2020版53b数学9 2直线圆位置关系

§9.2直线、圆的位置关系高考数学

(北京专用)A组自主命题·北京卷题组五年高考1.(2014北京,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得

∠APB=90°,则m的最大值为

()A.7

B.6

C.5

D.4答案

B若∠APB=90°,则点P的轨迹是以AB为直径的圆,其方程为x2+y2=m2.由题意知圆C:(x-

3)2+(y-4)2=1与圆O:x2+y2=m2有公共点,所以|m-1|≤|OC|≤m+1,易知|OC|=5,所以4≤m≤6,故m的

最大值为6.选B.思路分析“圆C上存在点P,使得∠APB=90°”等价于“圆C与以AB为直径的圆有公共点”,

故根据圆与圆的位置关系可得关于圆心距的不等式,进而可求解.一题多解设点P的坐标为(x,y),则

=(x+m,y),

=(x-m,y),由∠APB=90°得

·

=0,即(x+m)(x-m)+y2=0.由此得m=

,即m为P到原点的距离,由于P在圆C上,C的半径为1,圆心(3,4)到原点的距离为5,所以m的最大值为6.2.(2012北京,9,5分)直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为

.答案2

解析如图所示:x2+(y-2)2=4表示以C(0,2)为圆心,2为半径的圆,直线y=x过圆上的点A(2,2).直线y=x被圆截得的弦为OA,|OA|=

=2

.3.(2014北京,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位

置关系,并证明你的结论.解析(1)由题意知,椭圆C的标准方程为

+

=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=

.故椭圆C的离心率e=

=

.(2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以

·

=0,即tx0+2y0=0,解得t=-

.当x0=t时,y0=-

,代入椭圆C的方程,得t=±

,故直线AB的方程为x=±

.圆心O到直线AB的距离d=

.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0≠t时,直线AB的方程为y-2=

(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圆心O到直线AB的距离d=

.又

+2

=4,t=-

,故d=

=

=

.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.评析

本题考查了椭圆的相关知识,直线与圆的位置关系,坐标法等知识;考查数形结合思想、

推理论证能力.B组统一命题·省(区、市)卷题组1.(2018课标Ⅲ,6,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP

面积的取值范围是()A.[2,6]

B.[4,8]

C.[

,3

]

D.[2

,3

]答案

A本题考查直线与圆的位置关系.由圆(x-2)2+y2=2可得圆心坐标为(2,0),半径r=

,△ABP的面积记为S,点P到直线AB的距离记为d,则有S=

|AB|·d.易知|AB|=2

,dmax=

+

=3

,dmin=

-

=

,所以2≤S≤6,故选A.方法总结

与圆有关的最值问题的解题方法(1)与圆有关的长度或距离的最值问题,一般利用圆的几何性质求解.(2)与圆上点(x,y)有关的代数式的最值的常见类型及解法.①形如u=

的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题;②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截

距的最值问题;③形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.2.(2016山东,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2

.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是

()A.内切

B.相交C.外切

D.相离答案

B由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为2

,所以圆心M到直线x+y=0的距离d=

=

(a>0),解得a=2,又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|=

,则R-r<

<R+r,所以两圆的位置关系为相交,故选B.思路分析

利用直线被圆所截得的线段的长度构造关于a的方程,从而求出圆M的圆心及半径,

根据两圆圆心距及两圆半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系.3.(2015安徽,8,5分)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是

()A.-2或12

B.2或-12

C.-2或-12

D.2或12答案

D易知圆心坐标为(1,1),半径r=1,∵直线与圆相切,∴

=1,解得b=2或b=12.评析

本题考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式.4.(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作

圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=

()A.2

B.4

C.6

D.2

答案

C圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点C,所以2+a×1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|=

=

=6.故选C.5.(2018课标全国Ⅰ,15,5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=

.答案2

解析将圆x2+y2+2y-3=0化为标准方程为x2+(y+1)2=4,则圆心坐标为(0,-1),半径r=2,∴圆心到直线x-y+1=0的距离d=

=

,∴|AB|=2

=2

=2

.方法归纳求圆的弦长的常用方法:(1)几何法:l=2

(其中l为圆的弦长,r为圆的半径,d为弦心距);(2)代数法:联立直线与圆的方程,结合根与系数的关系及弦长公式|AB|=

|x1-x2|=

·

或|AB|=

|y1-y2|=

·

(k≠0)求解.6.(2016课标Ⅰ,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2

,则圆C的面积为

.答案4π解析把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r=

.圆心到直线x-y+2a=0的距离d=

.由r2=d2+

,得a2+2=

+3,解得a2=2,则r2=4,所以圆的面积S=πr2=4π.评析

本题考查了直线与圆的位置关系,考查了圆的方程和点到直线的距离公式,利用弦长的

一半,圆心到直线的距离及半径构成的直角三角形求解是关键.7.(2016课标Ⅲ文,15,5分)已知直线l:x-

y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|=

.答案4解析圆心(0,0)到直线x-

y+6=0的距离d=

=3,|AB|=2

=2

,过C作CE⊥BD于E,因为直线l的倾斜角为30°,所以|CD|=

=

=

=4.

解后反思本题涉及直线和圆的位置关系,要充分利用圆的性质及数形结合的思想方法求解.8.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相

切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为

.答案(x-1)2+y2=2解析由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,易知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=

0的距离的最大值为

=

,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.9.(2015山东,13,5分)过点P(1,

)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则

·

=

.答案

解析如图,易得|

|=|

|=

,

又|

|=1,|

|=2,所以∠APO=30°,故∠APB=60°.所以

·

=|

|·|

|cos60°=

×

×

=

.10.(2017课标全国Ⅲ,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐

标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解析(1)不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为

·

=-

,所以不能出现AC⊥BC的情况.(2)证明:证法一:BC的中点坐标为

,可得BC的中垂线方程为y-

=x2

.由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-

.联立

得

+mx2+2y-1=0,又由

+mx2-2=0,可得

所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为

,半径r=

.故圆在y轴上截得的弦长为2

=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.证法二:设△ABC的外接圆与y轴的另一个交点为D,则根据相交弦定理得|AO|·|BO|=|CO|·|DO|,

又|AO|·|BO|=|x1|·|x2|=2,|CO|=1,则|DO|=2,D点坐标为(0,-2),|CD|=3,所以△ABC的外接圆在y轴上截得的弦长为定值.思路分析(1)令y=0,将抛物线与x轴交点的横坐标转化为一元二次方程的两根,应用根与系数

的关系,可得直线AC与直线BC的斜率之积为-

,从而说明AC,BC不垂直.(2)证法一:根据圆的性质,求出△ABC外接圆的圆心坐标

和外接圆在y轴上截得的弦长,并证明弦长为定值.证法二:设△ABC的外接圆与y轴的另一个交点为D.由相交弦定理求出DO的长,得出D点坐标,

再求出弦CD的长,从而△ABC的外接圆在y轴上截得的弦长为定值.11.(2015课标Ⅰ,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若

·

=12,其中O为坐标原点,求|MN|.解析(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以

<1.解得

<k<

.所以k的取值范围为

.

(5分)(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=

,x1x2=

.

(7分)

·

=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=

+8.由题设可得

+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.故圆心C在l上,所以|MN|=2.

(12分)C组教师专用题组1.(2015课标Ⅱ,7,5分)已知三点A(1,0),B(0,

),C(2,

),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为

()A.

B.

C.

D.

答案

B在平面直角坐标系xOy中画出△ABC,易知△ABC是边长为2的正三角形,其外接圆

的圆心为D

.因此|OD|=

=

=

.故选B.2.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB

为直径的圆C与直线l交于另一点D.若

·

=0,则点A的横坐标为

.答案3解析本题考查直线与圆的位置关系.设A(a,2a),a>0,则C

,∴圆C的方程为

+(y-a)2=

+a2,由

得

∴

·

=(5-a,-2a)·

=

+2a2-4a=0,∴a=3或a=-1,又a>0,∴a=3,∴点A的横坐标为3.一题多解由题意易得∠BAD=45°.设直线DB的倾斜角为θ,则tanθ=-

,∴tan∠ABO=-tan(θ-45°)=3,∴kAB=-tan∠ABO=-3.∴AB的方程为y=-3(x-5),由

得xA=3.

3.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若

·

≤20,则点P的横坐标的取值范围是

.答案[-5

,1]解析本题考查平面向量数量积及其应用,圆的方程的应用及圆与圆的相交.解法一:设P(x,y),则由

·

≤20可得,(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)≤20,即(x+6)2+(y-3)2≤65,所以P为圆(x+6)2+(y-3)2=65上或其内部一点.又点P在圆x2+y2=50上,联立得

解得

或

即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图),

易知-5

≤x≤1.解法二:设P(x,y),则由

·

≤20,可得(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)≤20,即x2+12x+y2-6y≤20,由于点P在圆x2+y2=50上,故12x-6y+30≤0,即2x-y+5≤0,∴点P为圆x2+y2=50上且满足2x-y+5≤0的点,即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图),

同解法一,可得N(1,7),M(-5,-5),易知-5

≤x≤1.4.(2015重庆,12,5分)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为

.答案

x+2y-5=0解析易知直线OP的斜率为2,则切线斜率为-

,切线方程为y-2=-

x(x-1),即x+2y-5=0.5.(2015湖南,13,5分)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐

标原点),则r=

.答案2解析过O作OC⊥AB于C,则OC=

=1,在Rt△AOC中,∠AOC=60°,则r=OA=

=2.

6.(2015湖北,14,5分)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|

AB|=2.

(1)圆C的

方程为

;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:①

=

;②

-

=2;③

+

=2

.其中正确结论的序号是

.(写出所有正确结论的序号)答案(1)(x-1)2+(y-

)2=2(2)①②③解析(1)设圆心C(a,b),半径为r,∵圆C与x轴相切于点T(1,0),∴a=1,r=|b|,又圆C与y轴正半轴交于两点,∴b>0,则b=r.∵|AB|=2,∴2=2

,∴r=

,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-

)2=2.(2)设N(x,y),而A(0,

-1),B(0,

+1),则

=

=

,又x2+y2=1,∴

=

=

·

=(

+1)2,∴

=

+1,同理,

=

+1.∴

=

,且

-

=

+1-

=2,

+

=

+1+

=

+1+

-1=2

,故正确结论的序号是①②③.7.(2014课标Ⅰ,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段

AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.解析(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则

=(x,y-4),

=(2-x,2-y).由题设知

·

=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,

为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-

,故l的方程为y=-

x+

.又|OM|=|OP|=2

,O到l的距离为

,|PM|=

,所以△POM的面积为

.评析

本题考查轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系,在解决直线与圆的相关问题时,利用图

形的几何性质可简化运算.三年模拟A组2017—2019年高考模拟·考点基础题组1.(2017北京海淀一模,2)圆心为(0,1)且与直线y=2相切的圆的方程为

()A.(x-1)2+y2=1

B.(x+1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1

D.x2+(y+1)2=1答案

C设圆的方程为x2+(y-1)2=r2(r>0).∵直线y=2与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径r.∴r=1.故所求圆的方程为x2+(y-1)2=1,故选C.2.(2019北京海淀期末,4)直线y=kx+1被圆x2+y2=2截得的弦长为2,则k值为

()A.0

B.±

C.±1

D.±

答案

A因为圆心坐标为(0,0),半径为

,直线方程为kx-y+1=0,所以圆心到直线的距离d=

,因为直线被圆截得的弦长为2,所以

+12=(

)2,可化为

=1,解得k=0.方法总结

直线与圆的弦长问题,借助于半径、半弦长、圆心到割线的距离满足的勾股定理

来做.3.(2017北京海淀二模,4)圆x2+y2-2y=0与曲线y=|x|-1的公共点的个数为

()A.4

B.3

C.2

D.0答案

D圆的标准方程为x2+(y-1)2=1,圆心为(0,1),半径为1.曲线y=|x|-1=

圆心(0,1)到直线y=x-1(或y=-x-1)的距离d=

>1,故公共点的个数为0.故选D.4.(2019北京西城一模,6)如图,阴影表示的平面区域W是由直线x-y=0和曲线x2+y2=2所围成的.

若点P(x,y)在W内(含边界),则z=4x+3y的最大值和最小值分别为

()A.5

,-7

B.5

,-5

C.7,-5

D.7,-7

答案

A由题意知,直线4x+3y-z=0与W有公共点,则

≤

,则|z|≤5

,当z=5

时,4x+3y-5

=0与圆相切于点

,符合题意;当z=-5

时,4x+3y+5

=0与圆相切于点

,不符合题意,舍去.由x≥y得,当x=y=-1时,z有最小值-7.综上,故选A.5.(2019北京海淀新高考调研卷,7)已知圆C:x2+y2-2x-2y-2=0,直线y=k(x-2)与圆C交于A,B两点,则|

AB|的最小值为

()A.2

B.2

C.2

D.4答案

B圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4,圆心C(1,1)到直线y=k(x-2)距离d=

,则有|AB|=2

=2

=2

=2

,∴当k>0,且k=

=1时,|AB|取最小值,此时|AB|=2

,故选B.6.(2019北京海淀二模,9)已知直线l1:x-y+1=0与l2:x+ay+3=0平行,则a=

,l1与l2之间的距离

为

.答案-1;

解析由直线l1∥l2得,直线l2的斜率与直线l1的斜率相等,从而有a=-1,因此l1与l2之间的距离为d

=

=

.误区警示

两直线平行求距离时,需要把两直线方程的一般式Ax+By+C=0中的A和B化为相同,

即两直线方程化为Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0,再用距离公式d=

.B组2017—2019年高考模拟·专题综合题组时间:25分钟分值:35分一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2017北京东城二模,6)已知直线x+y=m(m>0)与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且∠POQ=120°(其

中O为原点),那么m的值是

()A.

B.

C.

D.

答案

B如图所示.

设圆心到直线的距离为d.由于∠POQ=120°,∴∠OPQ=∠OQP=30°,∴d=

=1·sin30°=

,解得m=±

,又m>0,∴m=

,故选B.2.(2018北京海淀期末,5)已知直线x-y+m=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且△OAB为正三角形,

则实数m的值为

()A.

B.

C.

或-

D.

或-

答案

D如图,过O作OC⊥AB,则C为AB的中点,|BC|=

,所以|OC|=

=

=

,所以|OC|=

=

,所以m=±

.

二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2018北京朝阳一模,11)已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0内有一点P(2,1),经过点P的直线l与圆C交于

A,B两点,当弦AB恰被点P平分时,直线l的方程为

.答案

y=x-1解析将圆的一般方程化为标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,因为弦AB被P平分,故PC⊥AB,则kPC·kAB

=-1.由P(2,1),C(1,2)得kPC=

=-1,可得kAB=1,所以直线l的方程为y=x-1.

4.(2018北京朝阳一模,12)已知点A(-2,0),B(0,2),若点M是圆x2+y2-2x+2y=0上的动点,则△ABM的

面积的最小值为

.答案2解析圆x2+y2-2x+2y=0可化为(x-1)2+(y+1)2=2,故圆心为(1,-1),半径r=

.因为A(-2,0),B(0,2),所以|AB