课下梯度训练（九）等比数列的前n项和

课时跟踪检测（九）等比数列的前n项和层级(一)“四基”落实练1．已知等比数列{an}的公比为2，前4项和是1，则该数列的前8项和为()A．15 B．17C．19 D．21解析：选B由题意得eq\f(a11－24,1－2)＝1，解得a1＝eq\f(1,15)，所以该数列的前8项和为eq\f(\f(1,15)×1－28,1－2)＝17.2．已知数列{an}满足an＋1＝3an(n∈N*)，且a1＝2，则a1＋a2＋a3＋…＋an等于()A．3n－1 B．3nC．3n－1－1 D．3n－1解析：选A由an＋1＝3an(n∈N*)可得数列{an}为等比数列，所以a1＋a2＋a3＋…＋an＝eq\f(21－3n,1－3)＝3n－1，故选A.3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝3，S4＝15，则S3等于()A．7 B．－9C．7或－9 D.eq\f(63,8)解析：选C设等比数列{an}的公比为q.由题意，得S2＝a1＋a2＝3，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋q2)S2＝3(1＋q2)＝15，解得q＝－2或2，当q＝2时，S2＝a1＋a2＝a1(1＋q)＝3，解得a1＝1，所以S3＝7；当q＝－2时，S2＝a1＋a2＝a1(1＋q)＝3，解得a1＝－3，所以S3＝－9.故选C.4．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于()A．40 B．60C．32 D．50解析：选B由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S9－S6＝16，S6＝12，S12－S9＝32，S12＝32＋16＋12＝60.5．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且eq\f(an＋1,an)<1.若a3＋a5＝20，a3a5＝64，则S4等于()A．63或120 B．256C．120 D．63解析：选C由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a5＝20，,a3a5＝64，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝16，,a5＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝4，,a5＝16.))又eq\f(an＋1,an)<1，所以数列{an}为递减数列，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝16，,a5＝4.))设等比数列{an}的公比为q，则q2＝eq\f(a5,a3)＝eq\f(1,4)，因为数列为正项等比数列，所以q＝eq\f(1,2)，从而a1＝64，所以S4＝eq\f(64×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4)),1－\f(1,2))＝120.选C.6．若等比数列{an}的公比为eq\f(1,3)，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________．解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y.由等比数列前n项和性质知：eq\f(Y,X)＝q＝eq\f(1,3)，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.答案：807．对于数列{an}，若点(n，an)(n∈N*)都在函数f(x)＝2x的图象上，则数列{an}的前4项和S4＝________.解析：由题设可得an＝2n，故eq\f(an,an－1)＝2，故{an}为等比数列，其首项为2，公比为2，故S4＝eq\f(21－24,1－2)＝30.答案：308．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.解：(1)设q(q＞0)为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n.(2)由(1)及已知得an＋bn＝2n＋(2n－1)，所以Sn＝eq\f(21－2n,1－2)＋n×1＋eq\f(nn－1,2)×2＝2n＋1＋n2－2.9．在等比数列{an}中，a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝a2n－1－a2n，求数列{bn}的前2n项和T2n.解：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2a3＝2a1，,a4＋2a7＝34，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q3＝2，,a1q3＋2a1q6＝34，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,4)，,q＝2，))则an＝a1qn－1＝2n－3.(2)bn＝a2n－1－a2n＝eq\f(22n－3,2)－22n－3＝－22n－4，故数列{bn}是首项为－eq\f(1,4)，公比为4的等比数列，故数列{bn}的前2n项和T2n＝eq\f(－\f(1,4)1－42n,1－4)＝eq\f(1,12)(1－42n)．层级(二)能力提升练1．已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝3a3，则S5等于()A．1 B．5C.eq\f(31,48) D.eq\f(11,16)解析：选D由题意得eq\f(a11－q3,1－q)＝3a1q2，解得q＝－eq\f(1,2)或q＝1(舍去)，所以S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))5,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\f(11,16).2．(多选)已知等比数列{an}公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则下列说法正确的是()A．{an}为单调递增数列B.eq\f(S6,S3)＝9C．S3，S6，S9成等比数列D．Sn＝2an－a1解析：选BD由a6＝8a3，可得q3a3＝8a3，则q＝2，当首项a1<0时，可得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))为单调递减数列，故A错误；由eq\f(S6,S3)＝eq\f(1－26,1－23)＝9，故B正确；假设S3，S6，S9成等比数列，可得Seq\o\al(2,6)＝S9×S3，即(1－26)2＝(1－23)(1－29)，显然此式不成立，S3，S6，S9不成等比数列，故C错误；由{an}为公比为q的等比数列，可得Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)＝eq\f(2an－a1,2－1)＝2an－a1，故D正确．故选B、D.3．已知数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)，且b1＝a2，则|b1|＋|b2|＋…＋|bn|等于()A．1－4n B．4n－1C.eq\f(1－4n,3) D.eq\f(4n－1,3)解析：选B因为q＝an－an－1＝－4，b1＝a2＝－3，所以bn＝b1qn－1＝－3×(－4)n－1，所以|bn|＝|－3×(－4)n－1|＝3×4n－1，即{|bn|}是首项为3，公比为4的等比数列，所以|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝eq\f(31－4n,1－4)＝4n－1，故选B.4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列命题一定正确的是()A．若S2020>0，则a1>0 B．若S2021>0，则a1>0C．若S2020>0，则a2>0 D．若S2021>0，则a2>0解析：选B当q＝1时，若S2020＝2020a1>0，则a1>0，a2>0；当q≠1时，S2020＝eq\f(a11－q2020,1－q)>0分以下几种情况，当q<－1时，a1＜0，此时a2＝a1q>0；当－1＜q＜0时，a1＞0，此时a2＝a1q＜0；当0＜q＜1时，a1＞0，此时a2＝a1q＞0；当q>1时，a1>0，此时a2＝a1q>0.故当S2020>0时，a1与a2可正可负，故排除A、C.当q＝1时，若S2021＝2021a1＞0，则a1＞0，a2＞0；当q≠1时，S2021＝eq\f(a11－q2021,1－q)>0，由于1－q2021与1－q同号，故a1>0，所以a2＝a1q的符号随q的正负变化，故D不正确，B正确．5．已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1的值．解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a4＝a1q＋a1q3＝20，,a3＝a1q2＝8，))整理可得2q2－5q＋2＝0，∵q＞1，∴q＝2，a1＝2，数列的通项公式为an＝2·2n－1＝2n.(2)由于(－1)n－1anan＋1＝(－1)n－1×2n×2n＋1＝(－1)n－122n＋1，故a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1＝eq\f(23[1－－22n],1－－22)＝eq\f(8,5)－(－1)neq\f(22n＋3,5).层级(三)素养强化练1．将数列{an}中的所有项按第一行三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12…记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知：①在数列{bn}中，b1＝1，对于任何n∈N*，都有(n＋1)bn＋1－nbn＝0；②表中每一行的数从左到右均构成公比为q(q＞0)的等比数列；③a66＝eq\f(2,5).请解答以下问题：(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求上表中第k(k∈N*)行所有项的和S(k)．解：(1)由(n＋1)bn＋1－nbn＝0，得数列{nbn}为常数列，故nbn＝1·b1＝1，∴bn＝eq\f(1,n).(2)∵3＋4＋…＋11＝63，∴表中第一行至第九行共含有{an}的前63项，a66在表中第十行第三列．故a66＝b10·q2.又a66＝eq\f(2,5)，b10＝eq\f(1,10)，q＞0，∴q＝2，故S(k)＝eq\f(bk1－qk＋2,1－q)＝eq\f(1,k)(2k＋2－1)．2．在①a2＋a3＝a5－b1，②a2·a3＝2a7，③S3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，若________，数列{bn}满足b1＝1，b2＝eq\f(1,3)，anbn＋1＝nbn－bn＋1.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和Tn.解：(1)若选①：∵anbn＋1＝nbn－bn＋1，∴当n＝1时，a1b2＝b1－b2，∵b1＝1，b2＝eq\f(1,3)，∴a1＝2.又∵a2＋a3＝a5－b1，∴2a1＋3d＝a1＋4d－b1，∴d＝3，∴an＝3n－1.若选②：∵anbn＋1＝nbn－bn＋1，∴当n＝1时，a1b2＝b1－b2，∵b1＝1，b2＝eq\f(1,3)，∴a1＝2.又∵a2·a3＝2a7，∴(a1＋d)(a1＋2d)＝2(a1＋6d)，∴d＝3，∴an＝3n－1.若选③：∵anbn＋1＝nbn－bn＋1，∴当n＝1时，a1b2＝b1－b2，∵b1＝1，b2＝eq\f(1,3)，∴a1＝2.又∵S3＝1