内蒙古赤峰市红山区赤峰第四中学2023-2024学年高二上学期12月月考试数学试题

赤峰四中2023-2024学年第一学期月考试卷高二数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.与直线平行且过点的直线方程是（）A. B. C. D.2.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.3.已知圆，圆，则与的位置关系是（）A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断4.双曲线的一个顶点为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线方程是（）A. B. C. D.5.椭圆与直线交于，两点，点为线段的中点，则直线的方程是（）A. B. C. D.6.三棱锥，平面，，且，则三棱锥的外接球表面积是（）A. B. C. D.7.若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率（）A. B. C. D.8.已知点，分别是双曲线的左右焦点，为坐标原点，点在双曲线右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若直线与圆有公共点，则实数的取值可能是（）A.0 B.1 C.2 D.310.方程，则下列说法正确的是（）A.当时，方程表示椭圆B.当时，方程表示焦点在轴上的双曲线C.当时，方程表示圆D.当或时，方程表示双曲线11.已知正方体，且棱长为1，下列结论中正确的是（）A.直线与直线所成角为90°B.直线垂直于平面C.点到平面的距离为D.为的中点，则点到直线的距离为112.已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率分别为和，则下列叙述正确的是（）A.是定值 B.是定值C.是定值 D.是定值三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.两直线，若的倾斜角是30°，则的斜率是___________.14.设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于，两点，又知点恰好为的中点，则_____________.15.已知椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则椭圆的方程为__________，若在第一象限且，则的面积为___________.16.已知椭圆过点，为其左顶点，且的斜率为，若为椭圆上任意一点，求的面积的最大值____________.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）在中，（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值.18.（12分）已知点，点，动点的满足.（1）若点的轨迹为曲线，求此曲线的方程；（2）过点向曲线做切线，求切线方程.19.（12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，、、分别是、、的中点.（1）证明：平面.（2）求二面角的正弦值.20.（12分）已知双曲线过点，且与椭圆有相同的焦点.（1）求双曲线的标准方程（2）若点在双曲线上，，为双曲线的左右焦点，且，试判断的形状.21.（12分）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，，是底面的内接正三角形，为上一点..（1）证明：平面（2）求直线与平面所成角的正弦值.22.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点.（1）求的方程；（2）设过点的直线交于，两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足证明：直线过定点.

赤峰四中2023-2024学年第一学期第二次月考答案一、单项选择题：1.C2.D3.A4.B5.B6.A7.C8.D二、多项选择题：9.ABCD10.BCD11.AB12.ABD三、填空题：13. 14.8 15. 16.18四、解答题：17.（1）120° （2）解析：（1）由正弦定理和已知条件得.①由余弦定理得.②由①②得.因为，所以.（2）由正弦定理及（1）得，从而，.故.又，所以当时，周长取得最大值.18.（1） （2）或19.解：（1）证明：如图，连接，.因为，分别为，的中点，所以，且.又因为为的中点，所以.由题设知，可得，故，因此四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）由已知可得，以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，.设为平面的法向量，则，所以，可取.设为平面的法向量，则，所以，可取.于是，，所以二面角的正弦值为.20.解：（1）椭圆的标准方程为，焦点在轴上，且，故设双曲线的方程为（，），则有，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）不妨设点在双曲线的右支上，则有，又，故解得，.又，因此在中，边最长，因为,所以为钝角，故为钝角三角形.21.解：（1）设，由题设可得，，，.因此，从而.又，故.又，，平面，所以平面.（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系.由题设可得，，，.所以，.设是平面的法向量，则，即可取.由（1）知是平面的一个法向量，直线与平面所成角的正弦值为.22.（1）过，所以可设椭圆的方程为，