浙江七年级第二学期数学竞赛冲刺卷一

绝密★启用前2021-2022学年浙江七年级第二学期数学竞赛冲刺卷01注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）若a，b为有理数，且2a2﹣2ab+b2+4a+4＝0，则a2b+ab2＝（）A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．16【分析】由2a2﹣2ab+b2+4a+4＝0，可化为两个完全平方的形式，根据非负数相加等于0，所以各个非负数都为0进行解答．【解答】解；∵2a2﹣2ab+b2+4a+4＝0，即a2﹣2ab+b2+a2+4a+4＝0，∴（a﹣b）2+（a+2）2＝0，故a﹣b＝0，a+2＝0，解得：a＝﹣2，b＝﹣2．故a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣16．故选：B．【点评】本题考查了完全平方公式及非负数的性质，属于基础题，关键是掌握几个非负数相加等于0，各个非负数都为0．2．（4分）如图，已知AB∥DE，那么下列结论正确的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2﹣∠3＝180° C．∠1＝∠2+∠3 D．∠1﹣∠2+∠3＝180°【分析】延长BC交直线DE于F，根据平行线的性质得到∠F＝180°﹣∠1，由三角形的外角的性质得到∠F＝∠2﹣∠3，即可得到结论．【解答】解：延长BC交直线DE于F，∵AB∥DF，∴∠1+∠F＝180°，∴∠F＝180°﹣∠1，∵∠2＝∠3+∠F，∴∠F＝∠2﹣∠3，∴∠1+∠2﹣∠3＝180°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．3．（4分）设非零实数a，b，c满足，则的值为（）A． B．0 C． D．1【分析】已知方程组两方程相减求出a+b+c的值，两边平方公式化简，变形即可求出所求式子的值．【解答】解：，②﹣①得：a+b+c＝（2a+3b+4c）﹣（a+2b+3c）＝0，即（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+ca+bc）＝0，则ab+bc+ca＝﹣（a2+b2+c2），则原式＝＝﹣．故选：A．【点评】此题考查了完全平方公式，以及分式的化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．4．（4分）多项式A与多项式B的和是3x+x2，多项式B与多项式C的和是﹣x+3x2，那么多项式A减去多项式C的差是（）A．4x﹣2x2 B．4x+2x2 C．﹣4x+2x2 D．4x2﹣2x【分析】本题涉及整式的加减、合并同类项两个考点，解答时根据题意列出式子，运用整式的加减运算顺序，先去括号，再合并同类项．【解答】解：A+B＝3x+x2①；B+C＝﹣x+3x2②；①﹣②：A﹣C＝（3x+x2）﹣（﹣x+3x2）＝3x+x2+x﹣3x2＝4x﹣2x2．故选：A．【点评】本题考查整式的加减，这是各地中考的常考点．解决此类题目的关键是熟练运用去括号、合并同类项．括号前添负号，括号里的各项要变号．合并同类项时，注意是系数相加减，字母与字母的指数不变．5．（4分）13个小朋友围成一圈做游戏，规则是从某一个小朋友开始按顺时针方向数数，数到第13，该小朋友离开；这样继续下去，直到最后剩下一个小朋友．小明是1号，要使最后剩下的是小明自己，他应该建议从（）小朋友开始数起．A．7号 B．8号 C．13号 D．2号【分析】本题是一道找规律的题目，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．【解答】根据题意分析可得：如果从1号数起，离开的分别为：13、1、3、6、10、5、2、4、9、11、12、7．最后留下的是8号．因此，想要最后留下1号，即将“8”倒推7位，那么数字“1”也应该倒推7位，得到的数是“7”．故选：A．【点评】本题要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．6．（4分）设轮船在静水中速度为v，该船在流水（速度为u＜v）中从上游A驶往下游B，再返回A，所用时间为T，假设u＝0，即河流改为静水，该船从A至B再返回A，所用时间为t，则（）A．T＝t B．T＜t C．T＞t D．不能确定T、t的大小关系【分析】船在流水中从上游A驶往下游B，再返回A，所用时间＝路程÷顺水速度+路程÷逆水速度，顺水速度＝静水中的速度+流水速度，逆水速度＝静水中的速度﹣流水速度，据此列式进行比较．【解答】解：由题意得，T＝，t＝，∵＝＞1，即T＞t，故选：C．【点评】此题考查分式的乘除运算和列代数式，读懂题意的同时运用除法进行比较分式的大小，有点难度．7．（4分）已知a2+b2＝6ab且a＞b＞0，则的值为（）A． B．± C．2 D．±2【分析】把已知条件a2+b2＝6ab，利用完全平方公式得出（a+b）2＝8ab，（a﹣b）2＝4ab，再求出式子的平方，由a＞b＞0，即可求出的值为正数．【解答】解：∵a2+b2＝6ab，∴（a+b）2＝8ab，（a﹣b）2＝4ab，∴（）2＝＝2，又∵a＞b＞0，∴＝．故选：A．【点评】本题考查了完全平方公式，关键是利用完全平方公式出a、b和的平方与差的平方，需要注意受条件的限制答案只有一个．8．（4分）多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，则＝（）A．﹣2 B．﹣ C． D．0【分析】由于x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），而多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，则2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除．运用待定系数法，可设商是A，则2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝A（x+2）（x﹣1），则x＝﹣2和x＝1时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝0，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到的值．【解答】解：∵x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），∴2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除，设商是A．则2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝A（x+2）（x﹣1），则x＝﹣2和x＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．当x＝﹣2时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝32+24+4a﹣14+b＝4a+b+42＝0①当x＝1时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝2﹣3+a+7+b＝a+b+6＝0②①﹣②，得3a+36＝0，∴a＝﹣12，∴b＝﹣6﹣a＝6．∴＝＝﹣2．故选：A．【点评】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出x＝﹣2和x＝1时，原多项式的值均为0，从而求出a、b的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．9．（4分）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为mcm，宽为ncm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（）A．4mcm B．4ncm C．2（m+n）cm D．4（m﹣n）cm【分析】本题需先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案．【解答】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b，∴L上面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a），L下面的阴影＝2（m﹣2b+n﹣2b），∴L总的阴影＝L上面的阴影+L下面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）＝4m+4n﹣4（a+2b），又∵a+2b＝m，∴4m+4n﹣4（a+2b），＝4n．故选：B．【点评】本题主要考查了整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键．10．（4分）已知整数x，y，z满足x≤y＜z，且，那么x2+y2+z2的值等于（）A．2 B．14 C．2或14 D．14或17【分析】根据绝对值的定义和已知条件，得出|x+y|，|x﹣y|式子的范围，把已知访化简，从而确定x，y，z的范围即可求解．【解答】解：∵x≤y＜z，∴|x﹣y|＝y﹣x，|y﹣z|＝z﹣y，|z﹣x|＝z﹣x，因而第二个方程可以化简为：2z﹣2x＝2，即z＝x+1，∵x，y，z是整数，根据条件，则两式相加得到：﹣3≤x≤3，两式相减得到：﹣1≤y≤1，同理：，得到﹣1≤z≤1，根据x，y，z是整数讨论可得：x＝y＝﹣1，z＝0，∴x2+y2+z2＝（﹣1）2+（﹣1）2+0＝2．故选：A．【点评】本题考查了绝对值的定义和三元一次方程组的解法，确定x，y，z的范围是解题的关键．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）因式分解：（4a2+1）2﹣16a2＝（2a+1）2（2a﹣1）2．【分析】先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（4a2+1）2﹣16a2＝（4a2+1+4a）（4a2+1﹣4a）＝（2a+1）2（2a﹣1）2，故答案为：（2a+1）2（2a﹣1）2．【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．12．（4分）（2x6﹣3x5+4x4﹣7x3+2x﹣5）（3x5﹣3x3+2x2+3x﹣8）展开式中x8的系数是﹣8．【分析】根据多项式乘以多项式的法则可知展开式中含x8的项可以由2x6与2x2、﹣3x5与﹣3x3、﹣7x3与3x5相乘得，故可直接将几式相乘后再相加即可得出系数．【解答】解：∵（2x6﹣3x5+4x4﹣7x3+2x﹣5）（3x5﹣3x3+2x2+3x﹣8）展开式中含x8的项可以由2x6与2x2、﹣3x5与﹣3x3、﹣7x3与3x5相乘得∴展开式中含x8项分别为：4x8、9x8、﹣21x8∴展开式中x8的系数是：4+9﹣21＝13﹣21＝﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，注意运用简便方法．13．（4分）已知实数a，b，x，y满足ax+by＝3，ay﹣bx＝5，则（a2+b2）（x2+y2）的值是34．【分析】将ax+by＝3，ay﹣bx＝5这两式两边平方后相加，最经过提取公因式，左边可得（a2+b2）（x2+y2）至此问题解决．【解答】解：由题意得，ax+by＝3①ay﹣bx＝5②①2得a2x2+b2y2+2abxy＝9③②2得a2y2+b2x2﹣2abxy＝25④③+④得a2x2+b2y2+a2y2+b2x2＝34a2（x2+y2）+b2（x2+y2）＝34（a2+b2）（x2+y2）＝34故答案为34【点评】本题主要考查了完全平方式即化简求值．在化简过程中巧妙运用了a2x2+b2y2+a2y2+b2x2可直接分解为（a2+b2）（x2+y2）的形式．14．（4分）设a、b、c均为非零实数，且ab＝2（a+b），bc＝3（b+c），ca＝4（c+a），则a+b+c＝．【分析】首先分别把已知等式变为＝的形式，然后可以变为＝，由此可以得到关于a、b、c的方程组，解方程组即可求解．【解答】解：∵ab＝2（a+b），bc＝3（b+c），ca＝4（c+a），∴＝，＝，＝，∴＝，＝，，联立解之得，a＝，b＝，c＝24，∴a+b+c＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了分式的混合运算，解题时首先利用分式的性质变形为倒数的形式从而得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可解决问题．15．（4分）已知，，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）＝8，则a的值等于﹣9．【分析】观察已知等式可知，含有m2﹣2m，n2﹣2n的结构，可以将已知条件移项，平方即可．【解答】解：由m＝1+，得（m﹣1）2＝2，即m2﹣2m＝1，故7m2﹣14m＝7，同理，得3n2﹣6n＝3，代入已知等式，得（7+a）（3﹣7）＝8，解得a＝﹣9．【点评】本题考查了二次根式的灵活运用，直接将m、n的值代入，可能使运算复杂，可以先求部分代数式的值．16．（4分）如图，甲乙两车分别自A、B两城同时相向行驶，在C地相遇继续行驶分别达到B、A两城后，立即返回，在D处再次相遇．已知AC＝30千米，AD＝40千米，则AB＝65千米，甲的速度：乙的速度＝．【分析】设甲速度为a，乙速度为b，BD为x千米，根据到C点时甲乙用时相同可列一个方程，再根据到达D时两人用时也相同可得第二个方程，求方程组的解即可．【解答】解：设甲速度为a，乙速度为b，BD为x千米，根据题意得：，解方程得x＝25，．则AB＝AD+BD＝65（千米）．故答案两空分别填：65、．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题意，看懂图意，根据题目给出的条件找出等量关系，列出方程组再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．17．（4分）若关于x，y方程组的解为，则方程组的解为．【分析】利用整体思想可得，【解答】解：利用整体思想可得，解得．【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是学会利用整体的思想解决问题．18．（4分）记x＝（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），且x+1＝2128，则n＝64．【分析】先在前面添加因式（2﹣1），再连续利用平方差公式计算求出x，然后根据指数相等即可求出n值．【解答】解：（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），＝（2﹣1）（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），＝（22﹣1）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），＝（2n﹣1）（1+2n），＝22n﹣1，∴x+1＝22n﹣1+1＝22n，2n＝128，∴n＝64．故填64．【点评】本题考查了平方差公式，关键是乘一个因式（2﹣1）然后就能依次利用平方差公式计算了．三．解答题（共4小题，满分48分）19．（10分）（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，25x2+10x+1＝（5x+1）2，4x2+12x+9＝（2x+3）2．（2）观察上述三个多项式的系数，有（﹣6）2＝4×1×9，102＝4×25×1，122＝4×4×9，于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么系数a、b、c之间一定存在某种关系．请你用数学式子表示小明的猜想．b2＝4ac（说明：如果你没能猜出结果，就请你再写出一个与（1）中不同的完全平方式，并写出这个式中个系数之间的关系．）（3）若多项式x2+ax+c和x2+cx+a都是完全平方式，利用（2）中的规律求ac的值．【分析】（1）利用完全平方公式分解因式即可；（2）观察上述三个等式，得到规律：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么系数a、b、c之间关系为b2＝4ac；（3）利用（2）中得出的结论，列出关系式，整理后得到a＝c，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即为c的值，即可求出ac的值．【解答】解：（1）x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，25x2+10x+1＝（5x+1）2，4x2+12x+9＝（2x+3）2；（2）观察得：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么系数a、b、c之间关系为b2＝4ac；（3）∵多项式x2+ax+c和x2+cx+a都是完全平方式，∴a2﹣4c＝c2﹣4a＝0，即a2﹣c2+4（a﹣c）＝0，分解因式得：（a﹣c）（a+c+4）＝0，若a+c+4＝0，即c＝﹣a﹣4，a2﹣4c＝a2﹣（a+4）2＝﹣8a﹣16＝0，解得：a＝﹣2，c＝﹣2，此时ac＝4；若a+c+4≠0，可得a﹣c＝0，即a＝c，可得a2﹣4a＝0，即a（a﹣4）＝0，解得：a＝0或a＝4，即c＝0或c＝4，∵ac≠0，∴ac＝16，综上，ac＝4或16．故答案为：（1）（x﹣3）2；（5x+1）2；（2x+3）2；（2）b2＝4ac【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．20．（12分）已知实数a、b、c，满足abc≠0且（a﹣c）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）＝0，求的值．【分析】先将（a﹣c）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）＝0，按照完全平方公式和多项式乘法的运算法则展开化简，再利用三项的完全平方公式变形，从而利用偶次方的非负性得出a+c与b的数量关系，则的值可得．【解答】解：∵（a﹣c）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）＝0，∴a2﹣2ac+c2﹣4ab+4b2+4ac﹣4bc＝0，∴a2+c2+4b2+2ac﹣4ab﹣4bc＝0，∴（a+c﹣2b）2＝0，∴a+c＝2b，∵abc≠0，∴＝2．∴的值为2．【点评】本题考查了完全平方公式在化简求值中的应用，本题属于竞赛题，熟练掌握三项的完全平方公式是解题的关键．21．（12分）爸爸想送Mike一个书包和随身听作为新年礼物．在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，（1）求随身听和书包单价各是多少元．（2）新年来临赶上商家促销，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？【分析】（1）设书包单价为x元，则随身听单价为y元，根据随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，列方程组求解；（2）根据两商家的优惠方式分别计算是否两家都可以选择，比较钱数少的则购买更省钱．【解答】解：（1）设书包单价为x元，则随身听单价为y元，由题意得，，解得：．答：书包单价92元，随身听单价360元．（2）在人民商场购买随声听与书包各一样需花费现金：452×＝361.6（元）∵361.6＜400，∴可以选择在人民商场购买；在家乐福可先花现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，共花现金360+2＝362（元），∵362＜400，∴可以选择在家乐福购买．∵362＞361.6，∴在人民商场购买更省钱．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．22．（14分）如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD⊥BC于E．（1）求证：∠ABC+∠ADC＝90°；（2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CGD的度数；（3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，