专题1.4 根与系数的关系【十大题型】（举一反三）（苏科版）（解析版）

专题1.4根与系数的关系【十大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1由根与系数的关系直接求代数式的值】 1【题型2由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 3【题型3由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 5【题型4由方程两根满足关系求字母的值】 8【题型5不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 10【题型6由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 12【题型7构造一元二次方程求代数式的值】 15【题型8已知方程根的情况判断另一个方程】 17【题型9根与系数关系中的新定义问题】 20【题型10根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 24【知识点一元二次方程的根与系数的关系】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x注意它的使用条件为，a≠0，Δ≥0.【题型1由根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则xA．-7 B．-1 C．1 D．7【答案】D【分析】利用两根之和为x1+x【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程∴x1+x∴x1故选：D．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式．【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程x2+3x-2=0的两根，则2m-nA．-3 B．-2 C．-13 D【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n=-3，然后将分式化简，代入m+n=-3即可求解．【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2∴m+n=-3，∴2=====-1故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知a，b是方程x2+6x+4=0的两个根，则bb【答案】-14【分析】由根与系数关系知a+b=-6，ab=4，即知a＜0，b＜0，化简原式bba故答案为：﹣14．【详解】解：∵a，b是方程x2∴a+b=-6，ab=4，∴a＜0，b＜0，∴b∴原式=-故答案为：﹣14．【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）已知x1、x2是方程x2-7x+8=0的两根，且x1【答案】28+2【分析】由题意可得x1+x2【详解】解：∵x1、x2是方程∴x1+x∵x1∴x2∴2x故答案为：28+217【点睛】本题考查了一元二次方程的求解、根与系数的关系以及二次根式的混合运算，熟练掌握一元二次方程的相关知识、正确计算是解题的关键.【题型2由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】【例2】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，则α2A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013【答案】D【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x2+x+2012=0，即α2+α=-2012，则α2+2α+β可化为α2+α+α+β=-2012+α+β，然后利用根与系数的关系得到α+β=-1，再利用整体代入的方法计算即可．【详解】∵α是方程x2+x+2012=0的根，∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，∵α，β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，∴α+β=-1，∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．故选D．【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=【变式2-1】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知a，b是关于x的一元二次方程x2+3x-1=0的两个实数根，则a+22+bA．32 B．5 C．2 D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的定义可得a2+3a=1，根据一元二次方程根与系数的关系可得【详解】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2∴a2+3a=1∴a+22+b故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，得出a2+3a=1，【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若α、β是一元二次方程x2-3x-9=0的两个根，则α2【答案】6【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得α+β=3，由根的定义可得α2【详解】∵α2-3α=9，∴α2故答案为：6【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及方程根的概念．【变式2-3】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，则α2A．-2021 B．2021 C．-2023 D．2023【答案】A【分析】由α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，根据根于系数关系可得，α⋅β=1，【详解】∵α和β是方程x2∴αβ2α⋅β=1，α+β=-2023，∴===α⋅β+α+β+1=1-2023+1=-2021故选A．【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键．【题型3由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程x2-3x-1=0的两个不相等的实数根，则代数式p3【答案】-2【分析】根据一元二次方程的解的定义得到p2-3p-1=0，再根据根与系数的关系得到【详解】∵若p、q是方程x2∴p2-3p-1=0，∴p2∴p=p=-=-3p-1+p-2q+5=-2p-2q+4=-2=-2×3+4=-2，故答案为：-2．【点睛】本题考查了一元二次方程ax【变式3-1】（2023春·山东日照·九年级统考期末）已知a，b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数a2【答案】8【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得a+b=1，【详解】解：由题意，得a+b=1，b2=b+3，原式=a+3+2b+6+a-3，=2(a+b)+6，=2×1+6，=8．故答案为：8．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．【变式3-2】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知α、β是方程x2+x-1=0的两根，则A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出α+β=-1，αβ=-1，α2=1-α，【详解】解：∵α、β是方程∴α+β=-1，αβ=-1，α2=1-α，∴α==-α=-α+=-α+1-α-β+1-β+5=-2=-2×=9，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x1，x2【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）已知a，b是方程x2-x-1=0的两根，则代数式2aA．19 B．20 C．14 D．15【答案】D【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．【详解】∵a与b是方程x2∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵a3=∴2=2(2a+1)+5a+3(2b+1)+3b+1=9a+9b+6=9(a+b)+6=9×1+6=15故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．【题型4由方程两根满足关系求字母的值】【例4】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0两根为x1、x2，且A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-8x+m=0两根为∴x1∵x1∴x2∴m=x故选：C．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．【变式4-1】（2023·上海·九年级校考期中）已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0的两根为x【答案】k=-2【分析】利用根的判别式求出k的取值范围，利用根与系数的关系求出x1+x2=1-2k，x1【详解】解：∵关于x的方程x2+∴Δ=解得：k≤5x1+x∵x∴x(x代入x1+x2(1-2k)2解得：k1∵k≤∴k=-2【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.【变式4-2】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）方程x2-k2-4【答案】-2【分析】设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x【详解】解：设方程的两根分别为x1∵方程x2∴x1+x当k=2，方程变为：x2+3=0，Δ=-12＜当k=-2，方程变为：x2-1=0，Δ∴k=-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=-【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若m、n是关于x的方程x2+2k+3x+k2=0【答案】3【分析】根据根与系数的关系得到m+n=-2k-3，mn=k2，再根据1m【详解】解：∵m、n是关于x的方程x2∴m+n=-2k-3，∵1m∴m+nmn=-1，即∴--2k-3∴k2解得k=3或k=-1，又∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=∴k>-3∴k=3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．【题型5不解方程由根与系数的关系判断根的正负】【例5】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于x的方程x-2x+1=p2（A．有两个相异正根B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根【答案】C【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：由题意得：方程可化为x2∴Δ=∴该方程有两个不相等的实数根，设该方程的两个根为x1,x∴该方程的两个根为一正一负，故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程2x2-3x+1=0A．两根一正一负 B．两根都是负数 C．两根都是正数 D．无法确定【答案】C【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分析求解．【详解】解：2x2-3x+1=0的两根分别为x1，x2∴方程的两根同号，且两根都是正数，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根x1，x【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是△ABC的三条边的长，那么方程cx2+A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的负实根 D．只有一个实数根【答案】C【分析】首先根据根的判别式Δ=【详解】解：在方程cx可得：Δ=∵a、b、c是△ABC的三条边的长，∴a>0，b>0，c>0．a+b>c，即a+b2∴a+b2∴Δ>0∴方程有两个不相等的实数根，又∵两根的和是-a+bc<0∴方程有两个不等的负实根．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．【变式5-3】（2023·九年级统考课时练习）已知a<0，b>0，c<0，则方程ax2-bx-c=0的根的情况是（A．有两个负根 B．两根异号且正根绝对值较大C．有两个正根 D．两根异号且负根绝对值较大【答案】D【分析】先计算△=b2+4ac，由a＜0，b＞0，c＜0，得到△＞0，然后根据判别式的意义得到方程有两个实数根．设方程两根为x1，x2．由x1x2【详解】△=（﹣b）2﹣4•a•（﹣c）=b2+4ac．∵a＜0，b＞0，c＜0，∴b2＞0，ac＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．设方程两根为x1，x2．∵x1x2∵x1+x故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．【题型6由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+134﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜214，则【答案】﹣2＜m＜1或3＜m＜7【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围，结合根与系数的关系可得出关于m的不等式，解不等式可得出答案．【详解】解：∵方程x2+（m﹣4）x+134﹣m＝0∴b2﹣4ac＝(m﹣4)2﹣4×13整理得：m2即(m-3)(m-1)>0，根据乘法法则得：m-3>0m-1>0或m-3<0解前一不等式组得：m＞3；解后一不等式组得：m＞1，∴原不等式的解集为：m＞3或m＜1；由题意得x1+x8＝-ba＝（4﹣m）＞﹣解得m＜7；∵x1x2＝ca解得m＞﹣2．综上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0的实数根x1,x2，满足【答案】4<m≤5【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．【详解】解：由题意得：x1所以3x依题意得：(-4)2解得4＜m≤5．故答案是：4＜m≤5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．【变式6-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程4x2-k+5x-k-9=0有两个不相等的实数根x1，x2，且xA．-18<k<-10 B．0<k<8C．-9<k<-5 D．-18<k<-10且k≠-13【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．根据x1x2=-k-94，x1【详解】解：∵方程4x∴Δ=解得：k≠-13，∵x1x2∴x又∵0<x∴0<k+9解得：-9<k<-5，综上，k的取值范围为：-9<k<-5．故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到x2【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x【答案】0<a<【分析】由方程有两个不相等的实数根利用根的判别式Δ＞0，可得出a的取值范围，利用根与系数的关系可得出x1+x2=-a+2a，x1x【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=(a+2)解得：-2∵x1+x2∴x1+1<0∴(x∴x即9-a+2当a<0时，解得a>当a>0时，解得0<a<2又∵-2∴a的取值范围为0<a<2故答案为：0<a<2【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合(x1+1)(【题型7构造一元二次方程求代数式的值】【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则mnA．﹣402 B．59 C．95 D【答案】C【详解】将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（1n）2+2010×1n+9=0，又5m2+2010m∴m与1n为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m•1n=mn故选：C．【变式7-1】（2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知a≥2,m2-2am+2=0,n2A．6 B．3 C．-3 D．0【答案】A【分析】由已知得m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，根据根与系数的关系得到m＋n＝2a，mn＝2，再根据完全平方公式展开化简，利用二次函数的性质解决问题．【详解】解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，∴m＋n＝2a，mn＝2，∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－12)2－3∵a≥2，∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－12)2－3＝6故选A．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足ca=-a-3，cb=-b-3，求【答案】﹣2【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a、b看成方程x2+3x+c=0的两根，由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值．【详解】由ca=﹣a﹣3得：a2+3a+c=0①由cb=﹣b﹣3得：b2+3b+c=0②∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的两根，∴a+b=﹣3，ab=c；∴a2c+b2c﹣9c=a2+b2-9故答案为﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键．【变式7-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）设x，y，s，t为互不相等的实数，且(xA．-1 B．1 C．0 D．0.5【答案】A【分析】把x2,y2【详解】解：∵(x2-∴x2即x2,y故x2y故选A【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键．【题型8已知方程根的情况判断另一个方程】【例8】（2023春·浙江·九年级期中）若关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0(a≠0)的一个根为m，则方程aA．m+1，-m-1B．m+1，-m+1 C．m+1，m+2 D．m-1，-m+1【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程ax2+2ax+c=0的另一个根，设x-1=t，根据方程【详解】解：∵一元二次方程ax2+2ax+c=0(a≠0)的一个根为m∴n+m=-2a解得：n=-2-m，设x-1=t，方程a（x-1）由一元二次方程ax2+2ax+c=0t1=m，∴x-1=-2-m，x-1=m，∴x1=-m-1，故答案为：A．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．【变式8-1】（2023春·江西萍乡·九年级统考期中）有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么15是方程ND．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1【答案】D【分析】求出方程M：ax2+bx+c=0的判别式【详解】解：A、∵M有两个不相等的实数根，∴△>0即b2∴此时N的判别式△=b∴N也有两个不相等的实数根，故此选项正确，不符合题意；B、∵M的两根符号相同：即x1∴N的两根之积ac也大于0∴N的两个根也是同号的，故此选项正确，不符合题意；C、如果5是M的一个根，则：25a+5b+c=0①，我们只需要考虑将15代入N方程看是否成立，代入得：125c+15b+a=0②，比较①与②，可知②式是由D、比较方程M与N可得：ax∴a-cx∵a-c≠0，∴x2∴x=±1，∴它们如果有根相同的根可能是1或-1，故此选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了根的判别式，根与系数的关系以及一元二次方程的解的意义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程，根的判别式△=b2-4ac，根与系数的关系x【变式8-2】（2023春·安徽合肥·九年级校考期末）关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2A．p是正数，q是负数 B．(p-2)C．q是正数，p是负数 D．(p-2)【答案】D【分析】设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判断B与D．【详解】解：设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，故选项A与C说法均错误，不符合题意；∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键．【变式8-3】（2023春·九年级单元测试）一元二次方程M:ax2+bx+c=0；N:cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则1m是方程N的一个根；④若方程MA．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】根据根的判别式，根的定义，计算判断即可．【详解】∵M:ax∴Δ=∵N:cx2+bx+a=0∴方程N也有两个不相等的实数根，故①正确；∵M:ax∴Δ=∴Δ=∴方程N的两根符号也相同，故②正确；∵m是方程M:ax∴am∵c∴1m是方程N故③正确；设方程M和方程N相同的根为x0根据题意，得ax∴a-cx∵ac≠0，a≠c，∴x0解得x0故这个根是x=±1，故④错误；故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，公共根，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【题型9根与系数关系中的新定义问题】【例9】（2023春·山东日照·九年级日照市田家炳实验中学校考阶段练习）定义：如果实数a、b、c满足a²+b²=c²，那么我们称一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)为“勾股”方程；二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)为“勾股”函数．(1)理解：下列方程是“勾股”方程的有．①x²-1=0；②x2-x+2=0；③1(2)探究：若m、n是“勾股”方程ax²+bx+c=0的两个实数根，试探究m、n之间的数量关系．【答案】(1)①②④；(2)m2【分析】（1）运用“勾股”方程的定义，即可得出答案；（2）利用根与系数关系可得：m+n=-ba，mn=ca，再结合a2+b2=c2【详解】（1）根据“勾股”方程的定义，在方程x2-1=0中，a=1，b∵a2+∴a∴一元二次方程x2-1=0为“勾股在方程x2-x+2=0中，∵a2+∴a∴一元二次方程x2-x+2在方程13x2+14x∵a2+∴a∴一元二次方程13x2+1在方程4x2+3x=5中，a∵a2+∴a∴一元二次方程4x2+3x=5故答案为：①②④；（2）m2∵m、n是“勾股”方程a∴m+n又根据“勾股”方程的定义，a2∴(即m2另解：∵m、n是“勾股”方程a∴am2+bm由①、②得：b=-(m+又∵a∴a即m2【点睛】本题主要考查新定义问题，一元二次方程根与系数关系，理解并应用新定义是解题的关键．【变式9-1】（2023春·河南安阳·九年级校联考期中）定义运算：a*b=a1-b．若a，b是方程x2-x+m=0A．0 B．1 C．2 D．与m有关【答案】A【分析】由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b*b-a*a=b1-b-a1-a，将其中的1【详解】解：∵a，b是方程x2∴a+b=1，∴b*b-a*a=b1-b故选A．【点睛】本题考查定义新运算，一元二次方程根与系数的关系．理解并掌握新运算的法则，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．【变式9-2】（2023春·广东揭阳·九年级校联考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2+mx+n=0是“【答案】5【分析】①根据凤凰方程的定义可知：x=1是方程的一个根，以及方程有两个相等的实数根，Δ=0，求出m,n的值，再进行计算即可；②【详解】解：法一：根据题意得：1+m+n=0解得：m=-2n=1则m2法二：∵x2+mx+n=0是“凤凰∴x2+mx+n=0的两个根均为∴-m=1+1=2,n=1×1=1，∴m=-2,n=1，∴m2【点睛】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程判别式与根的个数的关系．理解凤凰方程的定义，得到x=1是方程的一个根，是解题的关键．本题也可以利用根与系数的关系进行解题．【变式9-3】（2023春·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）已知：α、β(α>β)是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根，设S1=α+β，根据根的定义，有α2-α-1=0、β2-β-1=0根据以上信息，解答下列问题．(1)求α、β的值，并利用一元二次方程根与系数关系，求出S2(2)猜想：当n⩾3时，Sn、Sn-1、【答案】(1)3(2)当n⩾3时，Sn【分析】（1）利用根与系数的关系得到α+β=1，αβ=-1，接着根据完全平方公式得到S2（2）由于α+β=1，αβ=-1，则Sn=α【详解】（1）解：∵α、β(α>β)是一元二次方程x2其中a=1，b=-1，c=-1，根据根与系数的关系得α+β=-ba=1∴S（2）解：猜想当n⩾3时，Sn理由如下：∵α+β=1，αβ=-1，∴S∵Sn-1=∴