浙江省浙南名校联盟2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷

浙江省浙南名校联盟2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷一、单选题1．已知复数z满足z−2i=1−iA．1 B．i C．−i D．−12．在△ABC中，已知命题p：△ABC为钝角三角形，命题q：A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．用半径为3cm，圆心角为2π3A．1cm B．22cm C．2cm4．在△ABC中，AB=7，BC=8，A．3 B．5 C．3或5 D．以上都不对5．设m，n是不同的直线，a，A．m⊥n，n//α，则m⊥α C．m⊥α，α⊥β，则m//β 6．若sin(α+π6A．725 B．2425 C．−77．记a=0.A．a>b>c B．b>c>a C．a>c>b D．c>a>b8．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l米．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为m=0.A．8110 B．27210 C．27二、多选题9．如图，正方体ABCD−A1B1C1DA．CQ与BN为异面直线B．CQ⊥C．直线BN与平面ABCD所成角为30°D．三棱锥Q−NBC的体积为210．已知e1，e2是平面单位向量，且e1A．〈e1，C．a=2311．已知函数f(A．若ω=2且f(x)图象关于直线B．若ω=2且f(x)图像关于点C．若φ=π4且f(x)D．若φ=π4且f(x)在12．在锐角△ABC中，已知AB=4，AC=3，D为边BC上的点，∠BAD=∠CAD，则线段A．6 B．7 C．3.3 D．2三、填空题13．已知复数z1=3+i，z2=−1+3i（i为虚数单位）在复平面上对应的点分别为Z1，Z14．已知直三棱柱ABC−A1B1C1的高为4，15．已知△ABC满足AB⋅AC=(AB16．已知正△ABC边长为1，点D满足BD=2DC，P为直线AD上的动点，设BA在BP的投影向量为mBP|BP四、解答题17．已知复数z=1+bi（b∈R，i为虚数单位），z在复平面上对应的点在第四象限，且满足|z（1）求实数b的值；（2）若复数z是关于x的方程px2+2x+q=0（p≠0，且p18．在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，E和F分别为PD和BC的中点．（1）证明：EF//平面PAB；（2）求二面角F−ED−A的余弦值．19．在△ABC中，已知B=π2，AC=2，BD为边（1）求y=f(A)（2）若不等式mf(20．如图，在△ABC中，D是线段BC上的点，且DC=2BD，O是线段AD的中点延长BO交AC于E点，设（1）求λ+μ的值；（2）若△ABC为边长等于2的正三角形，求OE⋅21．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(sinC，cosC（1）求角C的值；（2）若a=2，求△ABC周长的取值范围．22．已知函数f(x)（1）a=1时，求函数f(（2）已知存在三个不相等的实数α，β，γ，使得

答案解析部分1．【答案】A【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算【解析】【解答】z=2i+1−i故答案为：A

【分析】利用已知条件结合复数的混合运算法则，进而得出复数z，再结合复数的虚部的定义，进而得出复数z的虚部。2．【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】命题q：AB⋅BC>0，可得−cacosB>0，cosB<0命题p：△ABC为钝角三角形，钝角三角形不一定是B为钝角，则p无法推出q，故p是q的必要不充分条件.故答案为：B.

【分析】根据题意对命题q向量数量积进行化简，进而判断出p是q的必要不充分条件。3．【答案】B【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）【解析】【解答】设圆锥的底面半径为rcm，由题意底面圆的周长即扇形的弧长，可得2πr=2π3所以圆锥的高ℎ=3故答案为：B

【分析】设圆锥的底面半径为rcm，由题意知底面圆的周长就是扇形的弧长，再结合圆的周长公式和扇形弧长公式得出底面圆的半径，再根据勾股定理得出圆锥的高。4．【答案】C【知识点】余弦定理【解析】【解答】根据余弦定理可知，AB则49=AC2+64−2AC⋅8⋅解得：AC=3或AC=5故答案为：C

【分析】利用已知条件结合余弦定理得出AC的长。5．【答案】D【知识点】命题的真假判断与应用；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定6．【答案】C【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式【解析】【解答】∵cos∴sin故答案为：C.

【分析】根据题意由二倍角的余弦公式，代入数值计算出cos(2α+7．【答案】C【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】【解答】a=0.20c=(0.2>28>0.01故答案为：C

【分析】将式子整理成同一结构，利用函数单调性比较大小得出答案。8．【答案】A【知识点】函数最值的应用【解析】【解答】如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB.设∠BAQ=θ，(0<θ<π过A作AC垂直内侧墙壁于C，B作BD垂直内侧墙壁于D，则AC=BD=3，在直角三角形ACP中，sin∠CPA=sinθ=同理：BP=BD所以AB=AP+BP=3因为AB=3sinθ+3所以AB≥62因为走廊的宽度与高度都是3米，所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为l=A所以m=0.故答案为：A

【分析】先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB，设∠BAQ=θ，(0<θ<π2)，则∠ABQ=π29．【答案】A,B【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角【解析】【解答】对A，由图可得，C，Q，B共面，且N不在平面内，则对B，由正方体性质可得C1D1⊥平面BCC1B对C，由ND⊥平面ABCD可得直线BN与平面ABCD所成角为∠NBD，又AB=AD=2，则BD=22故tan∠NBD=12对D，VQ−NBC故答案为：AB

【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征和中点的性质，再结合异面直线的判断方法、线线垂直的判断方法、线面角的求解方法、三棱锥的体积公式，进而找出结论正确的选项。10．【答案】B,C,D【知识点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】因为e1，e所以e1因为〈e1，因为a⋅e1=a设a=m因为a⋅e1=a所以a=因为|e所以|a故答案为：BCD.

【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模和夹角的方法、数量积为0两向量垂直的等价关系、平面向量基本定理，进而找出正确的选项。11．【答案】A,C,D【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；正弦函数的零点与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质【解析】【解答】对于A项，ω=2且f(x)有2×π6+φ=π2对于B项，ω=2且f(x)有2×4π3+φ=kπ⇒φ=kπ−8π3对于C项，φ=π4且f(x)所以π4对于D项，φ=π4且f(x)在[故答案为：ACD

【分析】利用已知条件结合ω的值和正弦型函数的图象的对称性，进而得出φ的值，再利用φ的值和正弦型函数的图象判断单调性的方法，所以得出函数的最值，从而得出ω取值范围，则得出ω的最值，进而找出说法正确的选项。12．【答案】A,B【知识点】三角形中的几何计算【解析】【解答】AB=4，AC=3，设AD=x，BC=a，且ABAC=BDDC根据S△ABD+S得x=247cosθ，角C为锐角三角形，则△ABC中，a2+9−16>09+16−△ADC中，9+(37a)综上可知，122故答案为：AB

【分析】AB=4，AC=3，设AD=x，BC=a，所以BD=47a，DC=37a，根据S△ABD+SADC=SABC13．【答案】5【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；复数的代数表示法及其几何意义；三角形中的几何计算【解析】【解答】因为复数z1=3+i，z2=−1+3i（i为虚数单位）在复平面上对应的点分别为所以Z1(3，所以OZ1=(3，1)，OZ2所以OZ1⊥故答案为：5

【分析】利用已知条件结合复数的几何意义和向量求模公式，从而结合数量积为0两向量垂直的等价关系，进而判断出OZ1⊥14．【答案】8【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体【解析】【解答】因为AB=AC=2，∠BAC=90°，所以BC=A设△ABC外接圆的半径为r，则2r=BC又直三棱柱ABC−A1B1C1的高则(2R)2=ℎ2+所以外接球的体积V=4π故答案为：8

【分析】利用AB=AC=2，∠BAC=90°结合勾股定理得出BC的长，再结合正弦定理的变形得出△ABC外接圆的直径，再根据直三棱柱ABC−A1B1C1的高15．【答案】2【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的运算；余弦定理【解析】【解答】由条件可知，AB⋅设AB=c，则bccosA=b则2b2−2cosC=a2所以cosC的最小值是2故答案为：2

【分析】利用已知条件结合平行四边形法则和三角形法则，从而结合数量积的运算法则和余弦定理以及均值不等式求最值的方法，进而得出cosC16．【答案】(−【知识点】二次函数在闭区间上的最值；向量的共线定理；向量的投影【解析】【解答】如图，以BC所在直线为x轴，以线段BC中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，32)，B(−因为点D满足BD=2DC，所以D是线段BC上靠近C的三等分点，则又因为P为直线AD上的动点，设AP=tAD=t(16，−BA在BP的投影向量为BA⋅BP|BP|⋅BP|BP|.而由已知得当3−2t>0时，m=1设x=13−2t(因为x=13时，所以当x=13时m取到最大值1，所以当3−2t<0时，m=−1设x=13−2t(因为x∈(−∞，所以y∈(74，+∞)，所以在当3−2t=0时，m=0；综上所述，−2故答案为：(−

【分析】以BC所在直线为x轴，以线段BC中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量共线定理和等分点的求解方法得出点D的坐标，再利用向量共线的坐标表示得出点P的坐标，再根据向量的坐标表示和数量积求投影向量的方法得出BA在BP的投影向量，而由已知得BA在BP的投影向量为mBP|BP|，所以17．【答案】（1）解：∵z在复平面上对应的点在第四象限，∴b<0，∵|z|=2，∴1+b（2）解：（法一）由题可知，z=1−3∴z+z=2=−2∴p+q=−5；（法二）将x=1−3i代入方程可得∴−2p+2+q=0−23p−2∴p+q=−5.【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；复数的代数表示法及其几何意义；复数求模【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的几何意义得出复数z对应的点的坐标，再结合点的坐标确定象限的方法和复数求模公式，进而得出实数b的值。

（2）（法一）由题可知，z=1−3（法二）将x=1−3i代入方程可得18．【答案】（1）证明：取PA的中点M，连接ME，∵M，E分别为PA，∴ME是△PAD的中位线，∴ME//AD且又F为BC的中点，∴BF//AD且∴ME//BF且∴四边形MBFE是平行四边形，∴EF//MB，EF⊄平面PAB，∴EF//平面PAB（2）解：取AD，DE的中点N，G，连接设PA=AB=4，∴△DEF为等腰三角形，∴FG⊥DE，∵PA=AB，∴AE⊥PD即NG⊥DE，又∵FG⊂平面FED，NG⊂平面AED，平面FED∩平面AED=DE，∴∠FGN即为二面角F−ED−A的平面角，∴cos∠FGN=∴二面角F−ED−A的平面角的余弦值为13【知识点】直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法【解析】【分析】（1）取PA的中点M，连接ME，MB，利用M，E分别为PA，PD的中点结合中点作中位线的方法得出ME是△PAD的中位线，再结合中位线的性质和平行四边形的定义，进而判断出四边形MBFE是平行四边形，所以EF//MB，再根据线线平行证出线面平行，从而证出直线EF//平面PAB。

（2）取AD，DE的中点N，G，连接NG，FG，设PA=AB=4，DF=EF=2519．【答案】（1）解：由已知可得：AB=2cos∵BD⊥AC，∴BD=AB⋅sin∴f=sin∵0<A<π2，∴−π4∴0<f(A)≤2+1，即f(A)的取值范围为（2）解：由（1）知：f(∴m≥f记u=f(A设u1，u则t1因为u1，u2∈因为u1<u2，所以u1−u∴当u=2+2，即f(A∴m≥1+22，即实数m的取值范围为【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题【解析】【分析】利用已知条件结合三角函数的定义和BD⊥AC，再结合二倍角的正弦公式和余弦公式以及辅助角公式化简函数f(A)为正弦型函数，再利用角A的取值范围和正弦型函数的图象求值域的方法得出f(A)的取值范围。

（2）由（1）知：f(A)+1>0，所以m≥f2(A)f20．【答案】（1）解：因为O为AD的中点，DC=2BO==−又BO=λAB（2）解：法一，设AC=tAE，因为O为AD的中点，∴AO=∵B，O，E三点共线，所以13+故OE因为△ABC为边长为2的正三角形故OE==（法二）设ACOE=−又由（1）知BO=−23BO与OE为非零的共线向量，所以1t−∴OE因为△ABC为边长为2的正三角形故OE==1【知识点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的含义与物理意义【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点的性质和向量共线定理、三角形法则和平面向量基本定理，进而得出λ，μ的值，从而得出λ+μ的值。

（2）法一，设AC=tAE，再利用O为AD的中点，DC=2BD结合向量共线定理和三角形法则以及平面向量基本定理，则AO→=1（法二）设AC=tAE结合三角形法则、共线定理和平面向量基本定理得出

OE→=−13AB→+(1t△ABC为边长为2的正三角形结合数量积的定义得出OE→21．【答案】（1）解：m⋅（法一）2asinC−(ccos∴2asinC−a=0，则sinC=12（法二）则2sinCsin∴sinC=12，且△ABC（2）解：b=asinB由于△ABC为锐角三角形，则A∈(0，π2)，且（法一）周长l=a+b+c=2+=2+3+2cos∴1tanA2∈(（法二）由上b∈(3，4周长l=a+b+c=(记f(b)=(∴△ABC的周长l的取值范围为(3+【知识点】函数的值域；数量积的坐标表达式；两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积的坐标表示结合余弦定理和三角形中角的取值范围或两角和的正弦公式以及三角形内角和定理和诱导公式、三角形中角的取值范围，进而得出角C的值。

（2）利用已知条件结合正弦定理和两角差的正弦公式得出b=3+cosAsin（法一）利用三角形的周长公式和二倍角的正弦公式和余弦公式、同角三角函数基本关系式，进而得出三角形周长l=2+3+1（法二）由b∈(3，433)结合余弦定理和三角形的周长公式得出三角形周长22．【答案】（1）解：当a=1时，解不等式ax2−3x+2≤0当x∈[1，2]当x∈(f(x)此时f(x)在(−∞综上f(x)（2）解：由题意，可得函数f(①当a=0时，f(x)=x+2+|−3x+2|=−2x+4f(x)在(−∞此时不存在α，②当a>0时，i）Δ=9−8a≤0，即a≥98时，则f(x)=2ax此时也不存在α，ⅱ）Δ=9−8a>0，即0<a<98时，记ax则f(x)=2a在(−∞，min{1此时也不存在α，③当a<0时，方程axx1=3+则f(x)=4x结合x1<32a<在(12a，此时存在α，记f(α)=f(β)=f(γ)=k，则有f(x此时β∈(1若α≤x1，则4α=f(α)则α，β为2axα+β+γ=1a+1a1a所以α+β+γ的取值范围为(−∞【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最值及其几何意义；一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】【分析】（1）结合绝对值分类讨论，再由二次函数的开口方向和对称性，进而判断出函数的单调性，从而得出函数的单调递增区间。

（2）由题意，可得函数f(x)至少有三个单调区间，①当a=0时结合绝对值的定义得出分段函数f(x)=x+2+|−3x+2|的解析式，再利用分段函数的图象判断出分段函数f(x)在②当a>0时，利用分类讨论的方法结合判别式法得出实数a的取值范围，再结合不等式恒成立问题求解方法和二次函数的单调性得出此时也不存在α，③当a<0时，方程ax2−3x+2=0必有两根，再结合求根公式和x1<32a<0<x2，则f(x)=4x，x≤x1或x≥x22ax2−2x+4，x1<x<x2，结合x1<32a<

试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：40分分值分布客观题（占比）25.0(62.5%)主观题（占比）15.0(37.5%)题量分布客观题（占比）13(59.1%)主观题（占比）9(40.9%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）填空题4(18.2%)4.0(10.0%)解答题6(27.3%)12.0(30.0%)多选题4(18.2%)8.0(20.0%)单选题8(36.4%)16.0(40.0%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(59.1%)2容易(22.7%)3困难(18.2%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号1直线与平面所成的角2.0(5.0%)92复数代数形式的混合运算2.0(5.0%)13一元二次方程的解集及其根与系数的关系4.0(10.0%)17,224幂函数的单调性、奇偶性及其应用2.0(5.0%)75两角和与差的正弦公式2.0(5.0%)216数量积的坐标表达式2.0(5.0%)217复数的基本概念2.0(5.0%)18正弦定理2.0(5.0%)219数量积判断两个平面向量的垂直关系3.0(7.5%)10,1310两角和与差的余弦公式2.0(5.0%)611函数的最值及其几何意义4.0(10.0%)1