专题22.2一元二次方程的解法：直接开平方法与配方法-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【华师大版】

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【华师大版】专题22.2一元二次方程的解法：直接开平方法与配方法姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•防城港期末）方程x2＝1的解是（）A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝x2＝1【分析】方程两边开方，即可得出答案．【解答】解：x2＝1，开方得：x＝±1，即x1＝1，x2＝﹣1，故选：C．2．（2020秋•连山区期末）方程x2﹣9＝0的解是（）A．x1＝3，x2＝﹣3 B．x＝0 C．x1＝x2＝3 D．x1＝x2＝﹣3【分析】将方程常数项移到方程右边，利用平方根的定义开方即可得到方程的解．【解答】解：x2﹣9＝0，变形得：x2＝9，开方得：x1＝3，x2＝﹣3；故选：A．3．（2020秋•绿园区期末）若一元二次方程（x+6）2＝64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝8，则另一个一元一次方程是（）A．x﹣6＝﹣8 B．x﹣6＝8 C．x+6＝8 D．x+6＝﹣8【分析】利用直接开平方法求解即可．【解答】解：∵（x+6）2＝64，∴x+6＝8或x+6＝﹣8，故选：D．4．（2020秋•南海区期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，配方后所得方程为（）A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2【分析】先把常数项1移到方程右边，再把方程两边加上，然后根据完全平方公式得到（x﹣1）2＝2．【解答】解：x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2．故选：D．5．（2020秋•浦东新区期末）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0，则方程变形为（）A．（x﹣2）2＝11 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣1）2＝8 D．（x+1）2＝8【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程x2﹣2x﹣7＝0，移项得：x2﹣2x＝7，配方得：x2﹣2x+1＝8，即（x﹣1）2＝8．故选：C．6．（2020秋•费县期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，可变形为（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝11【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：∵x2﹣4x﹣7＝0，∴x2﹣4x+4＝11，∴（x﹣2）2＝11，故选：D．7．（2020春•文登区期末）代数式x2﹣4x+3的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．5【分析】利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答．【解答】解：x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，则当x＝2时，代数式x2﹣4x+3取得最小值，最小值是﹣1，故选：A．8．（2019春•西湖区校级月考）若P=13m﹣2，Q＝2m2-23m+1，则A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．不能确定【分析】利用求差法比较大小，计算Q﹣P＝2m2-23m+1﹣（13m﹣2），利用配方法得到Q﹣P＝2（m-12）2+【解答】解：Q﹣P＝2m2-23m+1﹣（13m＝2m2﹣m+3＝2（m2-12m+＝2（m-12）2∵2（m-12）2≥∴2（m-12）2+∴Q﹣P＞0，即Q＞P．故选：B．9．（2020春•邗江区期中）关于代数式﹣x2+4x﹣2的取值，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣2 B．有最大值2 C．有最大值﹣6 D．恒小于零【分析】先利用配方法将代数式﹣x2+4x﹣2转化为完全平方与常数的和的形式，然后根据非负数的性质进行解答．【解答】解：∵﹣x2+4x﹣2＝﹣（x2﹣4x+4）+4﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，又∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2≤0，∴﹣（x﹣2）2+2≤2，∴代数式﹣x2+4x﹣2有最大值2．故选：B．10．若a，b，c是△ABC的三边长，且a2﹣15b2﹣c2+2ab+8bc＝0，则下列式子的值为0的是（）A．a+5b﹣c B．a﹣5b+c C．a﹣3b+c D．a﹣3b﹣c【分析】用因式分解把已知等式转化为（a+5b﹣c）（a﹣3b+c）＝0，再由三角形的三边关系得a+5b﹣c＞0，进而得出结论．【解答】解：∵a2﹣15b2﹣c2+2ab+8bc＝0，∴（a2+2ab+b2）﹣（16b2﹣8bc+c2）＝0，∴（a+b）2﹣（4b﹣c）2＝0，∴（a+5b﹣c）（a﹣3b+c）＝0，∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a+b＞c，则a+5b＞c，∴a+5b﹣c＞0，∴a﹣3b+c＝0，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•徐州期末）方程（x+1）2＝4的解是x＝﹣3或x＝1．【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：∵（x+1）2＝4，∴x+1＝±2，∴x＝﹣3或x＝1，故答案为：x＝﹣3或x＝1．12．（2019秋•曲靖期末）一元二次方程x2﹣8x+a＝0，配方后为（x﹣4）2＝1，则a＝15．【分析】利用配方法求解可得．【解答】解：∵x2﹣8x＝﹣a，∴x2﹣8x+16＝16﹣a，即（x﹣4）2＝16﹣a，则16﹣a＝1，解得a＝15，故答案为：15．13．（2020秋•渠县期末）若将方程x2﹣4x+1＝0化为（x+m）2＝n的形式，则m＝﹣2．【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方后，可得m的值．【解答】解：方程x2﹣4x+1＝0，移项得：x2﹣4x＝﹣1，配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，则m＝﹣2．故答案为：﹣2．14．已知x2+y2+2x﹣4y+5＝0，则x+y＝1．【分析】先将x2+y2+2x﹣4y+5＝0分别按照x和y进行配方，再根据偶次方的非负性得出x和y的值，则x+y的值可得．【解答】解：∵x2+y2+2x﹣4y+5＝0，∴（x+1）2+（y﹣2）2＝0，∴x+1＝0，y﹣2＝0，∴x＝﹣1，y＝2，∴x+y＝1．故答案为：1．15．（2020秋•丘北县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣a＝0有一个根为x＝2，则a的值为4．【分析】把x＝2代入方程得出4﹣a＝0，再求出方程的解即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣a＝0有一个根为x＝2，∴22﹣a＝0，解得：a＝4，故答案为：4．16．（2019秋•渭滨区期末）如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2020＝1．【分析】先根据配方法求出m、n的值，再代入计算可得．【解答】解：∵x2+4x＝﹣n，∴x2+4x+4＝4﹣n，即（x+2）2＝4﹣n，又（x+m）2＝3，∴m＝2，n＝1，则（n﹣m）2020＝（1﹣2）2020＝1，故答案为：1．17．（2020秋•大同区校级期中）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求xy＝﹣6．【分析】先利用配方法对含x的式子和含有y的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出x和y的值，二者相乘可得答案．【解答】解：∵x2+y2﹣4x+6y+13＝0，∴（x2﹣4x+4）+（y2+6y+9）＝0，∴（x﹣2）2+（y+3）2＝0，∵（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0，∴（x﹣2）2＝0，（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，y+3＝0，∴x＝2，y＝﹣3．∴xy＝2×（﹣3）＝﹣6．故答案为：﹣6．18．（2020秋•鼓楼区期末）对于实数m，n，我们用符号min{m，n}表示m，n两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{x2﹣1，2x2}＝2，则x＝±3【分析】通过先比较x2﹣1与2x2的大小，然后根据新定义运算法则得到方程并解答．【解答】解：∵min{x2﹣1，2x2}＝2，∴当x2﹣1≤2x2时，则x2﹣1＝2，∴x=±3当x2﹣1≥2x2时，则2x2＝2，解得：x＝±1（舍），综上所述：x的值为：±3故答案为±3三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•思明区校级月考）解方程：（1）（x﹣1）2＝4；（2）x2+2x﹣1＝0．【分析】（1）开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移顶后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝4；x﹣1＝±2，∴x1＝3，x2＝﹣1；（2）x2+2x﹣1＝0．x2+2x＝1，（x+1）2＝2，∴x+1＝±2，∴x1＝﹣1+2，x2＝﹣1-20．（2021春•包河区期中）选择合适的方法解方程：（1）2（x+3）2＝18；（2）3x2﹣6x﹣4＝0．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用配方法求解即可．【解答】解：（1）∵2（x+3）2＝18，∴（x+3）2＝9，∴x+3＝±3，则x1＝0，x2＝﹣6；（2）∵3x2﹣6x﹣4＝0，∴3x2﹣6x＝4，∴x2﹣2x=4则x2﹣2x+1=43+1，即（x﹣1）∴x﹣1＝±213∴x1＝1+213，x2＝121．（2019秋•惠山区校级月考）解方程：（1）（x﹣2）2﹣9＝0；（2）x2﹣2x﹣5＝0．【分析】（1）首先移项，把﹣9移到方程的右边，再两边直接开平方即可；（2）方程移项后，利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）移项得：（x﹣2）2＝9，两边直接开平方得：x﹣2＝±3，则x﹣2＝3，x﹣2＝﹣3，解得：x1＝5，x2＝﹣1；（2）（2）方程移项得：x2﹣2x＝5，配方得：x2﹣2x+1＝6，即（x﹣1）2＝6，开方得：x﹣1＝±6，解得：x1＝1+6，x2＝1-22．（2020春•成都期末）（1）已知：a（a+1）﹣（a2+b）＝3，a（a+b）+b（b﹣a）＝13，求代数式ab的值．（2）已知等腰△ABC的两边分别为a、b，且a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，求△ABC的周长．【分析】（1）首先将已知条件化简，进而得出a2﹣2ab+b2＝9①，a2+b2＝13②，把②代入①可得结论；（2）首先将已知等式配方后，根据非负性可得a和b的值，根据三角形三边关系和等腰三角形的定义可得结论．【解答】解：（1）a（a+1）﹣（a2+b）＝3，a2+a﹣a2﹣b＝3，a﹣b＝3，两边同时平方得：a2﹣2ab+b2＝9①，a（a+b）+b（b﹣a）＝13，a2+ab+b2﹣ab＝13，a2+b2＝13②，把②代入①得：13﹣2ab＝9，13﹣9＝2ab，∴ab＝2；（2）a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，a2﹣6a+9+b2﹣14b+49＝0，（a﹣3）2+（b﹣7）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣7＝0，∴a＝3，b＝7，当3为腰时，三边为3，3，7，因为3+3＜7，不能构成三角形，此种情况不成立，当7为腰时，三边为7，7，3，能构成三角形，此时△ABC的周长＝7+7+3＝17．23．（2019春•正定县期末）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1；（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．【分析】（1）根据配方法的方法配方即可；（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再代入得到x+y的值；（3）将两式相减，再配方即可作出判断．【解答】解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1；（2）x2﹣4x+y2+2y+