基本初等函数复习资料学生版

〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算〔1〕根式的概念①如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根．②式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，．③根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时，．〔2〕分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．〔3〕分数指数幂的运算性质①②③第1讲§2.1.1指数与指数幂的运算假设，那么x叫做a的n次方根，记为，其中n>1，且n次方根具有如下性质：〔1〕在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.〔2〕n次方根〔〕有如下恒等式：；；，〔a0〕.2.规定正数的分数指数幂：〔〕；.¤例题精讲：【例1】，求的值. 【例2】化简与求值：〔1〕；〔2〕.【2.1.2】指数函数及其性质〔4〕指数函数函数名称指数函数定义0101函数且叫做指数函数0101图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，．奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对 图象的影响在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低．第2讲§2.1.2指数函数及其性质〔一〕1.定义：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.2.以函数与的图象为例，观察这一对函数的图象，总结如下性质：定义域为R，值域为；当时，，即图象过定点；当时，在R上是减函数，当时，在R上是增函数.¤例题精讲：【例1】求以下函数的定义域,和值域：；〔2〕；【例2】函数.〔1〕求该函数的图象恒过的定点坐标；〔2〕指出该函数的单调性.第3讲§2.1.2指数函数及其性质〔二〕¤知识要点：以函数与的图象为例，得出这以下结论：〔1〕函数的图象与的图象关于y轴对称.〔2〕指数函数的图象在第一象限内，图象由下至上，底数由下到大.¤例题精讲：【例2】.〔1〕讨论的奇偶性；〔2〕讨论的单调性.【例3】求以下函数的单调区间：〔1〕；〔2〕.【2.2.1】对数与对数运算〔1〕对数的定义①假设，那么叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：．〔2〕几个重要的对数恒等式，，．〔3〕常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即〔其中…〕．〔4〕对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：第4讲§2.2.1对数与对数运算〔一〕¤知识要点：1.定般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数〔logarithm〕.记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2.我们通常将以10为底的对数叫做常用对数〔commonlogarithm〕，并把常用对数简记为lgN在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数简记作lnN3.根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当时，.4.负数与零没有对数；，¤例题精讲：【例1】求证：〔1〕；〔2〕.【例2】试推导出换底公式：〔，且；，且；〕.第5讲§2.2.1对数与对数运算〔二〕¤知识要点：1.对数的运算法那么：，，，其中，.三条法那么是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2.对数的换底公式.如果令b=N，那么得到了对数的倒数公式.同样，也可以推导出一些对数恒等式，如，，等.¤例题精讲：【例1】化简与求值：〔1〕【例2】假设，那么=.【例3】〔1〕方程的解x=________；〔2〕设是方程的两个根，那么的值是.【2.2.2】对数函数及其性质〔5〕对数函数函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象001001定义域值域过定点图象过定点，即当时，．奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对 图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高．第6讲§2.2.2对数函数及其性质〔一〕¤知识要点：1.定义：一般地，当a＞0且a≠1时，函数叫做对数函数(logarithmicfunction).自变量是x；函数的定义域是〔0，+∞〕.2.由与的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为，值域为R；当时，，即图象过定点；当时，在上递减，当时，在上递增.¤例题精讲：【例1】求以下函数的定义域：〔1〕；〔2〕.【例2】函数的区间上总有，求实数a的取值范围.【例3】求不等式中x的取值范围.第7讲§2.2.2对数函数及其性质〔二〕¤知识要点：1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量,而把这个函数的自变量新的函数的因变量.我们称这两个函数为反函数〔inversefunction〕.互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.2.函数与对数函数互为反函数.3.复合函数的单调性研究，口诀是“同增异减〞，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；假设两个函数一增一减，那么复合后结果为减函数.研究复合函数单调性的具体步骤是：〔i〕求定义域；〔ii〕拆分函数；〔iii〕分别求的单调性；〔iv〕按“同增异减〞得出复合函数的单调性.¤例题精讲：【例1】讨论函数的单调性.【例3】指数函数的图象与对数函数的图象有何关系？第8讲§2.3幂函数知识要点：1.幂函数的根本形式是，其中是自变量，是常数.要求掌握，，，，这五个常用幂函数的图象.2.观察出幂函数的共性，总结如下：〔1〕当时，图象过定点；在上是增函数.〔2〕当时，图象过定点；在上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3.幂函数的图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数由小到大.轴和直线之间，图象由上至下，指数由小到大.¤例题精讲：【例1】幂函数的图象过点，试讨论其单调性.【例3】幂函数与在第一象限内的图象如下图，那么〔〕.A．B．C．D．〖2.3〗幂函数〔1〕幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．〔2〕幂函数的图象〔3〕幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．③单调性：如果，那么幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，那么幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当〔其中互质，和〕，假设为奇数为奇数时，那么是奇函数，假设为奇数为偶数时，那么是偶函数，假设为偶数为奇数时，那么是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数，当时，假设，其图象在直线下方，假设，其图象在直线上方，当时，假设，其图象在直线上方，假设，其图象在直线下方．〖补充知识〗二次函数〔1〕二次函数解析式的三种形式①一般式：②顶点式：③两根式：〔2〕求二次函数解析式的方法①三个点坐标时，宜用一般式．②抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大〔小〕值有关时，常使用顶点式．③假设抛物线与轴有两个交点，且横线坐标时，选用两根式求更方便．〔3〕二次函数图象的性质①二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是．②当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，．③二次函数当时，图象与轴有两个交点．〔4〕一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这局部知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理〔韦达定理〕的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程的两实根为，且．令，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：②对称轴位置：③判别式：④端点函数值符号．①k＜x1≤x2EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,af(k)＞0,－\f(b,2a)＞k))②x1≤x2＜kEQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,af(k)＞0,－\f(b,2a)＜k))③x1＜k＜x2af(k)＜0④k1＜x1≤x2＜k2EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＞0,f(k1)＞0,f(k2)＞0,k1＜－\f(b,2a)＜k2))或\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＜0,f(k1)＜0,f(k2)＜0,k1＜－\f(b,2a)＜k2))⑤有且仅有一个根x1〔或x2〕满足k1＜x1〔或x2〕＜k2f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2EQ\b\lc\{(\a\al(a＞0,f(k1)＞0,f(k2)＜0,f(p1)＜0,f(p2)＞0))或\b\lc\{(\a\al(a＜0,f(k1)＜0,f(k2)＞0,f(p1)＞0,f(p2)＜0))此结论可直接由⑤推出．〔5〕二次函数在闭区间上的最值设在区间上的最大值为，最小值为，令．〔Ⅰ〕当时〔开口向上〕最小值假设，那么②假设，那么xyxy0aOabx2pqf(p)f(q)xy0aOabx2pqf(p)f(q)③假设，那么xxy