初中数学几何动点问题分类专题汇总全书

初中数学几何动点问题分类专题汇总全书近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）.我们知道“对称、平移、旋转”是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。（1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。（2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。（4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最短”或“垂线段最短”把“折线”转“直”，找出最短位置，求出最小值。目录一、一条线段最值1单动点型1.1动点运动轨迹——直线型1.2动点运动轨迹——圆或圆弧型1.2.1定点定长1.2.2定弦定角1.3动点轨迹为其他曲线，构造三角形2双动点型2.1利用等量代换实现转化2.2利用和差关系实现转化2.3利用勾股定理实现转化2.4利用三角形边角关系实现转化二、两条线段最值1PA+PB型1.1两定一动（将军饮马）1.2两定两动过河拆桥四边形周长最小；1.3一定两动两动点不随动1.4三动点2PA+K·PB型2.1“胡不归模型”2.2阿氏圆三、“费马点”模型线段极值解题方略一、一条线段最值1单动点型所谓的单动点型指：所求线段两端点中只有一个动点的最值问题．通常解决这类问题的思考步骤为三步：(一)分析“源动点”的不变量。(二)分析“从动点”与“源动点”问关系。(三)分析“从动点”的不变量。1.1动点运动轨迹——直线型动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”例1、如图1，在中，,BC=1，D为AB上一动点(不与点A重合)，AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G为EF的中点，则线段CG长的最小值是_________。方法指导：1．当动点的运动轨迹是一条直线(射线、线段)时，可运用“垂线段最短”性质求线段最值．2．有时动点轨迹不容易确定，如例1，建议看到“中点”联想“三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线”等性质．3．试着观察“动点运动到一些特殊位置时，该动点与其他定点连结的线段是否与已知边有一‘定角’产生”，若成立，则动点轨迹为直线。如何在动态问题中找寻“不变量”特征是突破这类问题的关键。①当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的轨迹是直线；1．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），点M的坐标为(其中m为实数)，当PM的长最小时，m的值为__________．2．如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(3，2)，C(m，－4m＋20)，若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．②当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；1.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE:ED＝1:3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为_________.【变式1】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在BC边上，且BE:EC＝1:3．动点P从点B出发，沿BA运动到点A停止．过点E作EF⊥PE交边AD或CD于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为___________.【变式2】如图，在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1，E是AB上的一个动点，连接PE，过点P作PE的垂线，交BC于点F，连接EF，设EF的中点为G，当点E从点B运动到点A时，点G移动的路径的长是_____.【变式3】在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，P是AD边的中点，点E在AB边上，EP的延长线交射线CD于F点，过点P作PQ⊥EF，与射线BC相交于点Q．（1）如图1，当点Q在点C时，试求AE的长；（2）如图2，点G为FQ的中点，连结PG．①当AE＝1时，求PG的长；②当点E从点A运动到点B时，试直接写出线段PG扫过的面积．2．如图，C、D是线段AB上两点，且AC＝BD＝AB＝1，点P是线段CD上一个动点，在AB同侧分别作等边△PAE和等边△PBF，M为线段EF的中点.在点P从点C移动到点D时，点M运动的路径长度为__________．【变式1】已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形APEF和正方形PBGH，点O1和O2是这两个正方形的中心，连接O1O2，设O1O2的中点为Q；当点P从点C运动到点D时，则点Q移动路径的长是______．【变式2】等边三角形ABC中，BC＝6，D、E是边BC上两点，且BD＝CE＝1，点P是线段DE上的一个动点，过点P分别作AC、AB的平行线交AB、AC于点M、N，连接MN、AP交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过的区域面积为______．【变式3】如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为______．3.如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝3，P为AB边上的一动点，连接PD并延长到点E，使得PD∶PE＝1∶3，以PE，PC为边作平行四边形PEFC，连接PF，则PF的最小值为__________.【延伸】在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝3，CD＝4，在BC上取点P（P与B、C不重合），连接PA延长至E，使PE∶PA＝x∶1，连接PD并延长到F，使PF∶PD＝y∶1（x，y＞1），以PE、PF为边作平行四边形，另一个顶点为G，求PG长度的最小值（用x，y表示）.【同型练】如图，已知□OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为______．③当某一动点与定线段一个端点连接后成的角度不变，则该动点轨迹是直线。1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为__________.【变式】1.如图，边长为2a的等边△ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是________．2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．（1）如图1，当BD＝2时，AN＝______，NM与AB的位置关系是_________；（2）当4＜BD＜8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME，在点D运动的过程中，求ME的长的最小值？3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧做等边△APQ，则Q点运动的路径长为___________．【秒杀训练】1.如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为【】A.B.C.D.2.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【】A．B．C．3D．23.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点。（1）求证：△MDC是等边三角形；（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即）与AB交于一点E，MC（即）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值。1.2动点运动轨迹——圆或圆弧型动点轨迹为定圆，利用三点共线方法指导：1．当动点的轨迹是定圆时，可利用“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径和，最小值为定点到圆心的距离与半径差”性质求解．2．试着观察“动点与其他定点连结的线段长是否为‘定值’或动点与两定点构成的角是否为直角”，这是常见判断动点轨迹是圆的条件。1.2.1定点定长Ⅰ动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或圆弧；1.如图1，在正方形ABCD中，边长为2,点E是AB的中点，点F是BC边上任意一点，将△BEF沿EF所在直线折叠得到△PEF，连接AP，则CP的最小值________，AP的最小值是_________.1．如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A→B滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为_____________．【变式1】在矩形ABCD中，已知AB＝2cm，BC＝3cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积_______cm2.【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA＋PG的最小值为________．【变式3】如图，一根木棒AB长为2a，斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，与地面的倾斜角∠ABO＝60°，若木棒沿直线NO下滑，且B端沿直线OM向右滑行，则木棒中点P也随之运动，已知A端下滑到A′时，AA′＝()a，则木棒中点P随之运动到P′所经过的路线长_______________．2．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3．当∠B最大时，BC的长为________．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是________．4．如图，在□ABCD中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝33，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是________．5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝_________°，∠DBC＝____________°．6．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________．7．如图，矩形ABCD中，AB＝2AB＝4，长度为2的动线段AE绕点A旋转，连接EC，取EC的中点F，连接DF，则DF的取值范围为________。例2．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为_________．变式：如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则BD的长为_________．例3．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，∠C＝70°，点P在△ABC的外部，且与C点均在AB的同侧，如果PC＝BC，那么∠APB＝_________．例4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E为AB边的中点，F是线段BC边上的动点．将△EFB沿EF所在的直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则B'D的最小值为_________Ⅱ．定边对定角模型1.2.2定弦定角II当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆弧．见直角→找斜边（定长）→想直径→定外心→现“圆”形；见定角→找对边（定长）→想周角→转心角→现“圆”形；【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。④确定圆心位置，计算隐形圆半径。⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。1．如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为__________.2．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(7，3)，点E在边AB上，且AE＝1，若点P为y轴上一动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H，在点P从F(0，)运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为______．3．在正方形ABCD中，AD＝2，点E从D出发向终点C运动，点F从C出发向终点B运动，且始终保持DE＝CF，连接AE和DF交于点P，则P点运动的路径长是________．4．等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为______．5．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为________．6．如图，在边长为23的等边△ABC中，动点D从C向终点B运动，同时点E以相同的速度从A出发向终点C运动，连接BE、AD相交于点P，则点P的路径长为________．7．如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是____________.8.如图，已抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于C(0，2)，连结AC、BC．（1）求抛物线解析式；（2）BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，求直线DE的解析式；（3）若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标．9．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为__________。变式：直线y＝x＋4分别与x轴、y轴相交与点M、N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交与点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点(0，2)长度的最小值是__________．10．如图，边长为3的正方形ABCD，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C点D在第一象限，点E为正方形ABCD的对称中心，连结OE，则OE的长的最大值是____________．变式：如图，已知平面直角坐标系中，直线y＝kx(k≠0)经过点C(a，3a)（a＞0）．线段BC的两个端点分别在x轴与直线y＝kx上（B、C均与原点O不重合）滑动，且BC＝2，分别作BP⊥x轴，CP⊥直线y＝kx，交点为P，经探究在整个滑动过程中，P、O两点间的距离为定值．11.如图，开口向下的抛物线交x轴于点A,B两点，交y轴正半轴于点C，顶点为P，过顶点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M,N，连结CP,CM，∠CPM=45°，tan∠CMP=0.8.(1)求该抛物线的函数解析式；（2）若点D为射线PC上动点，BD交△PMD的外接圆于点Q，求PQ的最小值.【强化训练】【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为_______【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为_______【练】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为_______【例3】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是_________.【练】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）【例4】如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_________【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________【练】如图8，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为__________针对练习：1．如图，在动点C与定长线段AB组成的△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，连接DE．当点C在运动过程中，始终有，则点C到AB的距离的最大值是_________2．如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝8，则CD的最小值为___________.1.3动点轨迹为其他曲线，构造三角形方法指导：1．当动点轨迹不是“定线”或“定圆”时，不妨将此线段转化为一个三角形中，其中在该三角形中其他两条边位置不定但长度确定，则所求线段的最大值为其他两线段长之和，最小值为其他两线段长之差．2．在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。例1、如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,求运动过程中,点D到点O的最大距离.变式训练：1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，tan∠BAC=，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，连接BD，F为BD中点，求线段CF长度的最大值．2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为___________。提示：取AC中点D，由BO≤OD＋BD＝1＋，知BO的最大值为1＋3.如图，∠MON=90°，线段AB两端点分别在边OM，ON上，当A在边OM上运动时，B随之在边ON上运动，AB=2保持不变，以AB为边向外作等边△ABC，在运动过程中，四边形AOBC的面积的最大值是___________.4.如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm.（1）若OB=6cm．①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值=___________cm．2双动点型解决双动点问题的常用方法是转化为单动点问题，接着再用单动点的方法解决线段最值问题。有这样一类双动点，它是由某一动点所产生的，同样就可用“源动点”和“从动点”的分析方法来处理，现总结思考前三个步骤：(一)分析“源动点”的不变量．(二)分析“双动点”与“源动点”间关系．(三)转化为单动点问题。显然确定“双动点”与“源动点”间关系是实现转化的关键。2.1利用等量代换实现转化例1.△ABC是以AB为斜边的直角三角形,AC=4,BC=3,P是AB上一动点,且PE⊥AC于E,PF⊥BF于F,求EF的最小值.分析：点P带动点E、F，显然点P是双动点E、F的“源动点”。第一步，“源动点”P在定边AB上运动．第二步，由条件可知四边形PECF为矩形，所以双动点EF与“源动点”P存在等量关系EF=CP．第三步，C是定点，P是动点且在一边上运动，可转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”。提示：双动点线段能否等于图中“源动点”与某一定点连结的线段?2.2利用和差关系实现转化例2、如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是___________．分析：本题的双动点P、D可看成由“源动点”E产生．第一步，“源动点”E在定边上运动，且保持OE⊥AB,第二步，双动点PD是圆上的动弦且所对圆周角为直角，因此PD为圆O直径．源动点与双动点满足PD=CO+OE．第三步，PD长转化为△COE三边关系，当C、O、E三点共线时CE最短，可转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”．当CE上AB时PD长度最小。提示：双动点线段能否表示成与“源动点”相关线段的和(差)?2.3利用勾股定理实现转化例3、如图，在Rt△AOB中，OA=OB=，圆O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作圆O的一条切线PQ(点Q为切点)，则切线PQ的最小值为______．分析：PQ为圆O切线，PQ⊥OQ，双动点PQ与“源动点”P满足勾股定理PQ2=OP2–OQ2，而0Q为定值1，因此要PQ最小只需OP取最小．问题可转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”提示：双动点的线段出现“垂直”信息时能否与“源动点”构成“直角三角形”，从而利用勾股定理实现单一动点的转化。2.4利用三角形边角关系实现转化例4、如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交于AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为__________．分析：本题的难点就在于确定双动点EF与“源动点”D的关系，即EF与AD之间的数量关系．连半径构造等腰△OEF，达到定角圆周角么EAF转化为圆心角∠EOF，直径AD转化为半径OE、0F，使EF与AD共存于一个三角形中，解三角形得EF=．因A是定点，D在线段BC上动，问题最终转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”。二、两条线段最值1PA+PB型1.1两定一动（将军饮马）出现一个动点的解题方法这类试题的解决方法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧。当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之问线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。引：如图在直线l上找一点P使AP＋BP最短。解：（1）如果两点在直线异侧，如图（1），连接AB交直线l于点P,则点P为所示作的点；（2）如果两点在直线同侧，如图（2），可通过轴对称把问题转化为两点在直线异侧的情况。证明：如下图所示，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在BD的延长线上，取B关于河岸的对称点B'，连结AB'，与河岸线相交于P，则P点就是所求作的点，只要从A出发，沿直线到P,再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的。如果在河边的另外任一点C,则CB=CB’，但是，AC+CB=AC+CB'>AB'=AP+PB'=AP+PB。可见，在P点外任何一点C，它与A、B两点的距离和都比AP＋PB都长。本质：两点之间，线段最短。【小结】通过“对称”及构建“两点间的线段”基本图形，将动态变化中的线段通过转换，达到变化过程中的极限状态，得到最小值即“两点间的距离”。路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解，所以最短路径问题需要考虑轴对称。两个关键点：（１）找准对称轴。动点所在的直线即为对称轴。（２）同侧化异侧。同侧的两个点，通过作对称点，转化为对称轴异侧的两个点，连线即与对称轴相交，交点即是所求。将军饮马口诀：“和最小，对称找”例1如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．例题2定义一种变换：平移抛物线得到抛物线，使经过的顶点A．设的对称轴分别交、于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点。如图1，若，经过变换后，，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．分析：如何找对称点进行变换是本题的难点，注意到点P是直线AC上的动点，所以直线AC就是对称轴，从而运用对称变换把线段PD转化为线段PB进行求解．解题策略：在不改变线段长度的前提下，运用对称变换把对称轴同侧的两条线段放在了对称轴的两侧，把复杂的最值问题转化为基本问题．根据“两点之间线段最短”或“垂线段最短”把“两折线”转“直”，找出最小位置，并求出最小值。变换的奥秘是：动点在哪条直线上，就以这条直线为对称轴，构建某一定点的对称点．对称变换是转化的手段，也是解决问题的关键．【牛刀小试】1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB＋PE的最小值是____________．2．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为__________．3．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为_________．4．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为________．5．已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若PA＋PB长度最小，则最小值为____________．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D是BC边上的点，CD＝1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是__________。7．如图，有一圆形透明玻璃容器，高15cm，底面周长为24cm，在容器内壁柜上边缘4cm的A处，停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬了3cm的B处时（B处与A处恰好相对），发现了小飞虫，问蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？它至少要爬多少路？（厚度忽略不计）．8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点M在BC上，且BM＝1，N是AC上一动点，则BN＋MN的最小值为__________。9．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为_______________．10.如图，点A，B的坐标分别为（,0）和（0,2），点C是x轴上的一个动点，且A,B,C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是___________。11．如图，正方形ABCD的边长是8，P是CD上的一点，且PD的长为2，M是其对角线AC上的一个动点，则DM＋MP的最小值是_____．12.菱形ABCO在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，∠AOC=60°，点P是对角线OB上一个动点，E(0，-1),问：EP+AP最短是_____，此时点P的坐标为___________.13.如图，已知点A(1，1)、B(3，2)，且P为x轴上一动点，则△ABP的周长的最小值为__________．14.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【】A．130°B．120°C．110°D．100°15.某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）。(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短？(2)水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？1.2两定两动过河拆桥【解决方法】平移变换平移变换的特征是：对应线段平行且相等，它可以改变线段的位置却不改变其方向和长度。平移变换是把复杂的最值问题转化为基本问题的重要手段。【问题再现】（人教版七年级（下）第五章造桥选址问题）如图3，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，造桥在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥MN要与河岸垂直）在解决这道题题目前，我们先看以下模型：图3【模型抽象】动手操作一：如果把直线l1和点A向上运动，而直线l2和点B不动，你会画吗？（平移要注意什么？）问题：A、B为两村庄之间隔着河流，河流两岸为直线l1、l2，若在两岸建桥CD，桥与河流两岸垂直，桥建在何处，可使AC+CD+DB最短。策略：平移回去，把问题转化为在直线上找一点D，使A’D+DB最短动手操作二：如果P不动，Q平移a个单位，你会画吗？（平移要注意什么？）问题：如图，若A、B为定点，而线段PQ长为定值，当P在何处，AP+PQ+QB最短。【小结】两动点，其中一个随另一个动(一个主动，一个从动)，并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。（处理方法：当两点间有一段固定的距离时，利用平移可将这距离“压缩为零”，再连接构建“两点间的线段”这一图形。）例1如图3，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，造桥在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥MN要与河岸垂直）分析：假设河的两岸为直线．这个问题要求“路径AMNB最短”实际上就是“AM+BN”最短（因为“桥要与河垂直”，桥长是定值，也就是河两岸的距离）．怎样保证“AM+BN”最短呢？如图4（1），把BN沿与河岸垂直的方向平移河的宽度到B′M（B为定点，则点B′为定点），则AM+BN=AM+B′M，点A、B′为定点，点M为直线上的动点，所以当A、M、B′三点在一直线上时，AM+B′M最小．解题策略：运用平移变换，在保持平移后的线段与原来的线段平行且相等的特性下，把无公共端点的两条线段移到新的位置并“接起来”，变换成更简单的基本图形．根据“两点之间线段最短”把“两折线”转“直”，找出最小位置．平移是转化的手段，也是解决问题的关键．【牛刀小试】1.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。四边形周长最小；两定两动求四边形周长最小，有两个动点时，那么动点所在的两条直线就为两条对称轴，再将两定点作关于两对称轴的对称点，分置于对称轴两侧，再连接，构建“两点间的线段”这一基本图形，通过对称转换，将三条动态线段重新拼接在一起，利用“两点之间线段最短”实现“化折为直”，即得最短路线。例题、如图8，已知抛物线与y轴交于A(0，3),与x轴分别交于B（1，0）和C（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式（2）若点D为线段OA的三等分点，求直线DC的解析式（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上某点（设为点E）,再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A，求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短路径的长．提示：本题的特征是两个动点、两个定点，两个动点分别在两条直线上运动，在两条直线上各找一个点使之与两个定点相连构成的四边形周长实际还是三线段和，AM为定值）最小．因此分别构建两个定点关于两个动点所在直线的对称点，把“三折线”转“直”，从而可求周长的最小值．【牛刀小试】如图，正比例函数的图像有一点B，OB=1，点A在x轴上，A(3，0),点P,Q分别在射线OA，OB上，则BP+PQ+QA的最小值是_________.1.3一定两动一定两动型可转化为“两点之间的连线中，线段最短”＋“垂线段最短”在这个问题的转换中，关键是作定点（或动点）关于动折点所在直线的对称点。通过等量代换将问题化为两定一动（将军饮马问题）两动点不随动一动点分别到一定点和一动点两线段和最小值。方法：让一个动点保持不动，寻找定点到定直线（动点所在的直线）的最短距离，最后利用折大于直，斜大于垂。1．如图△ABC中，AC＝6，∠BAC＝22.5°，点M、N分别是射线AB和AC上动点，则CM＋MN的最小值是_________．2．如图，在等边△ABC中，AB＝6，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM＋MN的最小值是_______．3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM＋MN的最小值是_________．4．如图，钝角△ABC的面积为18，最长边AB＝12，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值为__________．5．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是____．【变式1】菱形ABCD中，∠BAC＝45°，BC＝42，M、N、E分别在BD、BC、CD上运动，则MN＋ME的最小值为____．【变式2】点E是菱形ABCD边BC的中点，∠ABC＝60°，P是对角线BD上一点，且满足PC＋PE＝15，则菱形ABCD面积的最大值为_______．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM＋MN的最小值为_______．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为(0，0)、(20，0)、(20，10)．在线段AC、AB上各有一动点M、N，则当BM＋MN为最小值时，点M的坐标是_________．【小结】此类问题处理方法是将双动点转换为单动点，然后利用将军饮马模型。对于两动点问题可以让其中一个动点暂时保持不动，作此动点的对称点，从而将双动点转换为单动点，然后利用将军饮马模型，化折为直，最后利用定点到定直线之间垂线段最短找到最小值。1.4三动点例题如图11-4所示，已知Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的点，则DE+EF+FD的最小值为________.【练习】如图，在等边△ABC中，AB＝4，P、M、N分别是BC，CA、AB边上动点，则PM＋MN的最小值是_______．总之，解决这一类动点最值问题，关键在于善于作定点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点。运用数形结合思想，这对于解决动点最值问题有着事中功倍的作用。出现垂直找对称；角平分线找对称；正方形对角线找对称；菱形对角线找对称；抛物线对称轴找对称；圆中找对称2PA+k·PB型2.1“胡不归模型”【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？【特例分析】若n＝2，则时间t＝，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得AD＋的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM＝30°．（1）过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：DE＝；（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′，并说明理由．【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）．【模型运用】（4）如图③，海面上一标志A到海岸BC的距离AB＝300m，BC＝300m．救生员在C点处发现标志A处有人求救，立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，求救生员从C点出发到达A处的最短时间．【套路归纳】①将所求线段和改写为“PA＋”的形式（＜1）；②在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度，使得；③过A作第②步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值．例题解析：例1、如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是_______s．【解答】解：过点E作y轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB=∠ABE，∴tan∠HED=tan∠EBA=，设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间==4（s）若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间==4（s），∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG，∴AD+DH的最小值为AQ的长，当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO=，∴OC=4，则C（0，4），设直线BE的解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，∴直线BE的解析式为y=x+4，解方程组得或，则E点坐标为，∴AQ=，∴蚂蚁从A爬到G点的时间==（s），即蚂蚁从A到E的最短时间为s．故答案为．例2、如图，已知抛物线(k为常数，且k>0),与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止。当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【套路练习】1．等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为______．【变式】如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A(0，22)，C(1，0)，D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为____．2．如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）3．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．4．如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B(4，0)、C(0，3)，点A为x轴负半轴上一点，AM⊥BC于点M交y轴于点N，满足4CN＝5ON．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、B、C．（1）求抛物线的函数关系式；（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC、DB，若△BCD和△ABC面积满足S△BCD＝S△ABC，求点D的坐标；（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标．5．如图，抛物线与直线交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC已知A(0，3)，C(3，0)．（1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（2）在（1）条件下，设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒2个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？【强化训练】1、已知在平面直角坐标系中，A(2,0)、B(0,3)、C(3,0)，设D是线段BC上一点（不含端点），连接AD，一动点M从点A出发，沿线段AD以每秒一个单位速度运动到D点，再沿线段DB以每秒2个单位的速度运动到B后停止，当点D的坐标是多少时，当M在整个运动过程中用时最少？2、已知在平面直角坐标系中，A(2,0)、B(5,)、C(4,0)，设D为线段BC上一点（不含端点），连接AD，一动点M从点A出发，沿线段AD以每秒一个单位长度运动到D点，再沿线段DB以每秒2个单位的速度运动到B后停止，当点D的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？3、在平面直角坐标系中，已知A(,0)、B(0,4)、C(2,0)，设D为线段BC上一点（不含端点），连接AD，一动点M从点A出发，沿线段AD以每秒一个单位速度运动到D点，再沿线段DB以每秒个单位的速度运动到B后停止，当点D的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？4、如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（—6,0），B（6,0），C（0,），延长AC到点D，使CD﹦AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短.（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-3）、C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则的最小值为_____。（3）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点。①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有________个；②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围。6、如图，抛物线与直线交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒2个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？2.2阿氏圆【题目类型】求圆上一动点到两定点的距离最小值（系数不为1的两线段和最值问题）。例如，点P为圆O动点，C、D为两定点，求PC+k•PD最小值。【解题原理】两线段和最值问题一般需要转化为两点之间线段最短。求线段和的最值问题，一般依据两点之间线段最短，三角形的两边之和大于第三边，垂线段最短，同圆或等圆中直径是最长的弦等四条公理货定理。此题中的“PC+k•PD”是两条线段的线性组合，那么最迫切需要解决的问题是系数k的处理，也就是说能否将k•PD转化为一条以P为一个端点的线段，如果能，则可将问题“PC+k•PD”转化为两条共顶点的线段和求最值问题，即可利用最值四定理解决。【一般解题步骤】1.连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD；2.计算出所连接的这两条线段OP、OD长度；3.计算这两条线段长度的比OP/OD=m；4.观察m值是否为等于所求线段和中的系数k；①如果m=k在这个三角形（△POD）中构造母子三角形相似；OP、OD长度已知且OP与OD夹角已知，利用SAS构造相似(△MOP∽△POD)；构造做法是过动点P在另一条固定长度的线段OD上找出一点M，这时候使得点M、圆心O、动点P构成的三角形△MOP与三角形相△POD似(△MOP∽△POD)；如果系数k小于1，在OD上找点M；如果系数k大于1，点M在OD的延长线上。根据相似求出点M坐标；②如果m≠k如果m≠k,一般需要对所求式子PC+k×PD进行转化；例如PC+2PD或PC+PD将2