专题18：三角函数的概念.同角三角函数的基本关系、诱导公式（解析版）

专题18：三角函数的概念.同角三角函数的基本关系、诱导公式一、单选题1．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，再用二倍角公式代入即可得出答案.【详解】.故选:A.2．已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要【答案】B【解析】利用定义法进行判断.【详解】充分性：当时，不妨取时轴线角不成立.故充分性不满足；必要性：角为第一或第四象限角，则，显然成立.故选：B.3．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用二倍角公式化简已知等式可求得，并确定所在象限；根据同角三角函数关系可求得，利用两角和差余弦公式可求得结果.【详解】，，，，，，，，，，.故选：C.4．已知，，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先由平方关系求出，，再由结合余弦差角公式即可求解.【详解】由，可得，故，，故.故选：A.5．若都是锐角，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据同角三角函数平方关系可求得，根据，利用两角和差正弦公式可求得结果.【详解】都是锐角，，，，，.故选：B.二、多选题6．下列说法正确的是（

）A．在△ABC中，A<B是cos2A>cos2B的充分不必要条件B．若函数为幂函数，且在单调递减，则实数.C．已知，则；D．定义，已知，则最大值为【答案】BCD【解析】对于A，在△ABC中，A<B是cos2A>cos2B的充分必要条件，所以该选项错误；对于BCD，可以证明是正确的，即得解.【详解】解：对于A，若A＜B，且A，B∈（0，π），则0＜sinA＜sinB，则cos2A＝1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B＝cos2B，反过来，也成立，所以在△ABC中，A<B是cos2A>cos2B的充分必要条件，所以该选项错误；对于选项B，由题得，解得m＝1．所以该选项正确；对于选项C，，所以该选项正确；对于选项D，因为＝min{sinx，cosx}，则f（x）的最大值为，所以该选项正确．故选：BCD7．下列说法正确的有（

）A．，B．不存在无穷多个和的值，使得C．存在这样的和的值，使得D．当取最大值时，【答案】CD【解析】A由辅助角公式及正弦函数性质判断；B、C利用和角余弦公式及已知条件，只需，即可判断；D由辅助角公式及正弦函数性质有，结合平方关系求解即可判断.【详解】A：，错误；由，要使已知条件成立，则即可，故存在无穷多个和的值，B错误，C正确；D：由且，故，则，解得，正确.故选：CD8．已知、、，且，则（

）A．若，则B．若，则C．、可能是方程的两根D．【答案】AD【解析】利用同角三角函数的基本关系可判断A选项；利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系可判断B选项；利用两角和的正切公式可判断CD选项.【详解】对于A选项，由已知可得，解得，则，A对；对于B选项，因为，则，所以，，B错；对于C选项，对于方程，，若、可能是方程的两根，由韦达定理可得，，所以，，因为、、，则，从而，与题设矛盾，C错；对于D选项，因为，所以，，由B选项可知，所以，，D对.故选：AD.9．已知函数，，且在单调递增，则下列说法正确的是（

）A．B．将函数的图象向左平移个单位所得图像关于y轴对称C．的对称中心是D．若，则【答案】BC【解析】先由及在单调递增求出，即可判断A选项；再借助图像的平移变换及偶函数判断B选项；通过余弦函数的对称中心判断C选项；利用诱导公式判断D选项.【详解】∵为函数的最小值，∴，即，又∵在单调递增，∴，即，则，故A不正确∴，将函数的图象向左平移个单位所得图像为，即，该函数为偶函数，则关于y轴对称，故选项B正确；令，解得，则对称中心，故选项C正确；若，则，故选项D不正确.故选：BC.10．在平面直角坐标系xOy中，圆心为O的单位圆与x轴正半轴的交点为A，角的终边与单位圆相交于点P，将点P沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点，，，以下命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，则【答案】ABD【解析】根据三角函数的定义、两角差的余弦公式及余弦函数的性质一一计算可得；【详解】解：对于A，由三角函数的定义可知，，故选项A正确；对于B：因为的终边与单位圆相交于点又，所以，故B正确；对于C，由三角函数的定义可知，，由可知，点在第二象限，则，所以，故选项C错误；对于D：因为，所以，所以，因为，所以，所以，即，故D正确；故选：ABD三、双空题11．已知的图象向右平移个单位后得到的图象，则函数的最大值为_________；若的值域为，则a的最小值为_________．【答案】

；

【解析】第一空：先由辅助角公式写出，再结合平移变换写出，即可求得最大值；第二空：由值域为得恒成立，结合诱导公式可得，结合求出a的最小值即可.【详解】第一空：由可得，易得的最大值为；第二空：若的值域为，则恒成立，即，又，故，解得，又，故当时，a的最小值为.故答案为：；.12．已知常数满足，其中，函数，则的最大值为_________，当取得最大值时，_______．【答案】

2

【解析】易得的最大值为2，由，令，解得，再根据时，取到最大值求解.【详解】解：易得的最大值为2，由题意知，令，则，于是，解得，所以即，因为当时，取到最大值，所以．故答案为：2，13．已知对角线相互垂直的梯形ABCD中，，，，若，则______，______．【答案】

【解析】依题意设，即可表示，再根据三角形相似得到、，在中利用正弦定理得到方程，即可得到，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，即可求出，再求出，即可得解；【详解】解：依题意作出图形如图所示，设，，故，因为，故，则，故，而，故在中，，即，即，则，则，解得，则，解得或，因为，故舍去，所以；所以，解得，所以．故答案为：；；14．已知，则____________；___________.【答案】

##-0.1【解析】结合，将所求式子化弦为切后再将代入即可求解【详解】解：，，故答案为：；15．已知等比数列的公比是，前三项分别是、、，且，则___，__．【答案】

##

##【解析】由已知条件求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；利用同角三角函数的基本关系可求得、的值，利用两角和的正弦公式可求得的值.【详解】由题意可得，若，则，不满足，不合乎题意.所以，，则，因为，故，则，故为锐角，由，解得，因此，.故答案为：；.四、填空题16．若，则___________.【答案】【解析】先通过二倍角公式对式子进行化简，进而变形为正余弦的齐次式，然后化为正切并解出即可.【详解】由题意，，因为，所以，解得.故答案为：.17．已知，则___________.【答案】【解析】根据诱导公式及同角三角函数基本关系求出，再由二倍角的余弦公式化简求值即可.【详解】，，.故答案为：18．已知，写出满足条件的的一个值___________．【答案】20（或，）【解析】根据切化弦，把正切转化成正弦与余弦，然后利用辅助角公式和二倍角公式，即可求解.【详解】由得故，因此或，故答案为：2019．已知，为第三象限角，则___．【答案】【解析】利用两角和差正弦公式可求得，根据同角三角函数关系可求得；利用诱导公式化简所求式子后，根据正余弦齐次式的求法可求得结果.【详解】，又为第三象限角，，则，.故答案为：.20．已知角的终边在直线上，则________．【答案】【解析】先根据三角函数的定义求出，然后通过二倍角公式将原式展开并化为正余弦的齐次式，最后化为正切求得答案.【详解】由题意，设角的终边与直线交于点，由三角函数的定义可知.于是，.故答案为：.五、解答题21．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，且点在圆：上.(1)若点的横坐标为，求的值；(2)若角满足，求的最大值.【答案】(1)或(2)1【解析】（1）由点在圆上得或，进而根据三角函数定义得或，再根据同角三角函数关系构造齐次式求解即可；（2）易知的最大值不超过1，进而转化为证明，满足条件即可.(1)解：若点的横坐标为，因为点在圆：上所以，或，所以，或，所以，当时，当时，.(2)解：易知的最大值不超过1，下面证明：的最大值是1.只需证明，满足条件.①由于满足；②设，则，即，所以，存在点使得.综上所述，的最大值是1.22．已知为锐角，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)1.【解析】（1）由二倍角的余弦公式，结合正余弦齐次式法计算作答.（2）由同角公式求出，再利用差角的正切公式计算作答.(1)因，所以.(2)因为锐角，则，而，则，于是得，所以.23．在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，是方程的两个实根.(1)求和；(2)若，求的值.【答案】(1)，，(2)【解析】（1）利用韦达定理及其同角三角函数平方关系即可求解；（2）先利用余弦的二倍角公式恒等变形，再利用正弦定理角化边，最后结合余弦定理即可求解.(1)由题意可知，，即，由韦达定理得，，将代入解得，又∵是△的内角，∴，∴，解得，(2)由得，根据正弦定理可得，由余弦定理可得，即，∴，又∵，∴△是等边三角形，因此.24．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．(1)若，求A；(2)若的面积，求c．【答案】(1)(2)或【解析】（1）根据求出，再根据正弦定理求出可得结果；（2）根据三角形面积公式和余弦定理可求出结果.(1)因为，则，由正弦定理，得，即，即，因为，所以，因此；(2)由，得，．当时，由余弦定理，得；当时，由余弦定理，得．所以，或．25．已知，其中，．(1