控制系统的稳定性分析

第五章控制系统的稳定性分析§5-1系统稳定性的基本概念§5-2系统的稳定条件§5-3代数稳定判据——劳斯判据§5-4乃奎斯特稳定性判据§5-5由伯特图判断系统的稳定性§5-6控制系统的相对稳定性主要内容◆明确系统稳定的概念和稳定的条件；◆熟练掌握劳斯代数稳定判据；◆熟练掌握乃奎斯特稳定性判据以及对数频率稳定判据；◆掌握相位稳定裕量和幅值稳定裕量的定义及其计算。

第五章控制系统的稳定性分析本章基本要求控制系统能工作的首要条件是稳定——非常重要。§5-1系统稳定性的基本概念如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，经过充分长的时间，系统又能够以一定的精度逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的。否则，称这个系统是不稳定的。控制系统能工作的首要条件是稳定——非常重要。§5-1系统稳定性的基本概念由于稳定性是在扰动作用消失以后，系统自身的一种恢复能力，所以稳定性是系统的一种固有特性，它只取决于系统本身的结构和参数，而与系统的初始状态和外作用大小无关。如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，经过充分长的时间，系统又能够以一定的精度逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的。否则，称这个系统是不稳定的。设§5-2系统稳定的充要条件上式中，-si

和(-ζjωnj)分别是系统的实特征根和复特征根实部。上式表明：当系统的特征根都为负时，各暂态项才都是衰减的，且

t

→∞时，各暂态分量都趋向零；如果有任一个根的实部为正，则其对应的暂态项将是发散的，系统将不稳定。综上所述，线性定常系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于复平面的左平面（不包括虚轴）。§5-2系统稳定的充要条件则系统的特征方程为：设闭环系统的传递函数为：§5-3代数稳定判据—劳斯判据76531420aaaaaaaaLL特征方程：劳斯表1u321cccL321bbbL0321sssssnnnnM---[劳斯判据]系统稳定的充要条件是：①特征方程的各项系数大于零；②劳斯表中第一列所有元素的值均大于零。如果第一列中出现小于零的元素，系统就不稳定，且该列中数值符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目。§5-3代数稳定判据—劳斯判据[例1]已知系统特征方程为:s4+8s3+17s2+16

s+5=0试判断系统的稳定性。解：(1)列劳斯表(2)利用劳斯判据判断系统的稳定性:①特征方程的各项系数大于零;②劳斯表中第一列所有元素的值大于零。可知系统是稳定的！5515168517134001234sssss§5-3代数稳定判据—劳斯判据[例2]已知系统特征方程为:s5+2

s4+4

s2+s+2=0试判断系统的稳定性。解：(1)列劳斯表(2)利用劳斯判据判断系统的稳定性:①特征方程系数a2等于零，故系统不稳定；②劳斯表第一列中数值符号改变两次，系统有两个右平面根。212402242101012345ssssss-§5-3代数稳定判据—劳斯判据可知系统是不稳定的！[例3]对于一阶典型系统:系统的特征方程为:利用劳斯判据判断系统的稳定性:⑴特征方程的各项系数大于零，即⑵劳斯表第一列所有元素的值大于零，即§5-3代数稳定判据—劳斯判据[例4]对于二阶典型系统:利用劳斯判据判断系统的稳定性:⑴特征方程的各项系数大于零，即⑵劳斯表第一列所有元素的值大于零，即系统的特征方程为:§5-3代数稳定判据—劳斯判据[例5]已知系统特征方程为:a0s3+a1s2+a2s+a3=0试求得系统稳定的条件。解：(1)列劳斯表(2)根据劳斯判据，要使系统稳定:①特征方程的系数a0、a1、

a2、a3均大于零;②由劳斯表中第一列所有元素的值大于零得：a1a2–a0a3>0§5-3代数稳定判据—劳斯判据在运用劳斯判据判别系统的稳定性时,有时还会遇到两种特殊情况：(1)在劳斯表的任一行中,出现第一个元素为零,而其余各元素均不为零或部分不为零的情况;

(2)在劳斯表的任一行中,出现所有元素均为零的情况;

这两种情况均表明,系统在虚轴或右半复平面上存在系统的特征根,系统处于临界稳定状态或不稳定状态。§5-3代数稳定判据—劳斯判据[例6]已知系统特征方程为:s4+s3+2

s2+2

s+3=0试判断系统的稳定性。解：(1)列劳斯表(2)由劳斯判据可知：因劳斯表第一列元素中数值符号改变了两次，故系统有两个正实部根，系统不稳定。§5-3代数稳定判据—劳斯判据[例7]设系统特征方程为:s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16

s+16=0

试判断系统的稳定性。解：列劳斯表令辅助多项式将辅助多项式对

s

求导：由得系统临界稳定！168§5-3代数稳定判据—劳斯判据

一、乃奎斯特稳定性判据：设

n

阶闭环系统的开环右极点数目为p

个；开环零极点数目为q

个；其余(n-p-q)个极点为开环左极点，则乃奎斯特稳定判据可表述为：当ω从

0到∞变化时，系统的开环幅相频率特性曲线

(即开环乃氏图)相对(-1,j0)点的角变化量为[pπ+q(π/2)]时，则闭环系统稳定。或§5-4乃奎斯特稳定性判据二、乃奎斯特稳定判据的应用：分析辅助向量函数的相角:j0K-1或§5-4乃奎斯特稳定性判据j0K-1①K

较小时：闭环系统不稳定闭环系统稳定[例1]

0型系统：j0K-1②K

较大时：或§5-4乃奎斯特稳定性判据二、乃奎斯特稳定判据的应用：[例2]单位反馈系统：且0j-110乃氏曲线穿过(-1,j0)点闭环系统临界稳定！因为系统的闭环特征方程为：即特征根为：或§5-4乃奎斯特稳定性判据二、乃奎斯特稳定判据的应用：

[例3]Ⅰ型系统：且0j-1故闭环系统不稳定。可见若使闭环系统稳定，则应减小K之值，以使开环幅相特性曲线不包围(-1,0j)点。或§5-4乃奎斯特稳定性判据二、乃奎斯特稳定判据的应用：[例4]单位反馈系统：且0j-1即开环幅相特性曲线不包围(-1,0j)点，故闭环系统稳定。或§5-4乃奎斯特稳定性判据二、乃奎斯特稳定判据的应用：[例5]单位反馈系统：例如且0j-1即开环幅相特性曲线不包围(-1,0j)点，故闭环系统稳定。或§5-4乃奎斯特稳定性判据二、乃奎斯特稳定判据的应用：[例6]II型:单位反馈系统：且0j-10j-1或§5-4乃奎斯特稳定性判据二、乃奎斯特稳定判据的应用：[例7]单位反馈系统：0j-1且即开环幅相特性曲线不包围(-1,0j)点，故闭环系统稳定。或§5-4乃奎斯特稳定性判据二、乃奎斯特稳定判据的应用：或若有，则闭环系统稳定。

对于最小相位系统，开环右极点数目

p=0，若有，则闭环系统稳定。对于非最小相位系统而言，即开环不稳定，§5-4乃奎斯特稳定性判据二、乃奎斯特稳定判据的应用：小结[例8]单位反馈系统：且0j-1①K>1时：故闭环系统稳定。②K<1时：故闭环系统不稳定。或非最小相位系统(了解)§5-4乃奎斯特稳定性判据二、乃奎斯特稳定判据的应用：[例9]单位反馈系统：0j-1且故闭环系统不稳定。或系统特征方程§5-4乃奎斯特稳定性判据二、乃奎斯特稳定判据的应用：[例10]0j-1故闭环系统稳定。该单位反馈系统的开环传函为：或且§5-4乃奎斯特稳定性判据二、乃奎斯特稳定判据的应用：由伯特图(即对数稳定判据)来判断系统的稳定性，实际上是乃奎斯特稳定性判据的另一种形式。j-1[-20][-40]若开环稳定(最小相位)，且在对数幅频L(

)≥0的所有角频率范围内，对应相角都大于-180°，则闭环系统稳定。[-60][-40][-20]-270°-180°100

10

1

0.1

ω(rad/s)0

20

40

-90°L(ω)(dB)φ(ω)§5-5由伯特图判断系统的稳定性由伯特图(即对数稳定判据)来判断系统的稳定性，实际上是乃奎斯特稳定性判据的另一种形式。对数频率稳定判据：

闭环系统稳定的充要条件是在开环对数幅频特性曲线的正值区间内即L(

)≥0,开环对数相频特性曲线对-180°线的正穿越次数与负穿越次数之差等于开环右极点数目p

的一半,即N正-N负=

p/2-180°+-§5-5由伯特图判断系统的稳定性[例1]：设系统的开环传递函数为②开环对数频率特性曲线ω(rad/s)-270°-180°100

10

1

0.1

0

20

40

-90°L(ω)(dB)φ(ω)[-20][-40]①开环幅相特性曲线-10jN正-N负=

0

=

p/2

故闭环系统稳定！§5-5由伯特图判断系统的稳定性[例2]：设系统开环传函为：①开环幅相特性曲线N正-N负=

-1

≠

p/2=0

,故闭环系统不稳定！[-20][-60]②开环对数频率特性曲线ω(rad/s)0.11

10

10002040-90°L(ω)(dB)-180°-270°φ(ω)0j-15§5-5由伯特图判断系统的稳定性[例3]:单位反馈系统且0j-1[-20][-40][-40]-180°-90°-270°0ω(rad/s)L(ω)(dB)N正-N负=

0

=

p/2

故闭环系统稳定！①开环幅相特性曲线②开环对数频率特性曲线§5-5由伯特图判断系统的稳定性[例3]:单位反馈系统且0j-1①开环幅相特性曲线②开环对数频率特性曲线[-40][-40][-60]-180°-90°-270°0ω(rad/s)L(ω)(dB)N正-N负=

-1

≠

p/2=0

,故闭环系统不稳定！§5-5由伯特图判断系统的稳定性幅值裕量LKg>0§5-6控制系统的相对稳定性j0K-1相位裕量γ幅值裕量

Kg稳定裕量Γγ-180°相位裕量γ>0例1.已知单位反馈系统的开环传函:试求γ=45°时的开环放大系数K之取值以及此系统的幅值裕度？解：⑴在极坐标下分析：0j-1γrad/s即§5-6控制系统的相对稳定性例1.已知单位反馈系统的开环传函:试求γ=45°时的开环放大系数K之取值以及此系统的幅值裕度？解：⑵在单对数坐标下分析：10

20

40

-90°L(ω)(dB)-180°-270°φ(ω)ω

(rad/s)1

0

100γ[-20][-40]积分环节过（1，20lgK）点对应ωc

=10rad/s

处，故§5-6控制系统的相对稳定性[-20]ω(rad/s)0.1

1

0

L(ω)(dB)20

40

-90°-180°-270°φ(ω)10[-60]例2.

某最小相位系统的开环渐近对数幅频和相频曲线