24.4弧长和扇形面积

24.4弧长和扇形面积考点一．弧长公式半径为R，圆心角为n°的弧长为.考点二．扇形及扇形面积公式（1）由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形.（2）半径为R，圆心角为n°的扇形面积为；半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为.考点三．圆锥与其侧面展开图圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线．圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，弧长等于圆锥底面圆的周长.考点四．圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长（底面圆的周长）为，因此圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为.题型一：弧长公式求扇形的弧长、半径或圆心角1．（2023春·辽宁盘锦·九年级校考）如图，在中，，，，以点C为圆心，的长为径画弧，交干点D，则弧的长为（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】如图（见解析），先根据含30度角的直角三角形的性质可得，，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后利用弧长公式计算即可得．【详解】解：如图，连接，∵在中，，，，，，由作图可知，，是等边三角形，，则弧的长为，故选：B．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式，熟记弧长公式是解题关键．2．（2023·内蒙古赤峰·统考三模）已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据弧长求得半径，然后由扇形的圆心角和半径长，直接根据扇形的面积公式求解．【详解】解：∵扇形的圆心角为，弧长为，∴,∴,∴扇形的面积是，故选：A．【点睛】本题考查了弧长公式与扇形面积公式，熟练掌握弧长公式与扇形面积公式是解题的关键．3．（2023·吉林·统考一模）图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（

）A．． B．． C．． D．．【答案】D【分析】根据题意的长就是边的长，由弧长公式即可求解．【详解】解：设，，，解得：，圆心角的度数为：故选：D．题型二：扇形面积公式4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，若，，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．π【答案】A【分析】连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解：连接，，∵为的直径，∴，∵，∴，即点E是的中点，∵点O是的中点，∴是的中位线，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选：A．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，以点A为圆心、2为半径的与相切于点D，交于E，交于F，点P是上的一点，且，则图中阴影部分的面积是（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，连接，由题意知，，，由，可得，根据，计算求解即可．【详解】解：如图，连接，由题意知，，，∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质，扇形的面积，圆周角定理．解题的关键在于正确的表示阴影部分的面积．6．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）如图，是等边三角形，是边上的中线，以点为圆心，长为半径画弧分别交，于点，，过点作于点，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等边三角形的性质得，，再利用是边上的中线得到，，，则，易证得是等边三角形，是等边三角形重心，然后根据扇形面积公式，用一个扇形的面积减去的面积可得到图中阴影部分的面积．【详解】解：为等边三角形，，，是边上的中线，，，，，，是等边三角形，于点，是的角平分线，，是是重心，，图中阴影部分的面积．故选：A．题型三：圆锥的侧面积和表面积7．（2023春·山东济宁·九年级统考期中）如图，一个圆雉的母线长为，底面圆的直径为，那么这个圆雉的侧面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆锥的侧面积公式，即可求解．【详解】解：依题意，圆锥的侧面积为，故选：A．【点睛】本题考查了求圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．8．（2023秋·广西柳州·九年级统考期末）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的侧面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆锥的侧面展开图是半圆，半径为8，运用圆的面积公式计算即得圆锥的侧面积．【详解】∵圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，∴圆锥的侧面积是，．故选：C．【点睛】本题主要考查了圆的面积，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键．本题也可以求出侧面展开图弧长，运用“扇形的面积等于扇形半径与弧长乘积的一半”解答，方法不唯一．9．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，将这个三角形绕着最短的边所在直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】绕着最短的边即直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是4，高是3，母线为5，然后利用圆锥的侧面积（为底面圆周长）计算即可．【详解】解：绕着最短的边即直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是4，高是3，母线为5，∴侧面积为：，故选：C题型四：求圆周侧面展开后的圆心角或者最短路径问题10．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为的圆锥体，则该扇形的圆心角得大小为（

）A．90° B．120° C．150° D．180°【答案】D【分析】根据圆锥侧面积计算公式进行求解即可．【详解】解：设圆锥的母线长为l，∴，∴，∵，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数，熟知圆锥侧面积公式和弧长公式是解题的关键．11．（2023秋·全国·九年级专题练习）今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长为12cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（

）A． B．48cm C． D．20cm【答案】D【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点C为的中点，∵，，∴装饰带的长度，故选：D．【点睛】本题主要考查了平面展开−最短路线问题，以及学生的立体思维能力．解题关键是圆柱的侧面展开图是长方形．12．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（）A．3 B．4 C． D．2【答案】B【分析】易得弧BC的长，然后求得弧BC所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定理求得CD的长即可．【详解】解：如图:∵，∴设弧所对的圆心角的度数为n，∴，解得，∴，∴．故选：B．题型五：求图像旋转后扫过的面积问题13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，将绕点C旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（

）A． B． C． D．上答案都不对【答案】B【分析】根据割补法可知阴影部分的面积即为扇形和扇形的差，然后根据扇形面积公式可进行求解．【详解】解：根据旋转的性质可得，∵，∴，由旋转的性质可知，则阴影部分的面积即为扇形和扇形的差，∴线段扫过的图形面积为；故选B．【点睛】本题主要考查扇形的面积公式及旋转的性质，熟练掌握扇形的面积公式及旋转的性质是解题的关键．14．（2022秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习）如图，是等腰直角三角形，，，把绕点A沿顺时针方向旋转45°后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过的部分（阴影部分）的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据等腰直角三角形的性质得到，，再根据旋转的性质得，则点、C、A共线，利用线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积进行计算即可．【详解】解：∵是等腰直角三角形，∴，，∵绕点A按顺时针方向旋转45°后得到，∴，∴点B′、C、A共线，∴线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积．故选：A．【点睛】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．15．（2022·宁夏吴忠·校考一模）如图，在中，已知，把以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至边延长线上的处，那么边转过的图形（图中阴影部分）面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据旋转变换的性质可得与全等，从而得到阴影部分的面积＝扇形的面积−小扇形的面积．【详解】解：根据旋转变换的性质，，∵，，，∴，∴，故D正确．故选：D．题型六：求弓形面积16．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，求得，得到，因为，根据，于是得到问题的答案．【详解】解：连接，∵是的直径，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．17．（2023·云南昭通·统考一模）如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，首先证明是等边三角形，证明，求出即可解决问题．【详解】解：如图，连接．∵，∴，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．18．（2023秋·河北廊坊·九年级校考期末）如图，△ABC内接于⊙O，若，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆周角定理，扇形面积公式和三角形面积公式解答．【详解】解：∵，∴，∴阴影部分的面积．故选：C．题型七：弧长和扇形面积综合19．（2023秋·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校联考阶段练习）如图，以的边为直径作交边于点D，恰有．(1)求证：与相切；(2)在上取点E，使得，若，，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据直径所对的圆心角等于，可得，再利用，可得，即可证明；（2）连接，直线与的交点记为，证明为等边三角形，求出，证明，则可得与的面积相等，根据扇形面积公式计算即可解答．【详解】（1）证明：为直径，，，，，即，与相切；（2）解：如图，连接，直线与的交点记为，，，，，，，，，，，为等边三角形，根据三线合一，可得，，阴影部分面积等于扇形的面积为．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形的面积计算，垂径定理，等边三角形的判定和性质，作出辅助线，得到与的面积相等是解题的关键．20．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知为的直径，C为上一点，D为的延长线上一点，连接．(1)如图1，E为上一点，若，且，求证：与相切；(2)如图2，与相交于点F，若，，，求、、弧围成的图形的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由，得，而，则，即可证明与相切；（2）连接，则，由，，得，，则是等边三角形，可证明，所以，由勾股定理得，则，，而，即可求得、、弧围成的图形的面积．【详解】（1）证明：如图1，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵是的半径，且，∴与相切；（2）解：如图2，连接，则，∵，∴，∵，∴，，∴是等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，设、、弧围成的图形的面积为S，∵，∴，∴、、弧围成的图形的面积为．【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的面积公式等知识，此题涉及的知识点较多，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．21．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是等边内的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段和扇形，连接、、．(1)若，求阴影部分的面积；（结果保留根号和）(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用扇形面积公式和三角形面积公式求得即可；（2）由证可得，证为等边三角形，则，继而得出答案．【详解】（1）解：，，是等边三角形，，；（2）是等边三角形，，，线段绕点顺时针旋转，得到线段，，，，，在和中，，，，，，为等边三角形，，．一、单选题22．（2023秋·北京海淀·九年级清华附中校考阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解．【详解】解：连接，∵四边形是的内接四边形，，∴，∵，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形，圆周角定理，三角形的内角和，弧长公式，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的内角和为，弧长．23．（2023秋·云南红河·九年级统考期末）若圆锥的底面半径长为，母线长为，则圆锥的侧面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆锥侧面扇形弧长等于底面圆周长，结合即可得到答案；【详解】解：由题意可得，，∴，故选：B；【点睛】本题考查圆锥展开图侧面扇形弧长等于底面圆周长及扇形面积，解题的关键熟练掌握．24．（2023秋·全国·九年级专题练习）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据即可求解．【详解】解：根据题意可得：∵，，，∴，，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了求扇形面积，解题的关键是掌握扇形面积公式．25．（2023春·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，在中，，，D是边上的一点，以为直径的交边于点E，若，则的长为（）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】B【分析】连接，根据，，得，再根据圆周角定理得，即可求出答案．【详解】解：如图，连接，∵，，∴，∴，∵，∴，∴的长为．故选：B．【点睛】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练记住弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）是关键．26．（2023秋·九年级课时练习）如图①，已知圆锥的母线长，若以顶点为中心，将此圆锥按图②放置在平面上逆时针滚动3圈后所形成的扇形的圆心角．(1)求圆锥的底面半径；(2)求圆锥的全面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据圆锥底面圆周长的3倍＝扇形的弧长，构建方程求解即可．（2）根据表面积＝底面积＋侧面积，计算即可．【详解】（1）由题意得：，∴cm．（2）圆锥的全面积．【点睛】本题考查圆锥的计算，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．27．（2023春·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）如图，半圆的直径，圆心为点．点在上，四边形是平行四边形，顶点在半圆上．，垂足为，．(1)求证：是的切线；(2)求的长及图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据平行四边形的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到四边形是矩形，求得，于是得到结论；（2）由（1）知，四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）解：证明：连接，四边形是平行四边形，，，，，四边形是平行四边形，，，四边形是矩形，，是的半径，是的切线；（2）由（1）知，四边形是矩形，，，，，图中阴影部分的面积．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．28．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，过点作于点，根据等腰三角形的性质得为的平分线，再根据与相切于点，是的直径得，进而根据切线的判定可得到结论；（2）过点作于点，先证得到，进而得到，再证得到，然而在中利用三角函数可求出，进而得为等边三角形，据此得，，则，最后得到弧长公式即可得到答案．【详解】（1）证明：连接，过点作于点，，是的中点，为的平分线，与相切于点，是的直径，为的半径，，又，，即为的半径，是的切线；（2）解：过点作于点，点为的圆心，，在和中，，，，，，，，是的中点，，又，，，，在和中，，，，在中，，，，，，又，为等边三角形，，，．一、单选题29．（2023秋·九年级课时练习）如图，在中，，，则的长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由所对的圆周角，可求得所对的圆心角，再根据弧长公式计算即可得出答案．【详解】解：，又，由弧长公式得的长，故选：A．【点睛】本题考查了求弧的长度，熟练掌握弧长的计算公式是解题关键．30．（2023秋·九年级课时练习）已知扇形的圆心角小于90度，如果将这个扇形的圆心角度数扩大为原来的两倍，半径也扩大为原来的两倍，那么下列说法正确的是（）A．扇形的周长扩大为原来的4倍 B．弧长扩大为原来的4倍C．扇形的面积扩大为原来的4倍 D．弧长和扇形的面积都扩大为原来的4倍【答案】B【分析】根据题意可以分别表示出原来和后来扇形的面积或周长，从而可以计算出这个扇形的面积或周长扩大的倍数．【详解】解∶设原来扇形的圆心角为n，半径为r，则原来扇形的面积为∶；弧长为，周长为，后来扇形的面积为∶，弧长为，周长为，∴，，扇形的面积扩大为原来的8倍，弧长扩大为原来的4倍，周长没有扩大4倍，故选∶B．【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用扇形的面积计算公式解答．31．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，D为的中点，连接，以点D为圆心，长为半径作弧，若于点E，于点F．则图中阴影部分的周长为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，，得，又D为的中点，有，根据，，，得到四边形是矩形，从而可得，，然后得到，即得阴影部分的周长．【详解】解：在中，，，∴，∵D为的中点，∴，∵，，，∴四边形是矩形，∴，∴，，，∵，∴阴影部分的周长为，故选：C．【点睛】本题考查阴影周长，矩形的判定与性质，三角形的中位线的性质，解题的关键是掌握弧长公式，证明四边形是矩形．32．（2023·山西忻州·统考模拟预测）如图，将直径为4的半圆形分别沿，折叠使得直径两端点，的对应点都与圆心重合，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，可推出是边长为2的等边三角形，进一步可得，即可求解．【详解】解：连接，如图所示：由折叠可知：∵∴是边长为2的等边三角形∴∴∴也是边长为2的等边三角形∵∴∵∴∴∵∴故选：A【点睛】本题考查了圆中不规则图形面积的求解．得出是解题关键．33．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，是的直径，点C为上一点，将沿翻折得到的弧恰好经过圆心O，连接，若，则图中阴影部分的面积为(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积扇形的面积，然后根据题目中的数据，计算出的面积即可．【详解】解：连接，作于点D，根据对称性可知，弓形与弓形面积相等，∴阴影部分的面积的面积，根据垂径定理，∴∵，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴∵点O是的中点，∴的面积是的面积一半，∴的面积是：，即阴影部分的面积是，故选：C．

【点睛】本题考查求不规则图形的面积、垂径定理、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．34．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，点C是半直径延长线上一点，与相切于点D，E为上一点，交于G，若，的半径为2，则的长为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，由切线的性质得出，求出，由弧长公式可得出答案．【详解】解：连接，∵与相切于点D，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴的长为．故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，弧长公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键．35．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点为半上的三等分点，点是弧上的一动点，过点作交延长线于点，若直径，在点从点运动到点的过程中，则点的运动路径长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由点的运动特点可知点轨迹是以为直径圆上的弧，求出的长以及圆心角，即可求解．【详解】解：连接，，以的长为半径，的中点为圆心画圆，点为半圆上的三等分点，连接，，如图：∵点为半上的三等分点，∴，故，∴，∴，∴，当点从点运动到点的过程中，，即，∴，故点的运动轨迹是，且，在中，，∴点的运动路径长为，故答案为：B．【点睛】本题考查了点的运动轨迹，勾股定理，弧长公式，三角形内角和定理，圆周角定理，能够根据点的运动特点分析点的运动轨迹是解题的关键．二、填空题36．（2023秋·全国·九年级专题练习）一个圆锥的底面半径为，母线长为，求圆锥的高是．【答案】【分析】构造直角三角形，利用勾股定理即可求出圆锥的高．【详解】解：如图所示，在中，，故答案为：．【点睛】本题考查圆锥的高，构造直角三角形是解题的关键．37．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在等边三角形中，D为的中点，交于点E，若，则的长为．【答案】/【分析】连接，证明是直径，取的中点O，连接．证明，利用弧长公式求解即可．【详解】解：连接，∵是等边三角形，D为的中点，∴，∴是直径，取的中点O，连接．∵是等边三角形，∴，∵，∴都是等边三角形，∴，∴，∴的长，故答案为：．【点睛】本题考查了弧长公式，圆周角定理，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．38．（2023·浙江·模拟预测）已知的斜边．以A为圆心，为半径的圆A与相切．设被圆覆盖后剩余部分面积为．则的最大值为．【答案】【分析】由题意列出二次函数，利用二次函数的性质即可求解．【详解】解：如图，是圆A的切线，切点为D，则，由题意得，∵，∴当时，有最大值，最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质，二次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．39．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，在内有一个平行四边形，点，，在圆上，点为边上一动点点与点不重合，的半径为，则阴影部分面积为．【答案】/【分析】根据题意证得，即可得到，根据同底等高的三角形面积相等得出，即可得出．【详解】解：四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查的是扇形面积的计算，等边三角形的判断和性质，同底等高的三角形面积相等是解题的关键．40．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为.【答案】【分析】首先证明是等边三角形，再根据弧长公式计算即可．【详解】解：在中，∵，，，∴，由旋转的性质得，，，∴是等边三角形，∴，∴点的运动路径的长为．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转变换，含直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是证明是等边三角形．三、解答题41．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，内接于半圆O，已知AB是半圆O的直径．，平分，分别交半圆O和于点D，E，过点D作，垂足为点H，交于点F．(1)求证：；(2)连接交于点G，若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于得到，再根据垂直定义得到及角平分线即可得到即可解答；（2）根据直角三角形的性质及等边对等角即可得到再利用垂直平分线的定义及等边三角形的判定即可得到是等边三角形，最后利用弧长公式即可解答．【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径，∴，∴，∵平分,∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：如图，连接，∵，∴，∵，∴，∵，∴,∴∵∴点G是的中点，∴垂直平分，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴的长为：．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、角平分线的性质、垂径定理、圆周角定理以及弧长的计算，掌握直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键．42．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得和都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答；（2）连接交于点，利用菱形的性质可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积，进行计算即可解答．【详解】（1）证明：连接，和底边相切于点，，，，，，，和都是等边三角形，，，，四边形是菱形；（2）解：连接交于点，四边形是菱形，，，，在中，，，