原子物理与量子力学课件：电子自旋

原子物理与量子力学§10.1原子中电子轨道运动的磁矩经典表示式经典电磁学中的磁矩对于任意闭合轨道,

，S

为电流所围的面积,

n为电流环平面的法向单位矢量。设电子自旋频率

轨道磁矩与轨道角动量L反向，这是因为磁矩的方向是根据右手定则定义的，而电子运动方向与电流反向。磁矩在均匀外磁场中受到的力矩为由此得到力矩引起的角动量变化进而，有表明：在均匀外磁场中高速旋转的磁矩不向B靠拢，而是以一定的角速度ω绕B作进动。定义电子的旋磁比量子力学的表示中心力场中含时间的定态波函数为概率流密度球坐标中的分量：而则磁矩为由于波函数与r、

有关的函数均是实数，则沿z轴方向的总磁矩为由波函数的归一化条件，得电子旋磁比为与经典结果相同。其中称为玻尔磁子。§10.2施特恩-盖拉赫实验

当使基态l=0的原子束通过不均匀磁场时，观测到原子束仅分裂成两束，即仅两个态。这个实验直接证实了半整数角动量的存在。

因为，对于基态l=0，无轨道磁矩；而角动量的空间分量是2lz+1=1，因此实验观察只有一个原子束斑。但事实上，却出现两个束斑，它不可能是轨道的空间取向引起的，只能是电子自身固有的角动量，称其为电子自旋角动量。实验原理从加热炉中发出一束银原子蒸汽（基态）。银原子穿过两个平行的狭缝后形成沿x方向运动的速度为v的银原子直线束，穿过磁场区后落到屏上N-S磁极间产生的是非均匀磁场，梯度方向沿

z方向，进入磁场的原子束受到作用力

z为磁矩在磁场方向的分量。原子束在磁场区内运动方程：D是原子从磁极处到观察屏的垂直距离；银原子沿

z方向移动的距离为讨论与分析按照经典理论，磁矩在z方向的取值连续变化，则银原子的束斑沿z连续分布；按照量子力学理论，电子轨道磁矩在z方向的分量为2l+1=1（银原子基态l=0），只有一个束斑。斯特恩-盖拉赫实验首次证实了原子角动量在磁场空间取向的量子化，同时直接证实了电子自旋的存在。它还提供了测量原子磁矩的一种办法，为原子束和分子束实验技术奠定了基础。实验结果：在z方向观察到两个银原子束斑。经典理论和量子力学理论均不能解释斯特恩——盖拉赫实验现象。说明还有新的理论存在。按照量子力学解释，磁矩在空间的取向是量子化的，结合实验观察的结果，这个角动量的量子数取值为1/2。显然它不是轨道角动量（量子数取非负整数），应当是一个新的角动量，这就是自旋角动量。

斯特恩因此而获得1943年度诺贝尔物理学奖。§10.3电子自旋的假设与电子自旋磁矩G.Uhlenbeck（乌伦贝克）-S.Goudsmit（古德斯密特）假设（1）每个电子除了绕核旋转以外(轨道运动)，还存在绕其自身轴线旋转的自旋运动，并且有角动量S在空间任何方向的投影只能取两个值（2）每个电子都具有自旋磁矩Ms，它在空间任何方向（比如z方向）的投影为电子自旋运动与电子的“轨道”运动不同，主要表现两方面：电子自旋值为，而不是的整数倍；二者回转磁比率不同自旋运动的回转磁比率“轨道”运动的回转磁比率自旋是电子的一种内禀属性，和电子的坐标以及动量无关，是描述电子运动状态的第四个变量或自由度（由电子状态变量由空间坐标和自旋取向描述）。自旋角动量用自旋算符描写，它无经典对应，因为不能写成坐标和动量的函数。

§10.4电子自旋态与自旋算符考虑自旋后，电子的波函数写为二分量形式：表示自旋向上且位置在r处的概率密度；表示自旋向下且位置在r处的概率密度。其中电子自旋态的描述波函数的归一化条件其中，自旋波函数为二分量的波函数，其矩阵形式为相应的归一化条件为电子自旋算符，泡利矩阵自旋算符电子的自旋角动量可用自旋算符描写，它虽然无经典对应，但作为角动量，应该满足角动量的一般定义：分量形式本征方程自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取两个值。而任意分量算符的本征值都是，则因此，得到自旋量子数的取值泡利算符引进泡利算符，它和自旋算符之间的关系为泡利算符有以下性质：对易关系反对易关系分量算符的平方相应的本征值为1。而分量算符的本征值为。泡利矩阵

电子的自旋算符是作用在电子波函数上的，电子波函数写成二行一列的矩阵，因此自旋算符应该是二行二列的矩阵。设本征方程为因此有同理得

z的矩阵形式上式实际上就是在

z的自身表象中的矩阵表示，矩阵是对角化的，对角矩阵元分别等于两个本征值。再求泡利算符的矩阵表示。令反对易关系于是简化为再根据厄米性要求可得；再由，得这里采用了泡利取法利用对易关系得至此就得到泡利算符的矩阵表示，称为泡利矩阵，即§10.5总角动量的本征态总角动量算符定义：总角动量算符总角动量算符的性质总角动量算符的本征态由上述对易关系，可选择一组守恒量完全集的共同本征函数作为总角动量的本征函数（包括角度部分和自旋）。在表象中，设此共同本征函数为经过较复杂的运算过程，得到以下波函数：当时当时其中，其中，§10.6碱金属原子光谱的精细结构钠黄光的精细结构自旋与轨道耦合解释电子绕原子核运动的等效相对运动电子轨道与自旋耦合作用引起的附加能量为由毕奥-萨伐尔定律、电子磁矩的定义及相对论效应，进一步算得光谱实验观察的是微观粒子能量的平均效应，其中又由对于单电子()，有由此得到原来单能级分裂成以下两个能级（l=0除外）：因此，电子自旋-轨道耦合引起的能级分裂（l=0除外）或者因此考虑了碱金属原子的价电子自旋与轨道耦合相互作用后，就可以定性解释其光谱的精细结构。实验观察到的碱金属原子光谱精细结构的能级间隔见下表。量子力学解释考虑碱金属原子价电子的自旋-轨道耦合作用，其哈密顿算符为体系的本征态可以选力学量完全集的共同本征态能量本征方程为若给定势函数V(r)，则可以解出其能级的分裂结果。若把电子自旋-耦合项视作微扰，还可以得到能级跃迁的选择定则：注意到§10.7反常塞曼效应当外磁场较弱，体系的哈密顿量中包含电子的自旋-轨道耦合