九年级下数学《28.1-锐角三角函数》课件

问题为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．ABC分析：情境探究在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于?思考ABC50m30mB'C'AB'＝2B'

C'

＝2×50＝100在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得因此即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比

，你能得出什么结论？?思考ABC

对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边的比值也是惟一确定的吗？想一想

直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫∠A的对边与邻边，用a、b表示．┓CAB斜边c邻边对边abCAB┓CAB在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系．你能解释一下吗？探究ABCA'B'C'

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即一个角的正弦表示定值、比值、正值．知识要点正弦【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．ABCABC┓┓68(1)(2)ABC┓68(1)解:设如图所示,在Rt△ABC中,因此ABC┓(2)解:设如图所示,在Rt△ABC中,因此如图，求sinA和sinB的值．ABCABC┓┓10(1)(2)26940小练习

如图，在直角三角形ABC中，∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'探究ABCA'B'C'在直角三角形ABC中，∠C＝90°，当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比随之确定，此时，其他边之间的比是否随之确定呢？为什么？

在Rt△ABC中，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比都是一个固定值．

在Rt△ABC中，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边边与斜边的比、∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比都是一个固定值．归纳

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即一个角的余弦表示定值、比值、正值．知识要点余弦

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即一个角的余切表示定值、比值、正值．知识要点正切

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即一个角的余切表示定值、比值、正值．知识要点余切tan30°=?ABC┌锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？tan45°=tan60°=??

锐角三角函数锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数（trigonometricfunctionofacuteangle）知识要点1．sinA、cosA、tanA、cotA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)．

2．sinA、cosA、tanA、cotA是一个比值（数值）．

3．sinA、cosA、tanA、cotA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关．归纳

【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=24，sinA=，求cosA、tanB的值．ABC┓24解：∵∴又∴ABC┓24

分别求出下列直角三角形中的锐角的正弦值、余弦值和正切值、余切值．ABC┓（1）ABC┓5（2）257小练习

如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍，tanA的值（）

A．扩大100倍B．缩小100倍

C．不变D．不能确定ABC┌C

抢答

如图,观察一副三角板:它们其中有几个锐角?分别是多少度?分别求出这几个锐角的三角函数．ABC30°12sin30°=cos30°=tan30°=cot30°=┓ABC45°11sin45°=cos45°=tan45°=cot45°=11┓ACB60°12sin60°=cos60°=tan60°=cot60°=┓30°45°60°sinαcosαtanαcotα特殊角的三角函数值表自变量α的取值范围是：各因变量的取值范围是：

0°＜α＜90°正弦

0＜sinα＜1余弦0＜cosα＜1正切tanα>0余切cotα>0

根据上面表格，思考以下问题：

各个函数值随着自变量α的增大而怎样变化？tanα与cotα有怎样的关系？

sinα、tanα随着自变量α的增大而增大

cosα、cotα随着自变量α的增大而减小tanα•cotα=1

当两角互余时，这两角的正弦和余弦有怎样的关系？正切和余切呢？sinα=cos（90°－α）cosα=sin（90°－α）tanα=cot（90°－α）cotα=

tan（90°－α）

sin2α+cos2α=1【例3】求下列各式的值：解：(1)sin60°+cos45°;(2)sin230°+cos245°+tan60°．解:(1)sin30°+cos45°(2)sin260°+cos260°-cot45°小练习

如果知道一个角的三角函数的数值，你能求出这个角是多少度吗？(1)已知，则∠A＝________;(2)已知，则∠B＝________;(3)已知，则∠C＝________;(4)已知，则∠D＝________;30°60°60°30°探究由锐角的三角函数值反求锐角∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=归纳

【例4】

如图:一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边摆动的角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m)．∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m．∠AODOD=2.5m,解:如图,根据题意可知,∴AC=2.5-2.165≈0.34(m)．

如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A，∠B

，∠C的对边分别是a，b，c．求证:sin2A+cos2A=1．证明：小练习bABCac┏

如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m．已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=17°，那么缆车垂直上升的距离是多少?解：在Rt△ABC中,∠C=90°,

BC=ABsin17°．

你知道sin17°等于多少吗?用科学计算器求锐角的三角函数值：sincostan

用计算器求sin18°，cos53°，tan72°,cot65°和sin72°

38′25″的三角函数．按键的顺序显示结果sin18°cos53°tan72°cot62°sin72°

38′25″sin18°′″0.309016994cos53°′″0.601815023tan72°′″3.732050808sin72°′″38°′″25°′″0.954450312====cot62°′″=0.531709432

用计算器求三角函数值时,结果一般有10个数位．本书约定,如无特别声明,计算结果一般精确到万分位．

所以我们可以用计算器求得缆车上升的垂直距离：BC=ABsin17°≈200×0.2924≈58.48（m）．

如图，为了方便行人，市政府在10m高的天桥．两端修建了40m长的斜道．这条斜道的倾斜角是多少?如图，在Rt△ABC中,∠A是多少度?ABC40m10m

如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤．在接受放射性治疗时,为了最大限度地保证疗效,并且防止伤害器官,射线必需从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮下6.3cm的A处,射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求射线的入射角度．解:如图，在Rt△ABC中，AC=6.3cm，BC=9.8cm．∴∠B≈32°44′13″．因此，射线的入射角度约为32°44′13″．小练习

已知三角函数值求角度,要用到三个键,和第二功能键和．sincostan按键的顺序显示结果sinA=0.9816cosA=0.8607tanA=0.1890tanA=56.782ndsin0．sin=0.9816=78.991840392nd

cos0．cos=0.8607=30.604730072ndtan0．tan=0.1890=10.702657492ndtan56．78tan=56.78=88.99102049981=sin-1cos-1tan-1shift816=607=890=

上表的显示结果是以度为单位的,再按键即可显示以“度,分,秒”为单位的结果．dms根据下列条件计算器求∠θ的大小:(1)tanθ=2.9888;(2)sinθ=0.3957;(3)cosθ=0.7850;(4)tanθ=0.8972．小练习71.5°23.3°38.3°41.9°1．锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切函数，统称为锐角∠A的三角函数．2．30°、45°、60°角的三角函数值．3．锐角α的三角函数值的取值范围．4．三角函数的增减性：正弦

0＜sinα＜1正切tanα>0余弦0＜cosα＜1余切cotα>0sinα、tanα随着自变量α的增大而增大cosα、cotα随着自变量α的增大而减小课堂小结tanα•cot（90°-α）

=1

sin2α

+cos2（90°-α）

=1sinα=cos（90°-α）cosα=sin（90°-α）tanα=cot（90°-α）cotα=

tan（90°-α）5．三角函数的几个重要关系式1．当∠A为锐角，且tanA的值大于时，∠A（）A．小于30°B．大于30°C．小于60°D．大于60°D随堂练习2．当∠A为锐角，且cotA的值小于时，∠A（）A．小于30°B．大于30°C．小于60°D．大于60°D当∠A为锐角，且c