二次根式材料阅读探究大题30题八年级数学上册尖子生培优题典2

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题16.10二次根式材料阅读探究大题专题30题〔重难点培优〕姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共30题，解答30道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、解答题〔本大题共30小题，共100分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕1．〔2021春•越城区校级月考〕点P〔x，y〕是平面直角坐标系中的一点，点A〔1，0〕为x轴上的一点．〔1〕用二次根式表示点P与点A的距离；〔2〕当x＝4，y=11时，连接OP、PA，求PA+PO〔3〕假设点P位于第二象限，且满足函数表达式y＝x+1，求x2【分析】〔1〕利用两点间的距离公式进行解答；〔2〕利用两点间的距离公式求得OP、PA，然后求PA+PO；〔3〕把y＝x+1代入所求的代数式进行解答．【解析】〔1〕点P与点A的距离：(x〔2〕∵x＝4，y=11，P〔x，y〕，A〔1，0∴P〔4，11〕，∴PA=(4-1)2+(11)2=PA+PO＝25+33〔3〕∵点P位于第二象限，∴x＜0，y＞0，又∵y＝x+1，∴x2+y2=|x|+|y|＝﹣x+y＝﹣x+x+1＝12．〔2021春•庐阳区校级期中〕观察以下等式：①2×4+1=3②3×5+1=4③4×6+1〔1〕写出式⑤：6×8+1=7〔2〕试用含n〔n为自然数，且n≥1〕的等式表示这一规律，并加以验证．【分析】〔1〕根据规律解答即可；〔2〕根据完全平方公式以及二次根式的性质解答即可．【解析】〔1〕式⑤：6×8+1=7故答案为：6×8+1=7〔2〕第n个等式为(n+1)(n∵n为自然数，且n≥1，∴(n+1)(n3．〔2021春•沭阳县期末〕小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+22=(1+设a+b2=(m+n2)2〔其中a、b、m、n均为整数〕，那么有：a+b2=m2+2n2+2mn2，∴a＝请你仿照小明的方法探索并解决以下问题：〔1〕当a、b、m、n均为正整数时，假设a+b3=(m+n3)2，用含m、n的式子分别表示a、b得：a＝m2+3n2〔2〕利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+43=〔2+3〕〔3〕请化简：12-6【分析】〔1〕利用完全平方公式展开得到〔m+n3〕2＝m2+3n2+23mn，从而可用m、n表示a、b；〔2〕直接利用完全平方公式，变形得出答案；〔3〕直接利用完全平方公式，变形化简即可．【解析】〔1〕〔m+n3〕2＝m2+3n2+23mn，∴a＝m2+3n2，b＝2mn．故答案为m2+3n2，2mn；〔2〕7+43=〔2+3〕故答案为：〔2+3〕2〔3〕∵12﹣63=〔3-3〕∴12-63=(3-4．〔2021春•昭通期末〕在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2021年6月份的日历，我们选择其中被框起的局部，将每个框中三个位置上的数作如下计算：92-2×16=81-32=49〔1〕请你再在图中框出一个类似的局部并加以验证；〔2〕请你利用整式的运算对以上规律加以证明．【分析】〔1〕直接选择一组数据代入计算得出答案；〔2〕利用3个数据之间的关系进而计算得出答案．【解析】〔1〕解：答案不唯一，如：1==＝7；〔2〕证明：设中间那个数为n，那么：∵n===＝7，∴n2-5．〔2021春•霍邱县期末〕观察以下等式：第1个等式：(1第2个等式：(2第3个等式：(3第4个等式：(4…按照以上规律，解决以下问题：〔1〕写出第5个等式：〔5+1〕〔6-5〕＝55+〔2〕写出你猜测的第n个等式：〔n+1〕〔n+1-n〕＝nn+1【分析】〔1〕根据所给等式可得答案；〔2〕首先写出第n个等式，然后再利用二次根式的乘法进行计算即可．【解析】〔1〕解：〔5+1〕〔6-5〕＝55故答案为：〔5+1〕〔6-5〕＝55〔2〕〔n+1〕〔n+1-n〕＝nn证明：∵(∴(n故答案为：〔n+1〕〔n+1-n〕＝nn6．〔2021秋•三水区校级期中〕在解决问题：“a=12-1，求3a2﹣6∵a=12∴a﹣1=∴〔a﹣1〕2＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a＝3，∴3a2﹣6a﹣1＝2．请你根据小明的解答过程，解决以下问题：〔1〕化简：22-〔2〕假设a=13+22，求2a2﹣12a【分析】〔1〕根据平方差公式计算；〔2〕利用分母有理化把a化简，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．【解析】〔1〕22-5=2(2+5〔2〕a=13+22=3-2那么2a2﹣12a﹣1＝2〔a2﹣6a+9﹣9〕﹣1＝2〔a﹣3〕2﹣19＝2〔3﹣22-3〕2﹣＝﹣3．7．〔2021秋•乐亭县期末〕先阅读，再解答由(5+3)(〔1〕2-1的有理化因式是2+1〔2〕化去式子分母中的根号：232=23，〔3〕2019-2018＜〔4〕利用你发现的规律计算以下式子的值：(【分析】〔1〕根据有理化因式的定义求解；〔2〕利用分母有理化计算；〔3〕通过比拟它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到12019-2018〔4〕先根据规律1n【解析】〔1〕2-1的有理化因式是2+故答案为2+1〔2〕232=22故答案为23，3+〔3〕12019-2018∵2019＞∴12019∴2019-故答案为＜；〔4〕原式＝〔2-1+3-2＝〔2018-1〕〔2018+＝2021﹣1＝2021．8．〔2021秋•郫都区期末〕阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=〔1+2〕设a+2b＝〔m+2n〕2〔其中a、b、m、n均为正整数〕，那么有a+2b＝m2+2n2+2∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把局部a+2b请你仿照小明的方法探索并解决以下问题：〔1〕当a、b、m、n均为正整数时，假设a+6b＝〔m+6n〕2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+6n2，b＝2〔2〕假设a+43=〔m+3n〕2，且a、m、n均为正整数，求〔3〕化简：7-21+【分析】〔1〕利用完全平方公式展开得到〔m+6n〕2＝m2+6n2+26mn，从而可用m、n表示a、b〔2〕直接利用完全平方公式，变形得出答案；〔3〕直接利用完全平方公式，变形化简即可．【解析】〔1〕∵〔m+6n〕2＝m2+6n2+26mn，a+6b＝〔m+6n∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案为m2+6n2，2mn；〔2〕∵〔m+3n〕2＝m2+3n2+23mn，a+43=〔m+3n∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均为正整数，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；〔3〕21+80=20+45那么7-====5-9．〔2021春•长兴县月考〕阅读以下材料，解答后面的问题：在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：①要使二次根式a-2有意义，那么需a﹣2≥0，解得：a≥②化简：1+1n2+1(n所以1+1n2+1〔1〕根据二次根式的性质，要使a+23-a〔2〕利用①中的提示，请解答：如果b=a-2+2-a〔3〕利用②中的结论，计算：1+1【分析】〔1〕根据二次根式成立的条件求解即可；〔2〕根据二次根式成立的条件求出a，b的值，进而求解即可；〔3〕利用②中的结论求解即可．【解析】〔1〕由题意得，a+2≥0∴﹣2≤a＜3；〔2〕由题意得，a-∴a＝2，∴b=2-2+2-2+1＝∴a+b＝2+1＝3；〔3〕原式＝〔1+11-12〕+〔1+12-＝1×2021+1-＝20212020202110．〔2021秋•渝中区校级月考〕先阅读，再解答问题：恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．例如：当x=3+1时，求12x3﹣x2﹣为解答这道题，假设直接把x=3+方法：将条件变形，因x=3+1，得x﹣1由x﹣1=3，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x+2原式=12x〔2x+2〕﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：〔1〕假设x=2-1，求2x3+4x2﹣3x〔2〕x＝2+3，求x【分析】〔1〕变形条件得到x+1=2，两边平方得到x2+2x＝1，再利用降次和整体代入的方法表示原式化为﹣x+1，然后把x〔2〕变形条件，利用平方的形式得到x2﹣4x＝﹣1或x2＝4x﹣1，再利用降次和整体代入的方法化简原式，从而得到原式的值．【解析】〔1〕∵x=2-∴x+1=2∴〔x+1〕2＝2，即x2+2x+1＝2，∴x2+2x＝1，∴原式＝2x〔x2+2x〕﹣3x+1＝2x﹣3x+1＝﹣x+1＝﹣〔2-1〕＝2-2〔2〕∵x＝2+3∴x﹣2=3∴〔x﹣2〕2＝3，即x2﹣4x+4＝3，∴x2﹣4x＝﹣1或x2＝4x﹣1，∴原式==12〔16x2﹣8x+1﹣4x2+x﹣36x+9﹣5x=12[12〔4x﹣1〕﹣48x=12〔48x﹣12﹣48x=1=311．小琪在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，例如：4+23=4+2×1×3=12+〔3〕2+2×1×3=〔〔1〕在括号内填上适当的数：16+67=16+2×3×7=〔3〕2+〔7〕2+2×3×7=〔〔2〕假设a+46=〔2+6〕2，求【分析】〔1〕把16分成7和9，写成一个完全平方公式形式即可；〔2〕展开平方项，进而可以求出a的值．【解析】〔1〕16+67=16+2×3×7=〔3〕2+〔7〕2+2×3×7=〔故答案为3；7；3+〔2〕a+46=〔2+6〕2＝4+46+6＝即a＝10．12．〔2021秋•吴江区期中〕阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子〞．如：(2+3)(2-3)=1，(5+解决问题：〔1〕4-7的有理化因式可以是4+7，32〔2〕计算：①x=3+13-1，y②11+【分析】〔1〕找出各式的分母有理化因式即可；〔2〕①将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．【解析】〔1〕4-7的有理化因式可以是4+32故答案为：4+7，3〔2〕①当x=3+13y=3-1x2+y2＝〔x+y〕2﹣2xy＝〔2+3+2-3〕2﹣2×〔2+3＝16﹣2×1＝14．②原式=2-=2000＝205-113．〔2021秋•碑林区校级月考〕在解决问题“a=12-1，求3a2﹣6a∵a=12∴a﹣1=2∴〔a﹣1〕2＝2，a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：〔1〕化简：23-〔2〕假设a=13+22，求2a2﹣12【分析】〔1〕分子、分母都乘以3+7〔2〕将a的值的分子、分母都乘以3﹣22得a＝3﹣22，据此先后求出a﹣3、〔a﹣3〕2及a2﹣6a、2a2﹣12a的值，代入计算可得答案．【解析】〔1〕23-7=〔2〕∵a=13+22=3-2∴a﹣3＝﹣22，∴〔a﹣3〕2＝8，即a2﹣6a+9＝8，∴a2﹣6a＝﹣1，∴2a2﹣12a＝﹣2，那么2a2﹣12a+1＝﹣2+1＝﹣1．14．〔2021春•曲阜市期末〕“双剑合璧，天下无敌〞，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子〞，如：〔2+3〕〔2-3〕＝1，(5+2)(5-像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．解决以下问题：〔1〕将12分母有理化得22；2+1的有理化因式是2〔2〕化简：25〔3〕化简：12【分析】〔1〕分子、分母都乘以2即可得；有理化因式可以利用平方差公式求解可得；〔2〕分子、分母都乘以5-〔3〕原式变形为2-1+【解析】〔1〕12〔2+1〕〔2-1〕＝〔2〕2﹣12＝2﹣1＝1，即2+1的有理化因式是故答案为：22，2-〔2〕25故答案为：5-〔3〕原式=2-=100＝10﹣1＝9．15．〔2021春•西湖区校级月考〕在解决问题“a=12+3，求2a2﹣∵a∴a-2=-3，∴〔a﹣2〕2＝3，a2﹣4a∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2〔a2﹣4a〕+1＝2×〔﹣1〕+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：〔1〕化简：25〔2〕假设a=12-1，求代数式a【分析】〔1〕根据分母有理化可以解答此题；〔2〕先化简a，即可得到a﹣1的值，从而可以求得所求式子的值．【解析】〔1〕25〔2〕∵a=∴a﹣1=2∴a〔a﹣1〕＝〔2+1〕＝2+216．〔2021•滦南县一模〕在解决问题“a=12+3，求2a2﹣8∵a=12+∴a﹣2=-3，∴〔a﹣2〕2＝3，a2﹣4a+4＝∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2〔a2﹣4a〕+1＝2×〔﹣1〕+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：〔1〕化简：2〔2〕假设a=12-1，求3a2﹣6【分析】〔1〕将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解；〔2〕将a分母有理化得a=2+1，移项并平方得到a2﹣2a＝【解析】〔1〕2==5〔2〕∵a==2+∴a﹣1=2∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1∴3a2﹣6a＝3∴3a2﹣6a﹣1＝2．17．〔2021春•庐江县期末〕观察以下等式：答复以下问题：①1+112+②1+122+③1+132+1〔1〕根据上面三个等式的信息，猜测1+142+〔2〕请按照上式反响的规律，试写出用n表示的等式；〔3〕验证你的结果．【分析】根据观察，可得规律：1+1n2【解析】〔1〕根据上面三个等式的信息，猜测1+142故答案为：1120〔2〕1+1n2〔3〕1+===＝1+118．〔2021秋•淮阳区校级月考〕阅读下面的文字再答复以下问题甲、乙两人对题目：“化简并求值：2a+1a甲的解答是：2a+1a2乙的解答是2a+1a〔1〕填空：乙的解答是错误的；〔2〕解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质？请用含字母a的式子表示这个性质〔3〕请你正确运用上述性质解决问题：当3＜x＜5时，化简x【分析】根据材料，读懂材料，然后根据二次根式的性质解答．【解析】〔1〕乙的做法错误．当a=14时，1a故答案为：乙〔2〕当a＜0时，a2〔3〕∵3＜x＜5，∴x﹣7＜0，2x﹣5＞0．x2-14x+49+(2x-519．〔2021秋•永安市期中〕阅读以下解题过程：12+1=2-1那么：〔1〕110+9〔2〕观察上面的解题过程，请直接写出式子1n〔3〕利用这一规律计算：〔12+1+1【分析】〔1〕根据题目中的例子，可以求得所求式子的值；〔2〕根据题目中的例子，可以写出所求式子的值；〔3〕根据题目中式子的特点，可以求得所求式子的值．【解析】〔1〕110+故答案为：=10-〔2〕1n故答案为：n+〔3〕〔12+1+1＝〔2-1+3-＝〔2019-1〕〔2019+＝2021﹣1＝2021．20．〔2021春•安宁市校级期中〕阅读下面问题：121314试求：〔1〕求17〔2〕当n为正整数时1n〔3〕11+【分析】〔1〕根据题目中的例子，可以将所求式子化简；〔2〕根据题目中的例子，可以将所求式子化简；〔3〕先将所求式子变形，然后计算即可．【解析】〔1〕17故答案为：7-〔2〕1n故答案为：n+1〔3〕1=2-=100＝10﹣1＝9．21．〔2021春•惠城区期末〕观察以下各式及其验算过程：2+23=223，验证：3+38=338〔1〕按照上述两个等式及其验证过程的根本思路，猜测4+4〔2〕针对上述各式反映的规律，写出用n〔n为大于1的整数〕表示的等式并给予验证．【分析】〔1〕利用，观察2+23=223，3+3〔2〕由〔1〕根据二次根式的性质可以总结出一般规律；【解析】〔1〕∵2+23=223，∴4+415=44验证：4+4〔2〕由〔1〕中的规律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，∴n+验证：n+22．〔2021春•五莲县期中〕小明在解决问题：a=12+3，求2a2﹣8a+12-3∴a﹣2=-3∴〔a﹣2〕2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2〔a2﹣4a〕+1＝2×〔﹣1〕+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：〔1〕化简1〔2〕假设a=12-1，①求4a2﹣②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1＝0；2a2﹣5a+1a+2＝【分析】〔1〕将原式分母有理化即可；〔2〕将a分母有理化，化简为2+1，代入①，②【解析】〔1〕原式=12×=12×〔=1＝5；〔2〕①∵a=2∴4a2﹣8a+1＝4×(2+1)2-8＝5；②a3﹣3a2+a+1=(2+1)3-3＝7+52-〔9+62〕＝0；2a2﹣5a+1＝2×(＝2；故答案为：0，2．23．〔2021秋•沿河县期末〕在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如53，23，222以上这种化简的步骤叫做分母有理化．23+1〔1〕请用不同的方法化简25〔2〕化简：13【分析】〔1〕分式的分子和分母都乘以5-3，即可求出答案；把2看出5﹣〔2〕先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．【解析】〔1〕①②2〔2〕原式==224．〔2021秋•雁塔区校级月考〕先来看一个有趣的现象：223=83=22×23=22〔1〕猜测：5524=〔2〕你能只用一个正整数n〔n≥2〕来表示含有上述规律的等式吗？〔3〕证明你找到的规律；〔4〕请你另外再写出1个具有“穿墙〞性质的数．【分析】根据观察等式，可发现规律，根据规律，可得答案．【解析】〔1〕5555〔2〕n+nn〔3〕证明：n+〔4〕6625．〔2021秋•新罗区校级月考〕阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=〔1+2〕设a+b2=〔m+n2〕2〔其中a、b、m、n均为正整数〕，那么有a+b2=m2+2n2+2mn2，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把局部a+b请你仿照小明的方法探索并解决以下问题：〔1〕当a、b、m、n均为正整数时，假设a+b3=〔m+n3〕2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn〔2〕利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：4+23=〔1+13〕2〔3〕化简：14+65=3【分析】〔1〕模仿例题可以解决问题；〔2〕取m＝n＝1，可得a＝4，b＝2；〔答案不唯一〕〔3〕根据14+65=〔3+5〕【解析】〔1〕∵a+b3=〔m+n3〕2∵a+b3=m2+2mn3+3n∴a＝m2+3n2，b＝2mn．故答案为m2+3n2，2mn．〔2〕取m＝n＝1，可得a＝4，b＝2；∴4+23=〔1+3故答案为：4，2，1，1；〔3〕∵14+65=〔3+5〕∴14+65=3故答案为3+526．〔2021春•西湖区校级月考〕一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=〔1+2〕设a+b2=(m+n2)2〔其中a、b、m、n均为正整数〕，那么有a+b2=m2+2n2+2mn2，∴a＝m2+2n2，b＝请你仿照上述的方法探索并解决以下问题：〔1〕当a、b、m、n均为正整数时，假设a+b3=〔m+n3〕2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn〔2〕利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：21+45=〔1+25〕2〔3〕化简1【分析】〔1〕将〔m+n3〕2用完全平方公式展开，与原等式左边比拟，即可得答案；〔2〕设a+b5=(m+n5)2，那么(m+n5)2=m2+2mn5+5n2，比拟完全平方式右边的值与a+〔3〕利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化