【数学】重庆市江北区部分学校2023-2024学年高一上学期期中试题（解析版）

重庆市江北区部分学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.若，则集合P中元素的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】集合P中元素为，，共2个．故选：B.2.命题：，的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】由题意得，的否定是，.故选：B.3.函数的定义域为（）A B.C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，解得.故选：D.4.已知、，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于A选项，因为，由不等式的基本性质可得，A对；对于B选项，取，，则，B错；对于C选项，取，，则，C错；对于D选项，取，，则，D错.故选：A.5.是定义域为上的奇函数，当时，为常数），则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为是定义域为且是奇函数，所以，所以，，.故选：D.6.“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为“不等式在上恒成立”，所以当时，原不等式为在上不是恒成立的，所以，所以“不等式在上恒成立”，等价于，解得，A选项是充要条件，不成立；B选项中，不可推导出，B不成立；C选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，正确；D选项中，可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，D不正确.故选：C.7.若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，解得，所以实数a的取值范围为.故选：A.8.定义在R上的函数满足：对任意的（），都有，且，函数关于直线对称，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为对任意的（），都有，所以在上单调递减，因为关于直线对称，所以关于轴对称，即为偶函数，所以在上单调递增，因为，所以，当时，，令得，即，所以，所以，当时，，令得，即，所以，所以，综上，的解集为.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知集合，，若，则的取值可以是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】AC【解析】∵集合，，∴，或.故选：AC.10.下列各组函数表示同一个函数的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】BD【解析】对于A项，函数的定义域为R，的定义域为，两个函数定义域不相同，故A项错误；对于B项，函数的定义域为R，的定义域为R，两个函数定义域相同，且，所以两个函数相同，故B项正确；对于C项，函数的定义域为R，的定义域为R，两个函数定义域相同，但是解析式不相同，故C项错误；对于D项，函数的定义域为R，的定义域为R，两个函数定义域相同，且对应关系也一致，故D项正确.故选：BD.11.下列幂函数中满足条件的函数是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】由题意可知，当时，满足条件的函数的图象是凹形曲线，对于A，函数的图象是一条直线，故当时，；对于B，函数的图象是凹形曲线，故当时，；对于C，函数的图象是凸形曲线，故当时，；对于D，在第一象限，函数的图象是一条凹形曲线，故当时，.故选：BD.12.下列四个命题是真命题的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.函数的值域为C.函数f（x）满足，则D.若方程的两个不等实根都在区间内，则实数的取值范围为【答案】AD【解析】A：因为函数的定义域为，所以，解得，所以函数的定义域为，故是真命题；B：函数的定义域为，且在定义域上单调递增，所以函数的值域为，故不是真命题；C：由，得，联立解得，故不是真命题；D：令，因为的两个不等实根都在区间内，所以，即，解得，所以实数的取值范围为，故是真命题.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数，则______．【答案】【解析】由已知可得，，，所以，.故答案为：.14.若命题“，”为真命题，则的取值范围为________.【答案】【解析】命题“，”为真命题，即，，设，，当时，取得最大值为，所以，即的取值范围为.故答案为：.15.已知正实数，满足，则的最小值为_________.【答案】【解析】因为，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：.16.表示不超过x的最大整数，如，，，已知且满足，则______．【答案】3【解析】因为，且每一项都是整数，又，所以，，所以有，所以，所以，，所以，.故答案为：3.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）设全集为，，，求．（2）.解：（1）或，所以或.（2）.18.已知幂函数在上是减函数，.（1）求的解析式；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由于函数是幂函数，故，解得或，当时，在上是增函数，不合题意；当时，在上是减函数，符合题意，故.（2）由（1）知，则，结合幂函数在上为增函数，得，解得，即.19.定义在上的偶函数，当时，．（1）求函数在上的解析式；（2）求函数在上的最大值和最小值．解：（1）（2）由（1）得：，上单调递增，在上单调递减，，，20.已知是定义在上的奇函数．（1）求的解析式；（2）判断并证明的单调性；（3）解不等式：.解：（1）是定义在上的奇函数，，即，又．（2）函数在上为增函数，证明如下，任取，，，，为上的增函数．（3），即，，解得，解集为：.21.如图，现将正方形区域规划为居民休闲广场，八边形位于正方形的正中心，计划将正方形WUZV设计为湖景，造价为每平方米20百元；在四个相同的矩形，上修鹅卵石小道，造价为每平方米2百元；在四个相同的五边形上种植草坪，造价为每平方米2百元；在四个相同的三角形上种植花卉，造价为每平方米5百元.已知阴影部分面积之和为8000平方米，其中的长度最多能达到40米.（1）设总造价为（单位：百元），长为（单位：米），试用表示；（2）试问该居民休闲广场的最低造价为多少百元？（参考数据：取，结果保留整数）解：（1）方法一：因为米，所以米，得米，根据题意可得四个三角形的面积之和为平方米，正方形的面积为平方米，四个五边形的面积之和为平方米，则休闲广场的总造价.方法二：设米，因为米，所以米，得米，根据题意可得阴影部分面积为平方米，则，四个三角形的面积之和为平方米，正方形的面积为平方米，因为正方形的面积为平方米，所以四个五边形的面积之和为平方米，所以休闲广场的总造价.（2）因为，当且仅当，即时，等号成立，所以该居民休闲广场的总造价最低为68800百元.22.若函数.（1）讨论的解集；（2）若时，总，对，使得恒成立，求实数b的取值范围.解：（1）已知，①当时，时，即；②当时，，若，，解得，若，，解得或，若，，解得，若时，，解得或，综上所述：当时，的解集为；当时