弹性力学简明教程第七章改

第七章空间问题的基本理论例题第五节轴对称问题的基本方程第四节几何方程及物理方程第三节主应力最大与最小的应力第二节物体内任一点的应力状态第一节平衡微分方程习题的提示和答案教学参考资料第七章空间问题的基本理论在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。取出微小的平行六面体，考虑其平衡条件:(a)(b)平衡条件§7-1平微分方程由x轴向投影的平衡微分方程

,

平衡微分方程得因x,y,z轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所以x,y,z坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性。所以式(a)的其余两式可通过式(c)的坐标轮换得到。由三个力矩方程得到三个切应力互等定理，，。(x,y,z)(d)空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量平衡微分方程在空间问题中，同样需要解决：由直角坐标的应力分量…

…，来求出斜面(法线

）上的应力。斜面应力§7-2物体内任一点的应力斜面全应力p可表示为两种分量形式：p沿坐标向分量:p沿法向和切向分量:斜面应力取出如图的包含斜面的微分四面体，斜面面积为ds,则x面，y面和z面的面积分别为lds,mds,nds。由四面体的平衡条件，得出坐标向的应力分量,1.求2.求将向法向投影，即得从式(b)、(c)可见,当六个坐标面上的应力分量确定之后，任一斜面上的应力也就完全确定了。设在边界上，给定了面力分量则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。这时，斜面应力分量应代之为面力分量，从而得出空间问题的应力边界条件:3.在上的应力边界条件应力边界条件式(b),(c)用于V内任一点，表示斜面应力与坐标面应力之间的关系；注意:

式(d)只用于边界点上，表示边界面上的面力与坐标面的应力之间的关系，所以必须将边界面方程代入式(d)。1.假设面(l,m,n)为主面，则此斜面上斜面上沿坐标向的应力分量为

代入,得到斜面应力§7-3主应力最大与最小的应力考虑方向余弦关系式,有式(a),(b)是求主应力及其方向余弦的方程。(b)2.求主应力将式(a)改写为求主应力上式是求解l,m,n的齐次代数方程。由于l,m,n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得展开，即得求主应力的方程,求主应力(c)求主应力3.应力主向设主应力的主向为。代入式(a)中的前两式，整理后得应力主向由上两式解出。然后由式(b)得出应力主向再求出及。4.一点至少存在着三个互相垂直的主应力（证明见书上）。5.应力不变量若从式(c)求出三个主应力，则式(c)也可以用根式方程表示为，因式(c)和(f)是等价的方程，故的各幂次系数应相等，从而得出应力不变量将上式展开，(g)应力不变量

∴分别称为第一、二、三应力不变量。这些不变量常用于塑性力学之中。式(g)中的各式，左边是不随坐标选择而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关，但其代数和也应与坐标选择无关。6.关于一点应力状态的结论：六个坐标面上的应力分量完全确定一点的应力状态。只要六个坐标面上的应力分量确定了，则通过此点的任何面上的应力也完全确定并可求出。(2)一点存在着三个互相垂直的应力主面及主应力。一点应力状态(3)三个主应力包含了此点的最大和最小正应力。（4）一点存在三个应力不变量（5）最大和最小切应力为，作用于通过中间主应力、并且“平分最大和最小正应力的夹角”的平面上。设思考题1.试考虑：对于平面问题若则此点所有的正应力均为,切应力均为0，即存在无数多的主应力。2.试考虑：对于空间问题若则此点所有的正应力均为,切应力均为0，即存在无数多的主应力。

空间问题的几何方程，可以从平面问题推广得出：(a)几何方程§7-4几何方程及物理方程从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系：⑴若位移确定，则形变完全确定。几何方程从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。—沿x,y,z向的刚体平移；⑵若形变确定，则位移不完全确定。

∵由形变求位移，要通过积分，会出现待定的函数。若，还存在对应的位移分量为

(b)几何方程—绕x,y,z轴的刚体转动角度。若在边界上给定了约束位移分量，则空间问题的位移边界条件为(c)位移边界条件(d)其中由于小变形假定，略去形变的二、三次幂。体积应变体积应变定义为

空间问题的物理方程

可表示为两种形式：⑴应变用应力表示，用于按位移求解方法：(x,y,z)(e)物理方程⑵应力用应变表示，用于按应力求解方法：(x,y,z)(f)由物理方程可以导出（g）是第一应力不变量，又称为体积应力。—称为体积模量。

结论：空间问题的应力，形变，位移等十五个未知函数，它们都是(x,y,z)的函数。这些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。结论

空间轴对称问题

采用柱坐标表示轴对称问题如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。§7-5轴对称问题的基本方程对于空间轴对称问题：所有物理量仅为(ρ,z)的函数。应力中只有(a)形变中只有位移中只有轴对称问题而由得出为。平衡微分方程：

几何方程：其中几何方程为物理方程：应变用应力表示：(d)应力用应变表示：其中边界条件：

一般用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。在柱坐标中，坐标分量的量纲，方向性，坐标线的性质不是完全相同的。因此，相应的方程不具有对等性。思考题试由空间轴对称问题的基本方程，简化导出平面轴对称问题的基本方程。第七章例题例题1例题2例题3例题例题1设物体的边界面方程为F（x,y,z)=0,试求出边界面的应力边界条件；若面力为法向的分布拉力q(x,y,z),应力边界条件是什么形式？（x,y,z)其中解：当物体的边界面方程为F（x,y,z)=0时，它的表面法线的方向余弦且有当面力为法向分布拉力q时，(x,y,z)因此，应力边界条件为代入应力边界条件，得(x,y,z)例题2

试求图示弹性体中的应力分量，(a)正六面体弹性体置于刚体中，上边界受均布压力q作用，设刚性体与弹性体之间无摩擦力。(b)半无限大空间体，其表面受均布压力q的作用。qqooxxzz图7-4解：图示的(a),(b)两问题是相同的应力状态：x向与y向的应力、应变和位移都是相同的，即等。对于(a)，有约束条件，；对于(b)，有对称条件。而两者的，因此，由物理方程，即可解出例题３

图示的弹性体为一长柱形体，在顶面z=0上有一集中力F作用于角点，试写出z=0表面上的边界条件。xyobbaaz图7-5P解：本题是空间问题，z=0的表面是小边界，可以应用圣维南原理列出应力的边界条件。即在z=0的表面边界上，使应力的主矢量和主矩，分别等于面力的主矢量和主矩，两者数值相等，方向一致。由于面力的主矢量和主矩是给定的，因此，应力的主矢量和主矩的数值，应等于面力的主矢量和主矩的数值；而面力主矢量和主矩的方向，就是应力主矢量和主矩的方向。应力主矢量和主矩的正负号和正负方向，则根据应力的正负号和正负方向来确定。对于一般的空间问题，列积分的应力边界条件时，应包括六个条件。对于图示问题这六个积分的边界条件是：

(一)本章学习的重点及要求

1.研究弹性力学问题,可以从一般问题到特殊问题,如从空间问题到平面问题。也可以由特殊问题到一般问题。本书就是先研究平面问题，然后再研究空间问题的。这样可以由浅入深，循序渐进，便于理解。第七章教学参考资料弹性力学中的各种问题，都具有相似性，其未知函数，基本方程和边界条件，以及求解的方法都是类似的。我们可以把空间问题看成是平面问题的推广。2.直角坐标系(x,y,z)中一般的空间问题，包含有15个未知函数（6个应力分量，6个应变分量及3个位移分量），且它们均为三个坐标变量(x,y,z)的函数。区域内的基本方程也是15个，即3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程。在边界上的应力边界条件或位移边界条件均为3个。这些方程和边界条件当然可以根据有关条件导出，但也可以从平面问题推广而来。3.在柱坐标系中的空间轴对称问题，也可以看成是平面轴对称问题的推广。空间轴对称问题包含有十个未知函数（4个应力分量，4个应变分量及2个位移分量）,它们都是的函数。在空间轴对称问题中，区域内共有十个基本方程（2个平衡微分方程，4个几何方程及4个物理方程），在边界上个有两个应力或位移边界条件。

(二）本章内容提要

1.直角坐标系(x,y,z)中的一般空间问题，其基本方程及边界条件具有对等性，可将下标、导数和物理量等按（x,y,z）轮换的方式得出其余表达式。平衡微分方程，几何方程，物理