人教版九年级数学上册 24.13 四点共圆（知识讲解）

专题24.13四点共圆（知识讲解）【学习目标】理解四点共圆的定义；掌握判断四点共圆的基本方法，并用于解决证明和计算问题。【要点梳理】四点共圆常用的方法有：1、对角互补的四边形，四点共圆；2、外角等于内对角的四边形，四点共圆；3、同底同侧的顶角相等的两个三角形，四点共圆；4、到定点的距离等于定长的四个点，四点共圆。【典型例题】类型一、四点共圆的判定1．如图，，分别是的高，求证：、、、四点共圆．【分析】取AB的中点O，连接DO、HO，根据BD，AH分别是△ABC的高，可得△DAB和△HAB都是直角三角形，斜边都是AB，而点O为斜边中点，则有DO＝HO＝AB＝AO＝BO，也就是说以O为圆心、OA为半径的圆，点D、H、B也在这个圆上，即可证明A、B、H、D四点共圆．证明：如图，取的中点，连接、，∵BD，AH分别是的高，和都是直角三角形，且它们的斜边都是，∵点为斜边中点，，也就是说，点、、在以为圆心、为半径的圆上，即点、、、都在以为圆心、以为半径的圆上，故可得：、、、四点共圆．【点拨】本题考查了四点共圆，解答本题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得四点共圆．举一反三：【变式1】已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．【答案】点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上，证明见分析.【分析】根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出E、F、G、H到O点距离都等于定长即可.解：如图，连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，∵点E是AB的中点，∴OE＝AB，同理：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上．【点拨】本题主要考查了四点共圆的条件，用到了菱形的性质及直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键.【变式2】如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上．（1）求∠BAD的度数；（2）求证：A、D、B、E四点共圆．【答案】（1）10°；（2）见分析【分析】（1）由三角形内角和定理和已知条件求得∠C的度数，由旋转的性质得出AC＝AD，即可得出∠ADC＝∠C，最后由外角定理求得∠BAD的度数；（2）由旋转的性质得到∠ABC＝∠AED，由四点共圆的判定得出结论．解：（1）∵在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，∴∠C＝50°，∵将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠C＝50°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝50°，∴∠BAD＝50°－40°＝10°证明（2）∵将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，∴∠ABC＝∠AED，∴A、D、B、E四点共圆．【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、外角定理以及四点共圆的判定，解题的关键是理解旋转后的图形与原图形对应边相等，对应角相等．【变式3】如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．(1)求证：A、E、C、F四点共圆；(2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM=ND【分析】（1）只要证明A、E、C、F四点所构成的四边形的对角互补，则该四点共圆；（2）连接AC交BD于O，易得O是该圆的圆心，OM＝ON，所以可得BM＝ND．解：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC=∠AFC=90°，∴∠AEC+∠AFC=180°，∴A、E、C、F四点共圆；（2）由（1）可知，圆的直径是AC，连接AC交BD于O，∵ABCD是平行四边形，∴O为圆心，OB=OD，∴OM=ON，∴BM=ND.【点拨】本题主要考查了四点共圆的判定及平行四边形的性质，难度不大，能够灵活运用所学知识进行推理是解题关键.．类型二、利用四点共圆进行证明或求解2．如图，A、B、C、D四点共圆，且∠ACB＝∠ACD＝60°．求证：△ABD是等边三角形．【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得出∠ADB＝60°＝∠ABD，再用三角形的内角和定理求出∠BAD，即可得出结论．证明：∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∵∠ACD＝60°，∴∠ABD＝∠ACD＝60°，在△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABD＝∠ADB＝∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形．【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定，圆周角定理，三角形的内角和定理，掌握圆周角定理是解答本题的关键；举一反三：【变式】如图所示中，，，分别在边和上，且，，垂足分别为，，求的长.【答案】【分析】本题关键要建立未知线段和已知线段的关系，由，，，共圆，和为直径，于是在中便可以建立和的关系，求出的长即求出的长.解：连结，，∵，∴∴，∴由圆的定义知点，，，在以为圆心，为半径的圆上，作出辅助圆，延长交圆于，连结，∴

在中，，∴

∴【点拨】双直角三角形是典型的共圆图，解题中注意灵活应用.类型三、四点共圆综合应用3．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是；②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．【答案】（1）①20°；②，理由见分析；（2）证明见分析【分析】（1）①根据题目定义推出∠E＝∠A，从而得出结论；②直接根据求解①过程证明即可；（2）首先根据题意推出A、B、C、D四点共圆，然后作四边形ABCD的外接圆交CE于点F，连接AF，DF，再根据圆的内接四边形的性质等推出∠AFD＝∠DFE，然后根据“遥望角”的定义推出∠E＝∠DAF，即可证△DAF≌△DEF，从而得出结论．（1）解：①∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，∵∠A＝40°，∴∠E＝20°．故答案为：20°；②，理由如下：∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A；（2）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、B、C、D四点共圆，作四边形ABCD的外接圆交CE于点F，连接AF，DF，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠DFC+∠DBC＝180°，∵∠DFC+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ABD＝∠AFD，∴∠AFD＝∠DFE，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，由（1）得∠E＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠E＝∠BDC，∵∠E+∠DCE＝∠BAC，∴∠E＝∠DCE，∵∠DCE＝∠DAF，∴∠E＝∠DAF，∵DF＝DF，∠AFD＝∠DFE，∴△DAF≌△DEF（AAS），∴DA＝DE．【点拨】本题考查新定义问题，涉及三角形角平分线的拓展运用，圆的内接四边形的性质等，理解题目定义，灵活运用“四点共圆”的证明方法是解题关键．举一反三：【变式】在学习《圆》这一单元时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：已知：是等边三角形，点是内一点，连接，将线段绕逆时针旋转得到线段，连接，，，并延长交于点．当点在如图所示的位置时：（1）观察填空：①与全等的三角形是________；②的度数为（2）利用题干中的结论，证明：，，，四点共圆；（3）直接写出线段，，之间的数量关系．____________________．【答案】（1）①：②；（2）见分析；（3）．【分析】（1）①根据旋转的性质和等边三角形的性质可证△ACD≌△BCE；②根据已推导出的全等三角形和三角形内角和进行角度转化，可得∠AFB的大小；（2）根据△ACD≌△BCE得，推导得出四边形CDFE中，从而证共圆；（3）先推导出△BDF是等边三角形，可证△ABD≌△CBP，得出AD=FC，从而得出数量关系．解：（1）①∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°∵将线段绕逆时针旋转得到线段∴CE=CD，∠DCE=60°∴△DCE是等边三角形∴∠DCE=60°∵∠ACD+∠DCB=60°，∠BCE+∠DCB=60°∴∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS)②∵△ACD≌△BCE∴∠EBC=∠DAC∵∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°∴∠FBC+∠BAD=60°∴∠AFB=180°－∠ABC－∠FBC－∠BAF=180°－60°－60°=60°（2）∵．∴，∵，∴．∴，，，四点共圆；（证明不唯一）（3）结论：,如下图,连接BD∵△