2023年全国中考正方形试题汇总

第六课时正方形

【考点精要】本节主要内容是正方形的概念、性质及判定；热门考点是运用正方形的性质及

判定解决有关证明和计算问题；也可与圆、相似、方程、函数等相结合，以综合题的形式

出现.

【经典例题】D__________"

例1.（2023襄阳）如图，4BCO是正方形，G是BC上（除端点外）口\

于点E,BF//DE,交AG于点?以下结论不一定成立的是（）--------

A./XAED^/XBFAB.DE-BF=EFA

C.ABGFsADAED.DE-BG=FG

正方形的边交于A、B两点，那么线段AB的最小值是

例3.（2023绥化）如下图，直线a经过正方形A8C。的顶点A,分别

。作BFJLa于点尸、£>E_La于点E,假设。E=8,B尸=5,那么E尸的怅

例4.（2023四川内江，21,9分）如图11,四边形ABC。是矩形

=NBCE,NAED=NCED,点、G是BC、AE延长线的交点，AG

（1）求证：四边形A8CD是正方形;

（2）当AE=2E尸时，判断FG与E尸有何数量关系？并证明你的

【双基检测】c/7

选择题：一下一

1.（2023,黔东南）点尸是正方形A8C。边AB上一点（不与A、B重合），连结&并将线

段PO绕点P顺时针旋转90。，得线段PE,连结BE,那么/CBE等于（/

A、7508、60℃、45力、30°

2.（2023河北省11,3分）11、如图，两个正方形的面积分别为16、9,两阴影局部的面积分

别为a,btd>b],那么（”》）等于〔）

A.7B.6C,5D.4

3（2023•日照市）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，（a\

（A）第502个正方形的左下角（B）第502个正方

（C）第503个正方形的左上角（D）第503个正方\

4.（2023义乌）一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在g

A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间

5.（2023安徽省）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如下图的正八边形植

草砖，更换后，图中阴影局部为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为“，

那么阴影局部的面积为（）

A.2a2B.3a2

C.4a2I）.5a2

6.（2023桂林）如图，在边长为4的正方形A8co中，动点尸从A点出发,

位长度的速度沿48向8点运动，同时动点。从8点出发，以每秒2个

度沿8C—CD方向运动，当户运动到B点时，P、。两点同时停止运动

的时间为f,△APQ的面积为S,那么S与f的函数关系的图象是（

CD

ABCD

7.（2023•徐州）如图，将边长为a的正方形ABCD沿对角线平移，

使点A移至线段AC的中点A'处,得新正方形A'B'C'D',新

正方形与原正方形重叠局部（图中阴影局部）的面积是（）

A.s/2B.—C.1D.一

24

8.（2023咸宁）如图，正方形048c与正方形ODEF是位似图形，。为位似中心,

相似比为1：、历,点A的坐标为（1,0）,那么E点的坐标为（

A.（V2,0）B.（-,-）C.（V2,V2）D.（2,2）

22

9.（2023年宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书'

设勾三，股四，那么弦五”记载，如图1是由边长相等的小正形和直

其面积关系验证勾股定理。图2是由图1放入矩形内得到的，

/BAC=90BB=3>AC=4,Q,E,F,G,H,/都在矩形KLMJ的边上，那么矩形KLMJ的面积为（）

0)90(8)100(QUO(0)121

10.以下说法不正确的是（）

A.一组邻边相等的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形

C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.有一个角是直角的平行四边形是正方形

二、填空题

11.（2023江西）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将AAEF绕顶点A

旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，NBAE的大小可以是.

12.（2023攀枝花）如图，正方形ABCD中，AB=4,E是BC的中点，点P是对角线AC

上一动点，那么PE+PB的最小值为

13.12023宜宾）如图，正方形A8CO的边长为1,连结/

交8。于点E,那么DE=

14.（2023•威海）正方形脑G9在平面直角坐标系中的位置如下图，

标（-3,0）,那么C点坐标o

15.（2023湛江）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，

角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三

方形AEGH,如此下去....假设正方形ABCD的边长记为ai,按

方法所作的正方形的边长依次为32，33，341an>那么an=.

三、解答题

16.（2023贵阳）如图，在正方形ABCC中，等边三角形AE尸的顶点E,F分别在BC和C。

（1）求证：CE=CF；\

（2）假设等边三角形4E尸的边长为2,求正方形A8CD的周长.\//

17.（2023呼和浩特）如图，四边形ABCQ是正方形，点G是BC边上

于E,BF//DE,交AG于F。BEC

（1）求证：AF-BF=EF；

（2）将△AB尸绕点A逆时针旋转，使得AB与40重合，记此时点尸的对应点为点尸‘。假

设正方形边长为3,求点尸与旋转前的图中点E之间的距离。

18.（2023南京）如图，在梯形ABCZ）中，AD//BC,AB=DC,对角线AC、BD交于点O,

AC1BD,E.F、G、〃分别是AB、BC、CD、D4的中点.A---------力。

11）求证：四边形EFG”是正方形；

（2）假设A£>=2,BC=4,求四边形EFGH的面积.

19.（2023珠海）如图，把正方形A8C。绕点C按顺时针方向旋转

（此时，点夕落在对角线AC上，点落在C£>的延长线上），4夕交AO年点

求证：（1）△AD4'四△CQE；/XX、

（2）直线CE是线段A4的垂直平分线.BZ~-^―~-

20.（2023益阳）：如图1,在面积为3的正方形ABCC中，E、F-----月，、'

两点，AE_L8F于点G,且BE=1.j/K

（1）求证：AABE四△BCF；

（2）求出△ABE和ABCF重叠局部[即ABEG）的面积；

[3）现将△ABE绕点4逆时针方向旋转到AAB'E'（如图2）,使AB

处，问AABE在旋转前后与重叠局部的面积是否发生了变彳

【探究创新】

21.（2023•德州）如下图，现有一张边长为4%q边上

的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片才匕PG

交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.

⑴求证：NAPB=NBPH；//\/\

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周玲1^/,-----乂Al^————斗

（3）设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与曼1的函数关系式，试图看是否存在最

小值？假设存在，求出这个最小值；假设不存在，请说明理由.

参考答案

【经典例题】

例1、D；例2、V2；例3、13

例4、（1）证明：•.•四边形ABC。是矩形，...N3A£>=N8CD=90。.

■:NBAE=NBCE,:./BAD—NBAE=NBCD—NBCE,即/EAO=/ECD.

,:NAED=NCED,ED=ED,:.丛AED9丛CED.：.AD=CD.

，矩形ABC£>是正方形.

（2）FG=3EF.

理由：'."BG//AD,：.ZG=ZEAD.

由于NE4O=NECO,：.ZG=ZECD.

CEEG

；NCEG=NFEC,：./\CEG^/\FEC..

EFCE

由（1）知CE=AE,ffi]AE=2EF,故CE=2EF.

；.EG=2CE=4EF,即EF+FG=4EF.

：.FG=3EF.

【双基检测】

一、1、C2、A3、C4、B5、A

6、D7、B8、C9、C10、D

二、11、15°或16512、27513、圾-114、（1,-3）15.（我）n-'

16、（1）证明：•.•四边形ABCD正方形，AZB=ZD=W°,AB=AD.

,：/XAEF是等边三角形，：.AE=AF.

ABE当R3ADF,：.BE=DF,

'：BC=CD,：.CE=CF.

（2）在/?>△EFC中，CE=CF=2xsin450=G.

设正方形ABCD的边长为x,那么x2+（x-J5/=22.解得,x=（舍负），正方形ABCD

2

的周长为4x巨土如=2JI+2遥.

2

17、（1）证明：・・•正方形48co

：.AB=AD,Z2+Z3=90°

VDEIAG

JZAED=90°

AZ1+Z3=9O°

AZ1=Z2

又，：BF//DE

：./AFB=/AE£>=90。

在△4互>和4BFA中

：.BF=AE

"：AF-AE=EF

：.AF-BF=EF

(2)如图，根据题意可知：ZMr=90°,DE=AF=AF

，可判断四边形AEDF为矩形

：.EF=AD=?>

18、⑴：E、F分别是AB、BC的中点

是三角形ABC的中位线

1

J.EF//AC.EF=-AC,

2

同理得，EH//BD,HG=-AC,EH=FG^-BD,

22

：.EH=FG=EF=HG

，四边形EFGH为菱形

'：EF//AC,EH//BD,AC±BD

：.Z£WG=90°

二菱形EFG”为正方形.

(2)；在梯形ABC。中，E、G分别是A3、CZ)的中点.

EG为梯形ABCD的中位线

1,、

：.EG=-(AD+BC)=3

2

四边形EFGH的面积=1£0=4.5

2

19、(1)由正方形的性质及旋转，得A£)=£>C,/AOC=90。4c=AC,/D4，E=45。,

ZADA'=ZCDE=90°,

：.ZDEA'=ZDA'E=45°.：.DA'=DE.

：.AADA^ACDE.

⑵由正方形的性质及旋转，得C£)=CQ,ZCB'E=ZCDE=90°,CE=CE,

CB'E丝RtACQE「；AC=4C,...直线CE是线段44,的垂直平分线.

20、⑴证明：•..正方形ABCD中，ZABE=ZBCF=90°,AB=BC,

ZABF+ZCBF=90",

VAE1BF,

ZABF+ZBAE=90°,

ZBAE=ZCBF,

/.△ABE^ABCF.

⑵解：•••正方形面积为3,；.AB=J^,

在△BGE与AABE中，VZGBE=ZBAE,ZEGB=ZEBA=90°

.'.△BGE^AABE

...黑箜=(毁尸，又BE=1,；.AE2=AB2+BE2=3+1=4

SIMEAE

.C-BE?氏

(用其他方法解答仿上步骤给分).

⑶解：没有变化

VAB=V3,BE=1,.,.tanZBAE=4=,,ZBAE=30°,

石

VAB,=AD,NAB'E'=NADE'=90°,AE'公共，

.\RtAABE^RtAAB,E'^RtAADE*,

AZDAE,=ZBZAEZ=ZBAE=30°,

.•.AB'与AE在同一直线上，即BF与AB'的交点是G,

设BF与AE'的交点为H,

那么/BAG=NHAG=30。,ffi]ZAGB=ZAGH=90°,AG公共，

.,.△BAG^AHAG,

..S四边形GHER_SfMili_S.MGH_SMRE-S^BG_•

AABE在旋转前后与aBCF重叠局部的面积没有变化.

【探究创新]

21、(1)解