平面直角坐标系

.1.2平面直角坐标系教学设计一、内容和内容解析1．内容结合丰富实例，理解平面直角坐标系及相关概念，能用平面直角坐标系解决简单问题．2．内容解析本节课突破课时的界限，从整体上把握教学要求，安排教学内容，整合“7.1平面直角坐标系”二个课时的内容，构建学科纵向整合的教学模式．教学中，采用螺旋上升的方式编排教学内容，借鉴数轴学习的一般方法，让学生体会知识之间的内在联系．因为课堂时间的局限性，平面直角坐标系的相关内容后续还需要深化学习．本节课结合学生已有的知识和经验，经历用数对表示物体位置的过程，并观察数对的特点，使学生感受有序的必要性，加深对有序的理解，进一步感受用有序数对确定平面内物体的位置，为建立平面直角坐标系以及在平面直角坐标系中利用坐标来确定一个点的位置作铺垫．“平面直角坐标系”是“数轴”的发展，使点与坐标的对应关系顺利实现了从一维到二维的过渡．“平面直角坐标系”的建立使有序数对与平面内的点产生了一一对应，提供了用代数方法来研究几何问题的重要数学工具．本节课，先在具体情境中学习用有序数对表示物体的位置，然后再介绍数轴上点与坐标的一一对应，在此基础上说明建立平面直角坐标系的必要性以及合理性，同时引入相关的概念，以及平面内点与坐标是一一对应的结论．坐标轴上的点的特征本节课不进行研究和学习，对于平面直角坐标系中象限的概念，本节课也只作简单介绍，下节课再进一步细化学习平面直角坐标系中的相关概念．一般地，在平面内互相垂直且原点重合，分别位于水平位置与铅直位置的两条数轴组成平面直角坐标系，习惯取向右、向上为正方向．建立了平面直角坐标系后，坐标平面内的每一个点都可以用一个坐标来表示，反过来，任何一个坐标都可以在坐标平面内找到唯一确定的点，从而建立坐标平面内点与坐标（有序数对）的一一对应，体现了数形结合的思想．最后，以定义为依据，探讨如何在坐标平面内建立适当的平面直角坐标系，体会坐标表示的多样性．同时，在平面内建立不同的平面直角坐标系，不改变点之间的位置关系，图形的大小和形状特征。理解坐标不仅具有定位功能，还能通过数量关系刻画图形的关键点，从而刻画图形的位置、大小和形状特征．由以上分析，可以确定本节课的教学重点：平面直角坐标系及相关概念．二、目标和目标解析1．目标(1)会用有序数对表示物体的位置．(2)理解平面直角坐标系的相关概念．(3)掌握平面直角坐标系内点与坐标是一一对应的．(4)对给定的长方形会选择适当的平面直角坐标系，写出它的顶点的坐标，体会用坐标刻画图形．2．目标解析达成目标(1)的标志是：学生在实际生活情境中，感受有序数对在确定物体位置过程中的作用，体会有序数对中两个数的顺序的重要性．达成目标(2)的标志是：学生理解平面直角坐标系中两条数轴一般具备的特征：互相垂直；原点重合；分别取向右、向上为正方向，能在平面直角坐标系中理解x轴(横轴)、y轴(纵轴)、原点、坐标、象限等相关概念．达成目标(3)的标志是：学生理解建立平面直角坐标系的必要性，体会平面内点与坐标的“一一对应”，即在给定的平面直角坐标系中，学生根据已知点的位置能写出对应点的坐标，由点的坐标找到唯一确定的点．达成目标(4)的标志是：对给定的长方形学生可以依据平面直角坐标系的定义，建立适当的平面直角坐标系，写出这个长方形各个顶点的坐标．体会不仅可以用坐标来确定图形的位置，而且可以通过数量关系来刻画图形的形状特征和位置关系．三、教学问题诊断分析学生在小学阶段对“用数对表示具体情境中物体的位置”有一定的了解，在具体情境中能够认识物体位置与有序数对的对应关系，但七年级学生的认知水平和学习经验上的不足，决定了学生的数学抽象思维能力以及用数学语言表达思维对象的能力还有欠缺．平面内点的坐标是根据数轴上点的坐标来定义的，平面内点与坐标的对应关系虽然与数轴上点与坐标的对应关系类似，但学生毕竟在认识上第一次从一维空间向二维空间过渡，因此理解建立平面直角坐标系的必要性和体会其中蕴含的点与坐标的一一对应关系都比较困难．由以上分析，本节课的教学难点是：理解建立平面直角坐标系的必要性，体会平面直角坐标系中点与坐标的一一对应关系．四、教学媒体支持分析本节课使用《几何画板》软件，结合网格图，动态演示在坐标平面内，不同的平面直角坐标系下，点的坐标发生变化，但是点之间的相对位置和图形的大小、形状特征不变．通过教学平台的投屏功能展示学生的活动过程．五、教学过程设计1．情境引入，激发兴趣问题1在庆祝建国70周年的联欢活动中，天安门广场上的这些巨幅图案，它们是怎么组成的？师生活动：教师播放视频，引导学生描述：每位演员用列数、排数确定自己的位置，组成巨幅图案．设计意图：通过观看70周年国庆联欢活动的视频，让学生感受在具体情景中利用列数、排数能够确定位置，激发学生学习的主动性和积极性．问题2你能再举出这样的例子吗？师生活动：学生举出生活中利用有序数对确定平面内物体位置的例子，教师引导学生分析所举事例．设计意图：让学生体会用两个数能够描述平面内物体的位置，使学生感受有序的必要性，加深对有序的理解．问题3

结合教室的平面图，图1．你能根据以下座位，找到对应的同学参加数学兴趣小组吗？(2，4)，

(3，2)，(4，

2)，(2，

1)，师生活动：学生思考，回答．教师关注学生描述前是否标记列数和排数，是否约定表示的顺序，否则不能确定参加数学兴趣小组的同学的位置．追问(1)：假设在问题3中约定“列数在前，排数在后”，你能在图中标出这些同学的座位吗？师生活动：学生用彩笔标记参加数学兴趣小组的同学的座位．追问(2)：由上面可知，“第2列第4排”简记为(2，4)(约定列数在前，排数在后)．那么“第5列第6排”能简记做什么？

(3,5)表示的含义是什么？(2，4)和(4，2)在同一个位置吗？师生活动：学生根据问题教师提问回答．给出有序数对的概念：上面的活动是通过像“第2列第4排、第3列第2排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，例如前边的数字表示列数，后边的数字表示排数，我们把这种有顺序的两个数a与b所组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．设计意图：让学生再次经历用有序数对表示物体位置的过程，感受有序数对的“有序性”，体会有序的必要性，抽象出有序数对的概念．2．复习回顾，建立模型问题4提出问题：(1)怎样画出一条数轴？(2)如图2，A，B两点所表示的数分别是什么？(3)数“5”表示的点是谁？师生活动：学生回答问题后，教师引导学生得出数轴上点的坐标的定义：数轴上每个点都可以用一个实数表示，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标．追问：在数轴上已知点能说出它的坐标，由坐标能在数轴上找到对应点的位置．那么数轴上的点与坐标有怎样的关系？师生活动：学生回答，教师指出：数轴上的点与坐标是“一一对应”的．设计意图：从学生熟悉的数轴出发，给出数轴上点的坐标的定义，建立点与坐标的一一对应关系，为后面类比学习利用平面直角坐标系确定平面上点的位置进行铺垫．3．类比学习，形成概念问题5类似于利用数轴确定直线上点的位置，结合学习的有序数对，回答问题．你能找到一种方法来确定平面内点P的位置吗？师生活动：以问题3为例，教师给予适当的引导，梳理解决问题的过程：点P所在的平面内有一些方格线，利用学习的有序数对，约定“列数在前，排数在后”，如图3，点P在“第1列第2排”，记为（1，2）．受上述方法的启发，为了确定平面内点M，N的位置，引导学生联想数轴的表示，继续标记这些纵横交错的直线．我们把其中两条作为基准，一条看作横向的数轴，另一条看作纵向的数轴．此时，列数对应的是横向数轴的坐标，排数对应的是纵向数轴的坐标，这两条数轴有公共原点且互相垂直．(图4)追问（1）：在图4中，点P记为（1，2）类比点P，你能写出点M记作什么吗？点N呢？师生活动：学生回答，教师适当引导．（点M记为（-1，3），点N记为（-2，-2）．）引入平面直角坐标系教师指出：平面直角坐标系也叫平面笛卡儿直角坐标系．它是法国数学家笛卡儿最先引入的，笛卡儿设想将几何问题数量化，从而使其变成一个代数问题，用代数学的方法解决几何问题．平面直角坐标系架起了数与形的桥梁，它是解决数形结合等相关问题的重要工具．追问（2）：平面直角坐标系两条数轴有哪些特征？师生活动：描述平面直角坐标系的特征：两条数轴、互相垂直、原点重合．

追问（3）：在这个平面直角坐标系中，怎么确定正方向？什么是横轴？什么是纵轴？什么是坐标原点？师生活动：教师引导学生描述平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，一般取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，一般取向上方向为正方向．

两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点，记为点O．

设计意图：引导学生结合有序数对的知识，类比利用数轴上确定直线上的点的学习方法，学习如何确定平面内点的位置，让学生在解决具体问题的过程中，自然而然地建立平面直角坐标系，并理解相关概念，培养学生在情境中抽象出数学概念，积累从具体到抽象的活动经验．问题6在平面直角坐标系中，你能表示（图5）点A的位置吗？师生活动：由点A向x轴、y轴分别作垂线，垂足M在x轴上的坐标是4，点A的横坐标记为4，垂足N在y轴上的坐标是2，点A的纵坐标记为2，有序数对（4，2）就叫做点A的坐标，记作A（4，2）．(注意：表示点的坐标时，必须横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开．)类似地，请写出点B的坐标．追问（1）：例在平面直角坐标系中，点A,B,C,D,E的坐标分别是什么？师生活动：学生自主思考，说出坐标，并说明理由.追问（2）：在上述平面直角坐标系中，x轴和y轴上点的坐标有什么特点？原点坐标是什么？师生活动：教师适当引导：从上面联系中发现①x轴上点的纵坐标为0，一般记为（x,0）;②y轴上点的纵坐标为0，一般记为（0,y）;③原点O的坐标是（0,0）.设计意图：在给出平面直角坐标系的定义之后，及时安排用坐标表示点的练习.先表示一般点的坐标，再表示特殊点的坐标，这样符合学生的认知规律，使学生更容易理解和掌握所学的知识.追问（2）：建立平面直角坐标系后，坐标平面被两条坐标轴分成了哪几个部分，分别对应什么象限？师生活动：建立平面直角坐标系后，坐标平面被两条坐标轴分成了4个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．坐标轴上的点不属于任何象限(图6)．设计意图：类比数轴上点的坐标的定义，学习坐标平面上点的坐标的定义，引导学生用有序数对来表示平面上点的位置．平面直角坐标系中象限的概念，本节课只作简单介绍，下节课再进一步细化学习平面直角坐标系的相关概念．例如果点（a，3）是第二象限的点，你能说出a的取值范围吗？（2，b）是第四象限的点，你能说出a的取值范围吗？设计意图：设计含有参数的问题，蕴含数形结合的数学思想，培养学生逻辑推理的数学素养。问题7数轴上点与坐标是一一对应的，那么坐标平面上的点与坐标又是什么关系？师生活动：用类比的方法可以得到坐标平面上的点与坐标(有序实数对)也是一一对应的．设计意图：引导学生类比数轴上的点与坐标的关系，归纳坐标平面上的点与坐标之间的关系．应用练习，拓展提升1.请在如下的网格图以点O为原点画出规范的平面直角坐标系．1)请写出点A,B,C,D,E的坐标．2)请你说出以下点的位置在第几象限，再在图中描出点F（3,2）G（-2，3）H（0，-3）I（2，3）如果我们以点C为原点建立平面直角坐标系．你能说出A,B,O,D,E点的坐标吗？设计意图：能独立绘制平面直角坐标系，学生能在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。学生加深对概念理解的同时，归纳平面直角坐标系上的点与有序数对之间的一一对应关系，进一步发展直观想象的核心素养；2．①如图8，在平面直角坐标系中，描出下列各点：A（-3，2），B（-1，2），C（-1，-2），D（1，2），E（1，-2），F（3，-2），G（3，2）．连接AB，BC，再顺次连接D，E，F，G四个点，描述平面内的图案．结合网格图，观察四边形DEFG，探究线段DE，FG有什么位置关系和数量关系？线段DE和EF的位置关系？观察得到的图形，描述它的形状特征．师生活动：学生独立完成描点，在教师的引导下观察并描述图案．结合网格图探究线段的位置关系和数量关系，并描述判断的理由．以上述判断为依据，描述图形的形状特征．设计意图：在平面直角坐标系中，教师引导学生首先描出“70”的图案，与本课引例视频中的国庆联欢活动相呼应，帮助感受利用平面直角坐标系中的坐标来确定关键点，描绘出丰富的图案，从而进一步激发了学生的学习热情．体会已知点的坐标不仅能够刻画点的位置，还能刻画图形的位置、大小和形状特征．②已知①中长方形DEFG，请另建立一个适当的平面直角坐标系，这时图形顶点D，E，F，G的坐标又分别是什么？①中得出的线段DE，FG之间的关系还是否成立？与同学们交流．师生活动：引导学生结合网格，以平面直角坐标系的定义为依据，选定适当的原点与坐标轴建立平面直角坐标系．描述不同坐标系下的点的坐标情况及DE，FG的关系．通过人人通教学平台的投屏功能展示学生的活动过程，组内交流，全班汇报．使用《几何画板》软件，动态演示在坐标平面内，不同的平面直角坐标系下，点的坐标发生变化，但是点之间的相对位置和图形的大小、形状特征不变．设计意图：学生学习如何在平面内建立适当的平面直角坐标系．教师引导学生体会坐标的表示是多样的，即在不同坐标系下，点的坐标不同，但是不影响点之间的位置关系，不影响图形的大小和形状特征．5．小结归纳教师和学生一起回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：(1)我们这节课学了什么？(2)我们是怎