第一部分知识梳理第四章第二节

第一部分教材知识梳理第四章三角形第二节三角形及其性质中招考点清单考点一三角形及其分类

1三角形的定义：由不在同一条直线上的①_________相接所组成的图形叫做三角形

2.按边分三条线段三角形不等边三角形等腰三角形“底边≠腰长”的等腰三角形等边三角形3.按角分直角钝角三角形②_____三角形斜三角形锐角三角形③_____三角形考点二一般三角形的性质（高频考点）

【考情总结】近7年考查4次，仅2014、2009和2008年未考查，题型均为填空题，一般不单独设题，常与其他知识综合求角度，涉及的知识有尺规作图和轴对称性质.1.三角形的三边关系：三角形两边的和④_____第三边，三角形两边的差⑤_____第三边，若一个三角形的三边边长分别为a、b、c，则|a-b|＜c＜a+b.大于小于【温馨提示】（1）三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的重要依据，也可利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围；（2）在一个三角形中，大角对大边，小角对小边.2.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于⑥_____.180°3.三角形内、外角关系:（1）三角形的外角⑦_____与它不相邻的两内角的和;（2）三角形的任意一个外角⑧_____任何一个和它不相邻的内角.等于大于考点三三角形中的重要线段

1.三角形的角平分线三角形的角平分线的描述方式，如图①所示：（1）AD是△ABC的一条角平分线.

（2）三角形的任意一条角平分线均在三角形内.

（3）∠1=∠2=⑨_______.∠ABC2.三角形的中线三角形的中线的描述方式，如图②所示：（1）AM是△ABC的一条中线，M是BC的中点.

（2）三角形的任意一条中线均在三角形内.

（3）BM=CM，S△ABM＝S△ACM＝S△ABC.3.三角形的高线三角形的高线的描述方式：（1）AD是△ABC的一条高线，D是垂足.

（2）三角形高线的位置如图：（3）三角形面积公式：S=a·h，其中a是三角形的一条边长，h是这条边上的高.【温馨提示】三角形的角平分线、中线、高线不是直线也不是射线，而是线段；三角形的三条中线交于一点,这一点叫做三角形的重心;三角形的三条角平分线的交点叫做三角形的内心;三条高的交点叫做三角形的垂心.4.三角形的中位线（1）中位线的概念：连接三角形⑩_________的线段叫做三角形的中位线.

（2）中位线的性质：三角形的中位线_______第三边，并且等于第三边的_____.

两边中点平行于1112一半

如图③，△ABC三边中点分别为点D、E、F，则有（1）DF∥BC且DF=BC；DE∥AC且DE=AC；EF∥AB且EF=AB；（2）S△ADF=S△DBE=S△FEC=S△EFD=S△ABC.考点四特殊三角形的性质及判定（高频考点）

【考情总结】近7年每年必考，但一般不单独设题.其中等腰三角形近7年考查5次，仅2013年和2012年未考查，性质考查2次，判定考查3次；直角三角形近7年考查6次，仅2014、2010和2009年未考查，2013年和2012年各考查2次，其中直角三角形的性质考查2次，直角三角形的判定考查4次.题型为解答题和填空题.1.等腰三角形性质：（1）两腰相等，_______相等；（2）顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；（3）是轴对称图形，有___条对称轴.

判定：(1)有两条边相等的三角形；(2)等角对等边.

面积计算公式：S=ah(h是边a上的高).

两底角一13142.等边三角形性质：（1）三边相等；（2）三内角相等，且每一个内角都等于_____；（3）内外心重合；（4）是轴对称图形，有___条对称轴.

判定：（1）三条边相等的三角形；（2）三个角都相等的三角形；（3）有一个角等于60°的___________是等边三角形.

面积计算公式：S=ah=a2(h是边a上的高).60°三151617等腰三角形3.直角三角形性质：（1）两锐角之和等于_____；（2）斜边上的中线等于斜边的_____；（3）30°角所对的直角边等于斜边的一半；(4)若有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于_____；(5)两直角边的平方和等于斜边的平方；（6）直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半.90°一半18192030°

判定：(1)有一个角为90°；(2)斜边上的中线等于斜边的一半；(3)若a2+b2=c2，则以a、b、c为三边的三角形是直角三角形.

面积计算公式：S=ch=ab(a、b为直角边，h是斜边c上的高).

失分点9等腰三角形中分类讨论思想的应用（1）当已知等腰三角形的两边长时，若没有明确边的类型，要分已知边是底边和已知边是腰两种情况进行讨论，再根据三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边作出判断；（2）另外已知等腰三角形的一个内角度数，确定其余两个角的度数，也应当分类讨论，已知角是锐角时，答案是两种，已知角是直角或者是钝角，只有一种情况，即是已知角为等腰三角形的顶角，其余两个角都是底角.常考类型剖析类型一三角形中位线的有关计算例1已知△ABC的各边长度分别为3cm,4cm,5cm，则连接各边中点的三角形的周长为（）

A.2cm

B.7cm

C.5cm

D.6cmD

【解析】如解图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，则DE=

AC，DF=

BC，EF=

AB，∴△DEF的周长=

DE+DF+EF

=

(AC+BC+AB)=6cm.【方法指导】在解决三角形中位线的有关计算时，一般先根据中点得到三角形的中位线，然后根据中位线的性质可得到线段之间的位置关系和数量关系，从而可求解有关的角度问题和线段长度问题，有时还会与垂线、角平分线等的性质结合求线段长度或角度.

拓展题1(’14泸州)如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为()A.30°B.60°C.120°D.150°C【解析】由等边△ABC得∠C=60°，由三角形中位线的性质得DE∥BC，∴∠DEC=180°-∠C=180°-60°=120°.类型二等腰三角形性质的有关计算例2已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝

BC，则△ABC底角的度数为_______________.45°或75°或15°【解析】本题应分情况讨论：如解图①，AB=AC,∵AD⊥BC,∴BD=CD=BC,∠ADB=90°，∵AD=BC,∴AD=BD,∴∠B=45°，即此时△ABC底角的度数为45°；如解图②，AC=BC,∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°，∵AD=BC,∴AD=AC,∴∠C=30°，∴∠CAB=∠B=75°，即此时△ABC底角的度数为75°；如解图③，AD⊥BC,AD=BC=AC,∴∠ACD=30°，∴∠ACB=150°，∴∠CAB=∠CBA=15°，∴此时△ABC底角的度数为15°；综上，△ABC底角的度数为45°或75°或15°.【方法指导】涉及等腰三角形的边、角问题时，常常分情况讨论：（1）对于解决已知某条边求另外两条边或周长的问题时，要分这条边是底边还是腰，同时在确定底边和腰后，要根据三角形的三边关系判断能否构成三角形；（2）对于解决已知某角求另外两角度数的问题时，要分所给角是底角还是顶角，看顶角是锐角、钝角，还是直角，同时在确定角后注意：三角形的内角和等于180°.

拓展题2已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为_____.7或8【解析】因为等腰三角形的两边分别为2和3，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论：当2为底时，三角形的三边为3，2，3可以构成三角形，周长为8；当3为底时，三角形的三边为3，2，2可以构成三角形，周长为7.类型三等腰三角形的判定例3如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，则图中的等腰三角形有()A.5个B.4个

C.3个D.2个A【解析】①∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；②∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；③∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)=72°，又∵BD是∠ABC的角平分线，∠ABD=，∴△ABD是等腰三角形；④由③可知∠ABC=∠ACB=72°，BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBC=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°-∠ACB-∠DBC=180°-72°-36°＝72°,∴∠BDC=∠ACB,∴BD=BC,∴△BCD是等腰三角形；⑤由④得∠BDC=72°，由③得∠ACB=72°，CE是∠BCD的角平分线，∴∠DCE=∠BCD＝36°，∴∠DEC=180°-∠DCE-∠BDC=180°-36°-72°＝72°，∴∠DEC=∠EDC,∴CE=CD,∴△CDE是等腰三角形.【方法指导】有关等腰三角形的判定常用的方法为：（1）直接证明三角形的两边相等，可以通过直接计算或者等量代换求得两边的数量关系，从而判定等腰三角形；（2）通过求三角形的两个内角相等，利用等角对等边即可得到三角形的两边相等，从而判定等腰三角形.类型四直角三角形性质的有关计算例4在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，则AC上的中线长为_____.5

【解析】如解图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=