2024届一轮复习人教A版 直线与平面的夹角 作业

2024届一轮复习人教A版直线与平面的夹角作业一、选择题1．（2023·山东省济南市莱芜第一中学高三月考）在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为则令可得，所以设直线与平面所成角为，，选：B2.（2023全国高三课时练）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为(A.5π12 B.π3 C.π【答案】B【解析】如图所示,由棱柱体积为94,底面正三角形的边长为3,可求得棱柱的高为3.设P在平面ABC上射影为O,则可求得AO长为1,故AP长为12+(3)2=2.故∠PAO=π3．（2023山东泰安实验中学高三月考）在所有棱长都相等的直三棱柱中，、分别为棱、的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设正三棱柱的所有边长均为，取的中点，连接，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则点、、、、，，，，设平面的法向量为，由，得，取，则，，，设直线与平面所成角为，则，则.4.（2023福建莆田一中高三月考）如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ABB1⊥BC,且A1C与底面成45°角,AB=BC=2,则该棱柱体积的最小值为()A.43 B.33 C.4 D.3【答案】C【解析】由已知得BC⊥AB,平面A1ABB1⊥平面ABC且交线为AB,故点A1在平面ABC上的射影D在AB上.由A1C与底面成45°角得A1D=DC,当CD最小即CD=BC时A1D最小,此时Vmin=12·AB·BC·A1D=12×2×2×2=5.（多选题）（2023山东章丘四中高三月考）如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为（）A．三棱锥的体积为定值B．异面直线与所成的角为C．平面D．直线与平面所成的角为【答案】AD【解析】对于A，故三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B，，和所成的角为，异面直线与所成的角为，故B错误；对于C，若平面，则直线，即异面直线与所成的角为，故C错误；对于D，以为坐标原点，以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，设平面的法向量为则，即，令，则，所以直线与平面所成的角为，正确，故选：AD6．（多选题）（2023山西师大附中高三月考）把正方形沿对角线折成直二面角，则下列四个结论中正确的结论是（）A． B．是等边三角形C．与平面成角 D．与所成角为【答案】AB【解析】A项：取的中点，则，．面．，故A正确．B项：，取的中点，连接，，．是正方形，，，为二面角的平面角，．所以是正三角形，故B正确；C项：由，知，平面，为与面所成的角为，故C错误．D项：以为坐标原点，､､分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，．，．，所以，故D错误．故选：AB．二、填空题7．（2023浙江省宁波市鄞州中学高三期中）正方体中，分别是的中点，则与直线所成角的大小为______；与对角面所成角的正弦值是__________．【答案】；【解析】如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，则，，，，故，.故，故与直线所成角的大小为.易知对角面的一个法向量为，设与对角面所成角为，故.8.（2023全国高三课时练）如图,圆锥的高PO=2,底面☉O的直径AB=2,C是圆上一点,且∠CAB=30°,D为AC的中点,则直线OC和平面PAC所成角的余弦值为.

【答案】73【解析】设点O到平面PAC的距离为d,设直线OC和平面PAC所成角为α,则由等体积法得,VO-PAC=VP-OAC,即13S△PAC·d=13|PO|·S△OAC,∴d=∴sinα=d|CO|=239．（2023大埔县虎山中学高三期中）如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_____．【答案】4【解析】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，故，，，设平面的一个法向量为，则，可取，故，又直线与平面所成角的正弦值为，，解得．10．（2023·福建莆田一中高三月考）正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为___________.【答案】2.【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，，又，得即；又平面，为与平面所成角，令，当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2.三、解答题11.（2023浙江衢州高三期中）四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角正弦值.【解析】（1）证明：因为，为线段的中点，所以，在等腰梯形中，作于，则由得，所以，所以，因为，所以所以∽,所以，所以，所以，因为，，所以平面，因为在平面内，所以，因为，在平面内，所以平面；（2）解：因为，，所以，,取的中点，连接，则，因为平面，所以，又所以平面，所以如图，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，则，由（1）知平面，则平面的法向量，设直线与平面所成角为，则,所以直线与平面所成角的正弦值为12.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,在侧棱CC1上求一点P,使得直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为32.【解析】如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设CP=m(m>0),则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),所以BD=(-1,-1,0),BB1=(0,0,1),AP=(-1,1