点M的坐标.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:根据有理数比较大小的方法,可得
6>|>0>-2,
故四个数中,最大的数是6.
故选:D.
有理数比较大小的法则:①正数都大于0:②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,
绝对值大的其值反而小,据此判断即可.
本题主要考查了有理数比较大小的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①正数都大于
0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小.
2.【答案】A
【解析】解:4、原式=a4+a3=a,原计算正确,故此选项符合题意;
B、原式=”y2,原计算错误,故此选项不符合题意;
C、原式=。2+3=。5,原计算错误,故此选项不符合题意;
。、原式=/—2xy+y2,原计算错误,故此选项不符合题意.
故选:A.
根据同底数基的除法法则、募的乘方与积的乘方的运算法则、同底数基的乘法法则、完全平方公
式解答即可.
本题考查了同底数幕的乘除法法则、幕的乘方与积的乘方、完全平方公式.熟练掌握运算法则和
公式是解题的关键.
3.【答案】C
【解析】解:4是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
8.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意;
C.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项符合题意;
D既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意;
故选:C.
根据把一个图形绕某一点旋转180。,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就
叫做中心对称图形;如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫
做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行解答.
此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠
后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
4.【答案】A
【解析】解:解不等式;%-22-3,得:x>-2,
解不等式2(4-x)>4,得:x<2,
则不等式组的解集为-2<x<2,
故选:A.
分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无
解了确定不等式组的解集.
本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小
取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
5.【答案】B
【解析】解:4、(|=当,不是最简二次根式,故此选项不符合题意;
B、遮是最简二次根式,故此选项符合题意;
C、6=3,不是最简二次根式,故此选项不符合题意;
。、g=3或,不是最简二次根式,故此选项不符合题意;
故选:B.
根据最简二次根式的定义,判定即可.
本题考查了最简二次根式,熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键.
6.【答案】C
【解析】EFLED,
•••乙DEF=90°,
vZ1=28°,
•••乙D=180°-4DEF-41=62°,
vAE//CD,
・•・Z2=乙D=62°,
故选:C.
根据垂直的定义得到ZDEF=90°,根据三角形的内角和定理得到4。=180°-4DEF-41=62°,
根据平行线的性质即可得到结论.
本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理,解题的关键是求出ND=62°.
7.【答案】B
【解析】解:在RtAABE中,sinA=
4黑
E-
S-
3
n4=_B
si5,
1,2
-一-
—2(*)
•••AB=yjAB2-BE2=J22-1.22=1.6(米),
•••BC=8.4米,
AC=1.6+8.4=10(米),
Z.A=Z.A,/.ABE=ZC=90°,
•••△ABE^L.ACD,
.BE_AB即又=妁
**CD=-AC9^CD-10,
CD=7.5,
故选8.
利用sin4=|,BE=1.2米,求出ZE的长度,进而由勾股定理求出力B的长度,进一步求出47的长
度,再利用△4BE-AACD,即可求出CD的长度.
本题考查了解直角三角形的应用,掌握正弦的定义及相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.
8.【答案】B
【解析】解:将二次函数y=/的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得图象的函
数表达式是y=(x+1)2+2.
故选:B.
根据二次函数图象的平移规律:左加右减,上加下减进行解答即可.
本题考查了二次函数图象与几何变换,知道抛物线解析式的变化规律:左加右减,上加下减是解
题的关键.
9.【答案】A
【解析】解:①连接BE,交FG于点0,如图,
•••EF1AB,EG1BC,
•••乙EFB=AEGB=90°.
•••AABC=90°,
••・四边形EFBG为矩形.
•••FG=BE,OB=OF=OE=OG.
•••四边形ABC。为正方形,
•••AB=AD,ABAC=ADAC=45°.
在^ABE和AHOE中,
AE=AE
Z-BAC=Z-DAC,
AB=AD
•••△48EN^ADE(S4S).
:.BE=DE.
・•・DE=FG.
:,①正确;
②延长DE,交FG于M,交FB于点H,
ABEWAADE,
・•・Z-ABE=乙ADE.
由①知:OB=OF,
・•・Z.OFB=Z-ABE,
・♦・乙OFB=Z.ADE.
•・•乙BAD=90°,
:./-ADE+乙AHD=90°.
・・・Z,OFB+乙AHD=90°.
即:乙FMH=90。,
:.DE±FG.
.••②正确;
③由②知:4OFB=/.ADE.
即:4BFG=UDE.
.••③正确;
④•.•点E为4c上一动点,
根据垂线段最短,当DE14C时,OE最小.
vAD=CD=4,Z.ADC=90。,
•••AC=y/AD2+CD2=4V2.
•••DE=~AC=2V2.
由①知:FG=DE,
FG的最小值为2a,
④错误.
综上所述,正确的结论为:①②③.
故选:A.
①连接BE,易知四边形EFBG为矩形,可得BE=FG;由△4EB三△4ED可得DE=BE,所以DE=
FG;
©^^,^EFBGnS^OF=OB,则/OBF=4OFB;SlzOSF=/-ADE,则4OFB=N4DE;由四边
形ABCD为正方形可得=90。,即+N4DH=90。,所以N4HD+/OF"=90。,即
Z.FMH=90°,可得OEJ.FG;
③由②中的结论可得4BFG=Z.ADE-,
④由于点E为4c上一动点,当DEI4c时,根据垂线段最短可得此时CE最小,最小值为2vL由
①知FG=DE,所以FG的最小值为2e.
本题考查了正方形的性质,垂线段最短,全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,根据图
形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键,也是解决此类问题常用的方法.
10.【答案】B
【解析】解:连接OE、AE,
R-----
•・•点C为。4的中点,
•••OC=\oE,
•••/.CEO=30°,乙EOC=60°,
.•.△4E0为等边三角形,
„_60TTX2Z_2
"、扇形AOE=360=57r
S阴影=S扇形AOB-S扇形COD一(S励陶OE-SACO£)
907rx2907rxi
故选:B.
连接OE、AE,根据点C为(M的中点可得NCEO=30°,继而可得44E。为等边三角形,求出扇形40E
的面积,最后用扇形AOB的面积减去扇形COC的面积,再减去S交加后©即可求出阴影部分的面积•
2
本题考查了扇形的面积计算,解答本题的关键是掌握扇形的面积公式:s=娱.
11.【答案】强
【解析】解:原正方体中与“真”所在面的对面所标的字是强.
故答案为:强.
根据正方体的表面展开图找相对面的方法,同层隔一面判断即可.
本题考查了正方体相对两个面上的文字,熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解
题的关键.
12.【答案】|(2x+l)(2x-l)
【解析】解:原式=g(2x+l)(2x-l),
故答案为:1(2x+1)(2%-1)
原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可.
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
13.【答案】—4044
【解析】
【分析】
本题主要考查数字的变化规律,根据前几个数可以找到规律:aAb=ax3+b是解题的关键.根
据前几个数可以找到规律,aAb=ax3+b,然后代入计算即可.
【解答】
解:根据前几个数可以找到规律,aAb=ax3+b,
故(-2022)△2022=-2022x3+2022=-4044,
故答案为:-4044.
14.【答案】18
【解析】解:设快马x天可以追上慢马,
依题意,得200久=120x+120X12.
解得%=18.
即快马18天可以追上慢马.
故答案是:18.
设快马x天可以追上慢马,根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可.
本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.
15.【答案】.卢*)2。21
8
【解析】•••48=4881Ml=ZC=90°
BCA
••・BB1:BC=Mi:CA
・・・BB1:/Mi=BC:CA=1:V5
vB[M]=B]C
:.BB1:B]C
vBC=1
Sc&MiBi=(81C)2=-,
同理,可求得限分2M2B24]=(毕2,
・•・第2021个正力形42020A2021M2021B2021的面积为("'J")?。?】,
o
故答案为:(竺李鸟2021.
此题考查学生逻辑推理推理能力及相似三角形的应用,利用三角形相似可以知道各个正方形边长
比值,即可解决此题.
此题考查了图形变化类规律问题的解决能力,关键是能通过观察图形,猜想、验证、归纳此题内
含的规律.
16.【答案】解:原式=1+V2—2x号+4
=1+V2-V2+4
=5.
【解析】直接利用零指数事的性质以及负指数寨的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分
别化简得出答案.
此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.
17.【答案】解:原式=・(a+l),T)
a+12
2(a+l)(a-l)
=a+12
=Q—1,
当Q=遮时,
原式=而一1.
【解析】先通分算括号内的,把除化为乘,化简后将a的值代入即可.
本题考查分式化简求值,解题的关键是掌握分式的通分、约分,把分式化简.
18.【答案】52-3614
【解析】解:(1)由B(-1,4)到8式4,b)可知向右平移5个单位,
由4(a,0)到4(2,2)可知向上平移2个单位,
a4-5=2,4+2=b,—4+5=c,2+2=d,
:.a=-3,b=6,c=1,d=4.
故答案为:5,2,-3,6,1,4;
(2)・・・4(-3,0),8(—1,4),C(-4,2),Q(2,2),8式4,6),G(L4),
.*.△4BC和△4当Ci如图所示:
,111
(3)S△力BC=3x4——x1x2——x2x3——x2x4=4.
(1)利用平移变换的规律判断出△ABC向右平移5个单位,向上平移2个单位,由此即可解决问题;
(2)根据点的坐标作出图形即可;
(3)把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可.
本题考查作图-平移变换,三角形的面积等知识,解题的关键是掌握平移变换是性质学会用割补
法求三角形面积.
19.【答案】(1)证明:BC//OA,
:.Z-CBE=Z.AOD,
•・・4。1)/轴于点。、。£1丫于点您
・•・乙BEC=AODA=90°,
*'•△BCEs公OAD;
(2)解:解方程组卜=;,
{y=x
解得:{;二;(舍去负值),
・•.4点的坐标为(1,1),
・••AD=1,
♦・,△BCEFOAD,
.•.包=史一,
ADOA3
CE=
C点的横坐标为《,
•••点C在反比例函数y=:的图象上,
10
・・・y=1=3,
3
.♦.点C的坐标为0,3);
(3)解:•••将直线y=x沿y轴向上平移k个单位长度,得到直线丫=》+鼠
•••把C的坐标代入得3=:+3
解得k=
【解析】(1)根据根据平行线的性质得到4CBE=L4。。,ZBEC==90。,根据相似三角形
的判定即可证得4BCEfOAD-.
(2)解析式联立,解方程组可求得a的横坐标,根据反比例函数的定义及相似三角形的性质可求得c
的横坐标;
(3)把C的坐标代入y=x+k即可求得k的值.
本题考查了反比例函数的综合题,待定系数法求函数的解析式,反比例函数与一次函数的交点问
题,求得交点坐标是解题的关键.
20.【答案】5030780
【解析】解:(1)本次抽取调查的学生共有4+8%=50(人),
“了解较多”的所占的百分比是:||x100%=30%.
故答案为:50,30;
(2)“基本了解”的人数为50-(24+15+4)=7(人),
补全图形如下:
24+15
(3)1000x=780(人),
50
答:估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有780人.
故答案为:780;
(4)列表如F:
A143B
公(&,4)(阳义)(B4)
人2(41,42)(原4)但必)
人3(4,%)(以公)3,心)
B(公产)(421)(公,B)
共有12种可能的结果,恰好抽到初一、初二学生各1名的有6种,
则恰好抽到初一、初二学生各1名的概率为。=;.
(1)先由了解较少的人数及其所占百分比求出总人数,用“了解较多”的人数除以总人数即可得出
所占的百分比;
(2)用总人数减去其它人数,求出基本了解的人数,从而补全统计图;
(3)用总人数乘以“非常了解”和“了解较多”的学生所占的百分比即可;
(4)列表得出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果,再根据概率公式求解即可.
本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合
事件4或B的结果数目加,然后利用概率公式计算事件4或事件B的概率.也考查了统计图.
21.【答案】解:(1)设进馆人次的月平均增长率为x,则由题意得:
128+128(1+x)+128(1+x)2=608.
化简得:4x2+12x-7=0.
•••(2%-l)(2x+7)=0,
x=0.5=50%或x=-3.5(舍).
答:进馆人次的月平均增长率为50%.
(2)•••进馆人次的月平均增长率为50%,
.••第四个月的进馆人次为:128x(1+50%)3=128x营=432<500.
O
答:校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
【解析】(1)先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次,再根据第一个月的进馆人次加第二和
第三个月的进馆人次等于608,列方程求解;
(2)根据(1)所计算出的月平均增长率,计算出第四个月的进馆人次,再与500比较大小即可.
本题主要考查了一元二次方程的应用题,列出方程是解题的关键.本题难度适中,属于中档题.
22.【答案】71
【解析】解:(1)如图,
(2)①证明:连接DE,
由(1)可知NCOE=Z.DOE,
•••0C=OD,0E—0E,
OCE王&ODE(SAS),
乙ODE=Z.OCE=90°,
vZ.CAD+Z.OBD=Z.ADE+乙ODB=90°,Z.OBD乙BDO,
/.CAD=/.ADE,
DE=AE;
②解:当俞的长为兀时,四边形OCED是正方形.
•••丽的长为兀,
Z-B0Dxnx2
:180=6
・・・乙BOD=90°,
v/.OCE=90°,
・・.OD//CE.
•・・0E平分”0C,
・•・乙DOE=乙COE=45°,
.・.OC=CE,
又・・•OD=OC,
・•・OD=CE,
•••四边形OCED是正方形.
故答案为兀.
(1)利用尺规作图,作出NCOD的角平分线,交CA于点E;
(2)①证明△OCE三△ODE(SAS),由全等三角形的性质得出NODE=NOCE=90。,得出NC4D=
^ADE,则可得出结论;
②由弧长公式可求出NBOD=90°,由正方形的判定定理可得出结论.
本题考查了作图-基本作图,切线的性质、圆周角定理,等腰三角形的判定,全等三角形的判定
与性质,正方形的判定,弧长公式,解决本题的关键是掌握切线的的性质.
23.【答案】⑴解:•••△ABC和A/IDE是等边三角形,
Z.DAE=^ADE=60°,AE=AD=DE=7,
乙CAB=60°,AC=AB,
:.乙乙
DAE+BAD=Z-BAC+Z.BADt
EP:Z.EAB=/.DAE,
在△E4B和△ZMC中,
AE=AD
Z.EAB=Z-DAC,
AB=AC
三△£MC(S/S),
:.EB=CD,
vZ-ADE=60°,Z-ADC=30°,
:.Z.CDE=90°,
CD=VCE2-DE2=V92-72=4VL
•••EB=4V2;
(2)证明:如图,
图1
延长BF至G,是FG=BF,
•・•产是的中点,
・•・DF=AF,
在48。尸和4GAF中,
DF=AF
乙BFD=Z.GFA,
BF=FG
•••△BDFwZkGAF(SAS),
・•・ZG=乙DBF=90°,AG=BD.
•・,BE=2BF,
.・.BE=BG,
同理(1)可得:△BADWAC4E(S/S),
:•CE=BD,
ACE—AG,
在和△BGA中,
CE=AG
BC=ABf
\BEBG
・MBCEaBGA(SSS),
・・・(BEG=ZG=90°;
(3)如图2,
AM
X2Z
~。
作CQ1EB于Q,作DT_L4B于T,
•・•△ADE^WLABC是等边三角形,
,Z-AED=/.DAE=60°,^ABC=60°,
・•・Z-AED=/-ABC
••・点4、E、B、。共圆,
・•・乙CBQ=乙DAE=60°,
・•・BQ=BC,cos乙CBQ=6cos60°=3,CQ=6•sin60=6xy=3R,
在RMCEQ中,
EQ=y/CE2-CQ2=J(2g)2—(3通尸=7,
■■■BE=EQ-BQ=7-3=4,
由(1)知:CD=BE=4,
•••BD=BC-CD=2,
DH=BD=2,
•••点”在以。为圆心,2为半径的圆上运动,
延长4。交于R,当“点运动到R时,4H最大=4R,
在中,BD=2,4ABe=60。,
•••BT=\BD=1,DT=争D=V3>
在Rt△ADT<^>,AT=AB-BT=6-1=5,
AD=y/AT2+DT2=J52+(V3)2=25
:.AR=2\/7+2,
如图3,
连接4P,以AH为边在的作等边三角形
■■■AM=AM,乙4Mp=60°,
.•.△4PM是等边三角形,
同理(1)得:△4VP三
Z.AVP=乙4HM=90°,
•••点P在与过点也与AU垂直的直线运动,作HP'IVP于P',当P运动到P'时,最小,
在Rt△WP'中,2LAVP'=AAVP'-Z.AVH=30°,
•••P'H=^HV=^AH=V7+1,
••.P”的最小值是:V7+1.
【解析】(1)证明AEAB三△DAC,从而EB=C。,解直角三角形CDE,进而求得结果;
(2)延长BF至G,是FG=BF,证明△BDF三△GAF,从而4G=/DBF=90°,AG=BD,可证得
△BAD^^CAE,进而证明△BCE三△BG4,进而命题得证;
(3)作CQ_LE8于Q,作D714B于7,先求得4CBQ=60。,^CBE=120°),解斜三角形BCE,求
得BE,进而求得CD,BD,从而确定点H在以。为圆心,2为半径的圆上运动,进而求得AH的最大
值,作等边三角形AHV,从而确定点P的运动轨迹,进而求得PH的最小值.
本题考查了等边三角形性质,全等三角形的判定和性质,确定圆的条件,解直角三角形等知识,
解决问题的关键是作辅助线,构造全等三角形.
24.【答案】解:(1)将4(4,0),8(2,3)代入y=~1x2+bx+c中得:
o
3
-^x164-46+c=0
o
3,
-5x4+2b+c=3
o
解得:[b=4.
lc=
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