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文档简介
【知识体系】
1、勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2=c2)
2、勾股定理的逆定理:假如三角形的三边长:a、b、c满足2£+1?=(?,那么这个三角形是直角三角形。
3、满足/+〃=,2的三个正整数,称为勾股数。
如:(1)3,4,5;(2)5,12,13;(3)6,8,10;(4)8,15,17
(5)7,24,25(6)9,40,41
4、最短距离:将立体图形展开,运用直角三角形的勾股定理求出最短距离(斜边长)。
注意:(1)勾股数是一组数据,必须满足两个条件:①满足+於=。2;②三个数都为正整数。
(2)11~20十个数的平方值:
【题型体系】
一、A、已知直角三角形的两边求第三边
例1、(1)若直角三角形的两边长为12和5,求以第三边为边长的正方形的面积是o
(2)直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为.
B、已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边。
例2、直角三角形中,斜边长为5cm,周长为12cm,则它的面积为。
C、运用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
例3、(1)三角形的三边长为(a+b)2=c,+2ab,则这个三角形是()
A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形.
(2)在AABC中,ZC=90",AB=5JiJAB2+AC2+BC2=.
例4:如图,在AABC中,ZACB=90°,CD1AB,D为垂足,AC=6cm,BC=8cm.
求①ZkABC的面积;②斜边AB的长;③斜边AB上的高CD的长。
D
R
练习
1、等腰三角形的,腰长为25,底边长14,则底边上的高是,面积是o
2、一个直角三角形的三边长为连续偶数,则它的各边长为。
3、一根旗杆在离地9米处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断之前有多高
为。
4、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米,那么斜边上的高是()
A、6厘米;B、8厘米;C、80/13厘米;D、60/13厘米;
5、直角三角形中两条直角边之比为3:4,且斜边为20cm,求(1)两直角边的长(2)斜边上的高线长。
【知识体系】
如何鉴定一个三角形是直角三角形:
①先拟定最大边(如c);②验证与病+/是否具有相等关系
③若=则AABC是以NC为直角的直角三角形;
若则AABC不是直角三角形。
【题型体系】
例5、如图己知A3_L8C,A3=3,=4,8=12,AD=13求四边形ABCD的面积
练习
1.下列各组线段中,能构成直角三角形的是()
A.2,3,4B.3,4,6C.5,12,13D.4,6,7
2.三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是()
A.a:b:c=8:16:17B.a2-b2=c2C.a2=(b+c)(b-c)D.a:b:c
13:5:12
3.三角形的三边长为(a+/?)2=c2+2ab,则这个三角形是()
A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形.
4、已知:如图,四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,ZB=90°,求证:ZA+ZC=180°。
例6、如图一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B,假如圆柱的高为8cm,圆柱的底面半径为9
71
m,
那么最短的路线长是()
A.6cmB.8cmC.10cmD.10Jrcm
重要数学思想
1、方程思想
例题1、如图,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=l0cm,在边CD上取一点E,将AADE折叠使点D恰
好落在BC边上的点F,求CE的长.
例题2、已知:如图,在^ABC中,AB=15,BC=14,AC=13.求△ABC的面积.
练习
1、如图,把矩形ABCD纸片折叠,使点B落在点D处,点C落在C处,折痕EF与
BD交于点0,已知AB=16,AD=12,求折痕EF的长。
FB
2、已知:如图,Z^ABC中,NC=90°,AD是角平分线,CD=15,BD=25.求AC的长.
2、分类讨论思想(易错题)
例题3、在RtAABC中,已知两边长为3、4,则第三边的长为
例题4、已知在aABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高等于8,则AABC的周长为
练习
1、在Rt^ABC中,已知两边长为5、12,则第三边的长为
2、等腰三角形的两边长为10和12,则周长为底边上的高是,面积是
【知识体系】
1、实数:有理数和无理数统称为实数.
正实数
'有理数
2、实数的分类:(1)实数押和(2)实数0
负实数
3、无理数的错误结识:
(1)无限小数就是无理数,这种说法错误,由于无限小数涉及无限循环小数和无限不循环小数两类.如1,414
141•--(41无限循环)是无限循环小数,而不是无理数;
(2)带根号的数是无理数,这种说法错误,如",囱,虽带根号,但开方运算的结果却是有理数,所以",囱是
无理数;
(3)两个无理数的和、差、积、商也还是无理数,这种说法错误,如6+右,后夜都是无理数,但它们的积却是
有理数,再如万和2万都是无理数,但—却是有理数,0和-夜是无理数;但&+(一忘)却是有理数;
(4)无理数是无限不循环小数,所以无法在数轴上表达出来,这种说法错误,每一个无理数在数轴上都有一个唯
一位置,如应,我们可以用几何作图的方法在数轴上把它找出来,其他的无理数也是如此;
⑸无理数比有理数少,这种说法错误,虽然无理数在人们生产和生活中用的少一些,但并不能说无理数就少一
些,事实上,无理数也有无穷多个.
【题型体系】
例1、把下列各数分别填入相应的集合里:
强,V3,-3.14159,—,22,-V2,-0.020232-,1.414,-万,1.2…。
37
⑴正有理数集合:{(2)有理数集合:
⑶无理数集合:(4)分数集合:
(5)实数集合:{
练习:
在实数中-错误!,0,73,-3.14,"中无理数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【知识体系】
实数的性质
(1)任何实数a,都有一个相反数一a。如石的相反数是一百。
(2)任何非零实数a,都有倒数如近的倒数是
a
(3)正实数的绝对值等于它自身,负实数的绝对值等于它的相反数,0的绝对值是0。如IgI=石,I-2万
I=2),|0|=0。
(4)正实数大于0,负实数小于0;两个正实数,绝对值大的数大;两个负实数,绝对值大的数反而小。
【题型体系】
例2、下列结论中对的的个数为()
①零是绝对值最小的实数;②万-3的相反数是3一万;③无理数就是带有根号的数;④一,的立方根为土L
273
⑤一个实数的平方根有两个,它们互为相反数;⑥所有的实数都有倒数;⑦尤-2的绝对值是2一女。
A.6个B.5个C.4个D.3个
练习:
1、假如7^2F=2-X那么x取值范围是()
A、x<2B.x<2C.x22D.x>2
2、V3的相反数是,立方等于-64的数是。
【知识体系】
实数和数轴上的点是一一相应的.
【题型体系】
例
AB
_**---------------------------►,
7,3、
如图,在数轴上点A和B之间的整数的点有个。
例4、实数a、b在数轴上表达如图所示,则下列结论错误的是()
IIIII.
-b-10~j.
A、a+b<0B、ab<0C、-b>aD、a-b<001u1
A
练习:
1、当a为实数时,、Q=-a则实数a在数轴上的相应点在()
A.原点的右侧B.原点的左侧C.原点或原点的右侧D,原点或原点的左侧
2、实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,则下列各式中对的的是()
A.a+b>b+cB.a-b>b-c
C'ObeD.rgi一6,一
3、“数轴上的点并不都表达有理数,如图3-3-5中数轴上的点P所表达的数是贝”,这种说明问题的方式体现
的数学思想方法叫做()
A.代入法B.换元法C.数形结合D.分类讨论
【知识体系】
实数的运算:在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样合用。
运算注意事项:(1)算术平方根相加减,先把各根式化为最简算术平方根,再合并同类的根式,防止:①该化简的
没化简;②不该合并的合并;③化简不对的;④合并犯错.
(2)算术平方根的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算,运算结果一定写成最简的形
式。
【题型体系】
例5、计算下列各题:
2006
(1)(V2+V6)-(276+272)⑵(—2心1
2
(3)V2x(V18+V50)(4)(273+76)(2^-76)
(6)
练习:
计算:(1)(3五-2百产-(3尤+2百)(2)(6-石产(丘+后产
【知识体系】
实数大小比较
实数大小的比较:这类题目旨在考察学生比较实数大小的能力和方法,一般以填空、选择的形式来进行考察。
其方法是根据数据特点,灵活运用实数的比较方法进行比较。
1.两个实数大小的比较法则与有理数大小比较法则相同,即正数大于零;零大于负数;正数大于负数;两个正
数绝对值大的则大;两个负数,绝对值大的反而小。
2.数轴上,右边的数总比左边的数大。
3.对于某些带根号的无理数,我们也可以通过以下方法来比较:
方法一求差法
求差法的基本思绪是设a,b为任意两个实数,先求出a与b的差,再根据当a-b>0时,得到a>b.当a-b<0时,
得至!Ia<b。.当a-b=O,得到a=b。
【题型体系】
例6、(1)比较由二'■与,的大小。
(2)比较]_后与L百的大小。
55
..V3-11V3-2
角牛.--------=-------<0•.O
55555
解;1-百)=0-五>0A1-V2>1-V3»
方法二求商法
求商法的基本思绪是设a。b为任意两个正实数,先求出a与b得商。时,a<b,当时,a>b.当q=
bbb
1时,a=b来比较a与b的大小。
1
例
5-
n
铲<<
5-
方法三倒数法
倒数法的基本思绪是设a,b为任意两个正实数,先分别求出a与b得到书,再根据当时a<b,来比较a与
ab
b的大小
例8、比较J20M-J2003与J2005-J20Q4的大小
解:,:——=J2OO4+72003-==J—1==V2005+72004
J2(XM-J2003J2005-J2(XM
又•••J2(XM+V2003<V2005+V2004
J2004-J2003>J2OO5-J2(XM-
方法四估算法
估算法的基本是思绪是设a.b为任意两个正实数,先估算出a,b两数或两数中某部分的取值范围,再进行比
较。
V13-31
例9、比较二与上的大小
88
解:3<4AV13-3<1...屈-3vJ
88
方法五平方法
平方法的基本是思绪是先将要比较的两个数分别平方,再根据a>0,b>0时,可由/>/得到a>b,来比较大小,这
种方法常用于比较无理数的大小。
例10、比较J5+后与石+石的大小
解•;(+y[c)~=2+2J12+6=8+2J12(V3+V5)~=3+2J15+5=8+2J15
又8+2J12<8+2J15+V6<V3+V5
方法六移动因式法
移动因式法的基本是思绪是,当a>0,b>0,若要比较形如a血与cJ7的大小,可先把根号外的因数a与c平方后
移入根号内,再根据被开方数的大小进行比较
例11、比较2"与38的大小
解地2*7=质36=5/32*3=后
又•;28>27:.2yfl>3V3
练习:
1、设4=6+夜,3=逐+百,则A、B中数值较小的是
2、比较大小:(1)次()3;(2)-V7()-6
【知识体系】
一、图形平移
1、定义:在平面内,将一个图形整体沿某方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。
平移不改变图形的形状和大小。平移是由移动的方向和距离决定的。
2、性质:平移前后两个图形是全等图形,相应点连线平行且相等,相应线段平行且相等,相应角相等。
注意:在平移过程中,相应线段也许在一条直线上,也也许不在同一条直线上。
3、平移作图的分类:
(1)己知图形和一对相应点,求作平移后的图形;
(2)已知图形和一对相应边,求作平移后的图形;
(3)已知图形和平移方向、平移距离,求作平移后的图形。
4、平移作图的环节和方法
(1)分析题目规定,找出平移的方向和平移的距离;
(2)分析所作的图形,找出构成图形的关键点;
(3)沿一定的方向,按一定的距离平移各关键点;
(4)连接所作的各个关键点,并标上相应字母;
(5)写出结论。
【题型体系】
方法点拨
1、平移的性质可以看作“全等变换”,即平移后,平面图形的相关几何元素所有保持相应相等(即相应线段、相
应角、相应高、对于图像的面积、相应图形的形状等)。
2、拟定一个图形平移后的位置,除需要本来的位置外,关键条件是平移的方向和平移的距离。
3、画出简朴图形的平移图形,关键是先拟定一些关键点平移后的位置,再按本来的方式连接相应各点便得到所求
图形。
例2、如下左图,四边形ABCD平移后得到四边形EFGH,则:①画出平移方向,平移距离是
(精确到0.1cm)
②HE=,/A=Z____________,ZH=Z.
③DH==A=.
例3、如下右图,Z\ABC平移后得到了ADEF,(1)若NA=28°,/E=72°,BC=2,则/1=________°,/F=
,EF=°;(2)在图中A、B、C、1)、E、F六点中,选取点.和点使连结两点的线段
与AE平行.
例4、如图,Z^ABC上的点A平移到点Ai,请画出平移后的图形AAiBC.
B
4
例5、如图,由11个面积为6的等边三角形按下列方式排列,它们都有一边在同一直线上,每个三角形底边的
中点恰为下一个三角形的一个顶点.AXXXXXXXXXX
(1)请说一说该图案的形成过程;
(2)由这11个三角形所盖住的平面区域的面积是
练习:
1、下列现象是数学中的平移的是()
A.冰化成水B.电梯由一楼升到二楼C.导弹击中目的后爆炸D.卫星绕地球运动
2、将图形平移,下列结论错误的是()
A.相应线段相等B.相应角相等C.相应点所连的线段互相平分D.相应点所连的线段相等
3将长度为5cm的线段向上平移10cm所得线段长度是()
A^10cmB、5cmC、0cmD、无法拟定
4、如下左图,4ABC通过平移到△A'B'C的位置,则平移的方向是,平移的距离约是.厘
米。
5、如下中图,线段AB是线段CD通过平移得到的,则线段AC与BD的关系为()
6、如上右图,AABC通过平移得到aDEF,请写出图中相等的线段,互相平行的线段,相等
的角.(在两个三角形的内角中找)
【知识体系】
二、图形旋转
1、定义
在平面内,将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋
转中心,转动的角叫做旋转角。
2、性质
(1)旋转变化前后,相应线段、相应角分别相等,图形的大小、形状都不变;
(2)旋转过程中,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度;
(3)注意一对相应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,相应点到旋转中心的距离都相等。
3、旋转作图的分类
(1)已知原图、旋转中心和一对相应点,求作旋转后的图形;
(2)已知原图、旋转中心和一对相应线段,求作旋转后的图形;
(3)己知原图、旋转中心和旋转角,求作旋转后的图形;
4、旋转作图的-一般环节
(1)在己知图形上找出关键点;
(2)将关键点与旋转中心相连,以旋转中心为顶点,以上述连线为一边,向旋转方向作角的另一边,使这
些角都等于旋转角,且使另一边长度都等于关键点到旋转中心的长度,则这些“另一边”的端点就是相应点;
(3)按本来的顺序连接相应点,得到的新图形就是已知图形旋转后。
5、平移和旋转的区别和联系
区别:平移为直线运动,即各点均沿互相平行的直线作定向运动;而旋转则是做曲线运动,即围绕某一定点作
不同运动,但角度相同的曲线运动.
平移集中体现为变化前后的“距离”上的相同.旋转则集中体现了变化前后“旋转角度”相同
共性:平移和旋转均保持原有图形的形状和大小.
【题型体系】
方法点拨
1、理解旋转定义可以从三个“一”下手,即“一个定点,一个方向,一个角度”,有助于与平移运动定义联
系并与之区分。
2、钟表中的旋转
(1)分针匀速旋转一周需要60分钟,即是每分钟转6度;
(2)时针匀速旋转一格,需要6()分钟,即每分钟转过().5度;
(3)秒针匀速旋转一周需要1分钟,转过360度
3、作简朴平面图形绕定点旋转一定角度后的图形,只要把平面图形上的关键点都绕定点旋转一定角度,然
后再按本来的式样连接这些点而成。
4.图形的形成分析
图形的形成分析一般遵循的思维方法:
(1)选择“基本图案”;基本图案的选择对图形的形成分析起最基本的导向作用.
(2)根据选定的基本图案对已形成的图形进行分析,观测,综合运用平移、旋转或是对称,在已选定的基本图形的
基础上说明已匕嬴、形成过程.
例1、将图形按顺时针方向旋转90°后的图形是()
例2、钟表的分针旋转一周需要60分钟,时针旋转一周需要12小时,秒针旋转一周需要60秒。
(1)通过1小时,时针,分针,秒针各旋转了多少度?
(2)通过1800秒。时针,分针,,秒针各旋转了多少度?
例3、如图所示,在边长为1的正方形ABCD中,E、F分别是AB、
AD上的点,且AE+EF+FA=2,求NECF的度数。
例4、、如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10.若
将aPAC绕点A逆时针旋转后,得到aPAB,则点P与点P之间的距离为多少,
求/APB。
例5、如图,△ABC绕O点旋转后,顶点B的相应点为E,试拟定顶点A、C相应点的位置,以及旋转后的三
角形.
练习
1、下列运动是属于旋转的是()
A.滚动过程中篮球的滚动B.钟表的钟摆的摆动C.气球升空的运动D.一个图形沿某直线对折
过程
2、下列说法对的的是(
A.平移不改变图形的形状和大小,而旋转则改变图形的形状和大小
B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置
C.图形可以向某方向平移一定距离,也可以向某方向旋转一定距离
D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到
3、如图,在正方形ABCD中,E为DC边上的点,连结BE,将4BCE绕点C
顺时针方向旋转90°得到ADCF,连结EF,若NBEC=60°,则NEFD的度数为()
A、10°B、15°C、20°D、25°
4、如图,E为正方形ABCD内一点,NAEB=135°,BE=3cm,A4EB按顺时针方向旋转一个角度后成为△CE3,
图中_是旋转中心,旋转度,点A与点__________是相应点,点E与点_______是相应
点,ABEF是三角形,ZCBF=ZZBFC=度,NEFCA
5、钟表的分针匀速旋转一周需要60分,它的旋转中心是,通过25分,分针旋转
一度。
【知识体系】
1、图形之间的变换关系的类型
(1)平移变换;(2)旋转变换;(3)轴对称变换;(4)旋转变换与平移变换的组合;(5)旋转变换与轴对称变换
的组合;(6)轴对称变换与平移变换的组合。
2、各类变换方式的分析方法
(1)平移变换
简朴分析:分析平移变换的次数。
详尽分析:分析每次平移变换的方向和距离。
(2)旋转变换
简朴分析:分析旋转变换的次数即可。
详尽分析:分析每次旋转变换的旋转中心、旋转方向、旋转角度。
(3)轴对称变换
分析以某条直线为对称轴进行轴对称变换。
(4)旋转变换与平移变换的组合
一般先分析旋转变换,再分析平移变换。
(5)旋转变换与轴对称变换的组合
一般先分析旋转变换,再分析轴对称变换。
(6)轴对称变换与平移变换的组合
一般先分析轴对称变换,再分析平移变换。
3、图案设计的一般过程
(1)选择基本图形;
(2)制定设计思绪;
(3)遵照平移、旋转与轴对称的基本操作,对基本图形及其组合进行变化,变得到相应的图案。
【题型体系】
例2、如图,在RtzMBC中,A8=ACQ、E是斜边BC上两点,且/D4E=45°,将△AOC绕点A顺时针旋转9
0。后,得到△AFB,连接防,下列结论,其中对的的是
①❷®BE+DC=DE③ABE+S/XAC£>>S八ED;④BE?+DC?=DE?
练习
1、如图,当半径为30cm的转动轮转过120。角时,传送带上的物体A平移的距离___________
为cm。
2、如图所示,直角△4必顺时针旋转后与AC。〃重合,若127°,则旋转角度是
3、如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别在D'、C'位置,若NEFB=65°,则NAED'=
4、四边形ABCD为长方形,AABC旋转后能与MEF重合,旋转中心是点
旋转了多少度;连结FC,则△△理;是三角形。
F~~C
5、著名的大峡谷A和世界级风景保护区星斗山B位于笔直的沪渝高速公路X同侧,AB=50km,A,B到直线X
的距离分别为10km,40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A,B两景区运送游客。小民设计了两
种方案,
方案一:如图一,作AP与直线X垂直,垂足为P,P至I」A,B的距离之和为S尸PA+PB
方案二:如图二,点A关于直线X的对称点是D,连接BD交直线X于P,P到A,B距离之和为S2=PA+PB.
(1)求SLS2,并比较大小
(2)请说明S2=PA+PB的值最小。
(3)如图三,拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直,建立图形的直角坐标系,B到直线Y的距离为
30km,请你在X旁和Y旁各建一服务区P,Q,使P,A,B,Q组成的四边形的周长最小,并求最小值。
【知识体系】
1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形,叫做平行四边形.
2.平行四边形的性质
(1)平行四边形的对边相等;
(2)平行四边形的对角相等;
(3)平行四边形的对角线互相平分。
3.平行线之间的距离及其特性
(1)定义:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间
的距离.
(2)特性:①平行线之间的距离处处相等;
②夹在两条平行线之间的平行线段相等.
4.平行四边形的面积
(1)平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.
[拓展】如图,Si=BCAE=CDAF,由此可得到启示,运用面积关系可建立多条线段之间的关系.
(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.
5.平行四边形的鉴定方法
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形;
6.平行四边形鉴定方法的选择
平行四边形的鉴定方法有五种,在选择方法时应根据具体条件而定,如何才干做到合理选择、“对症下药”
呢?阅读下表,便一目了然.
已知条件选择判别的方法
条彳
边一组对边平行方法(1)或
(3)
边一组对角相等方法(2)或
(3)
角对角相等方法(4)
对角线对角线互相平分方法(5)
7.平行四边形的作图题
常见的平行四边形的作图题有一下儿种:
(1)己知两邻边和夹角作平行四边形;
(2)已知一边、一条对角线及它们的夹角作平行四边形;
(3)已知两邻边和一条对角线作平行四边形;
(4)已知一边和两条对角线作平行四边形;
(5)已知一边和一个内角以及过这个角顶点的一条对角线.
[注意](1)作图前先要画草图,然后根据草图决定先画什么后画什么;
(2)平行四边形的作图基本上都是先画三角形,再补成平行四边形,这也体现了将四边形问题化归成三角形
问题的思想方法.
【题型体系】
题型一、平行四边形性质的应用
例1、如图,在平行四边形A8C£>中,ZB=110°,延长AD至F,延长CD至E,连结EF,贝U
(1)ZE+ZF=()°
A、110。B.30°C.50°D.70°,//
(2)从平行四边形的一个锐角顶点向对边作两条高线,假如这两条高线的夹角为A-----------------------B
135°,则这个平行四边形的内角的度数为
例2、如图,平行四边形A8CD的周长为50cm,对角线AC、BO相交于O点,且AAO3的周长比ABOC的周
长多7cm,求这个平行四边形的各边长.
例3、如图,平行四边形ABC。中,A8=3,BC=5,AC的垂直平分线交
AO于E,则△COE的周长是(
C.9«D.1O
例4、如图,在平行四边形A8CD中,过对角线AC的中点O的直线交A。、CB的延长线于E、尸.试问:DE与
8F的大小关系如何?请证明你的结论.
A
练习
1、平行四边形的周长为20cm,一条对角线把它提成的两个三角形的周长都是18c”,则这条对角线长
为.
2、如图,平行四边形ABC。中,AE平分/DAB,NB=10Q°,则N/ME等于
()
A、100°B、80°C、60°D、40°
3、如图,点E是平行四边形A88内任一点,若S.8=8C/,则图中阴影部
分的面积为()
A.5cm2B、4cm2C、3cm2D、以上都不对
4、如图,已知四边形458是平行四边形,E、F分别是AB、C£>的中点,AF.CE分别交BD于G、H.
(1)写出图中三对你认为全等的三角形;
(2)选择其中一对全等三角形进行证明.
5、如图,在平行四边形488中,E为4。的中点,CE的延长线交BA的延长线于
点尸.
(1)求证C。=尸A;
(2)若使/F=/BC凡平行四边形A88的边长之间还需要再添加一个什么
条件?请你补上这个条件,并进行证明(不要再增添辅助线)。
题型二、平行四边形的鉴定
例5、如图,E、尸是四边形A8C£>对角线,AC上的两点,AF=CE,DF=BE,DF//BE.
求证:四边形A8C。的平行四边形.
例6、如图,E、尸是平行四边形A88对角线B。所在直线上两点,且8E=£)F.
求证:四边形AEC尸是平行四边形.
练习
1.己知:四边形的四个内角之比为3:2:3:2,则这个四边形是.
2.已知一个四边形的边长依次分别是a、b、c、d,且a2+/+c2+d2=2〃c+2儿/,贝IJ此
四边形为.
3.如图,在平行四边形438中,AC、8。相交与点0,E、尸分别在08、
O。上,且0E=0F,又OC=,所以是平行四边
形,理由是.
4、如图,E、F是平行四边形A8CD对角线8。上的两点,请你添加一个适当
的条件:,使四边形AECF是平行四边形.
题型三、平行四边形的性质与鉴定的综合应用
例7、如图,点/、N分别在平行四边形的边8C、A。上,且BM=ON,ME_LB。,NFJ_8。,垂足
为E、尸.试说明MN与EF互相平分的理由.
AND
2
例8、如图,在平行四边形A8CZ)中,/A=60°,E、F分别是AB、C£>的中点,A8=2A”
求证:BD=6EF.
练习
1、如图,在平行四边形A8CO的对角线AC的延长线上取两点E、F,使
EA=CF。
(1)四边形E3F。的平行四边形吗?为什么?
(2)假如BE=7CVM,,则。尸等于多少厘米?
2.如图,在/SABC中,AB=AC,E是A3的中点,/)在BC上,延长ED到尸,使
。=。f=£&连结”.试判断四边形4万”的形状,并说明理由.
3、己知,如图,AB,CO相交于点。,AC//DB,AO=BO,E、尸分别是OC、
。。中点。求证:四边形AFBE是平行四边形。
题型四、平行四边形的作图
例9、已知:点A、B、C(不在同一直线上).求作:以A、B、C为顶点的平行四边形A8CD.
难点讲析:
1、动点问题
例10、如图,在平行四边形A8CD中,AD=4cm,NA=60°,A。,一动点P从A出发以每秒1cm
的速度沿A-B—C的路线匀速运动,过点P作直线PM,使PM_LAD于点E.
(1)当点P运动2秒时,设直线与4。相交于点E,求AAP尸的面积;
(2)当点「运动2秒时,另一动点Q也从A出发沿A-B-C的路线运动,且在48上以每秒1c,”的速度匀速运
动.在8C上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN,使QN〃设点Q运动的时间为f秒(Ovfv10),直
线PM与QN截平行四边形A3CZ)所得图形的面积为Sc”/,试用f的代数式表达S.
2、条件开放题
例11、如图,请在下列四个关系中,选出两个恰当的关系作为条件,推出四边形A8CD是平行四边形,并予以
证明.(写出一种即可)
关系:①AO〃BC,②AB=CD,③ZA=ZC,
④N8+NC=180°.
已知:在四边形ABCD中,,;
求证:四边形A8C。是平行四边形.
3、阅读探究题
例12、问题背景
图2
(1)如图1,中,DE〃BC分别交AB,AC于D,E两点,过点E作EF〃AB交BC于点F.请按图示数
据填空:四边形〃/%'E的面积S=,△牙T的面积S=.的面积§2=
探究发现
(2)在(1)中,若BF=a,EC=。,应'与3。间的距离为儿请证明S2=4S4・
拓展迁移
(3)如图2,的四个顶点在△43。的三边上,若丛DBE、△疗'C的面积分别为2、5、3,
试运用(2)中的结论求△/欧的面积.
练习
1、如图,在AA/8N中,BM=6,点A、B、C、。分别在MB、BN、上,四边形A8C£>为
平行四边形,NM?C=N平行四边形ABCD的周长是.
2、已知平行四边形两邻边的比为4:9,周长是78cm,则该平行四边形的一组邻边长分别为。"和
cm.
3、如图所示,平行四边形A8CZ)中,AB=5,AD=8,/A、NQ的平分线分别交
BC于点E、F,则£尸=
4、下列条件中,能推出一个四边形是平行四边形的是()
A.一组对边平行,另一组对边相等B.一组对边平行,一组对角相等
C.一组对角相等,一组对边相等D.一组对边平行,一组对角互补
5、如图,在平行四边形A8CQ中,AE=CF,点M、N分别是。E、8尸的中点。求证:FM=EN.
D
6、如图,在平行四边形A8C2中,E、户分别是4。、8。的中点,CK交BO于G,月/交8。于H,四边形
尸G是平行四边形吗?为什么?
【知识体系】
1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
[注意]菱形是特殊的平行四边形,即当一个平行四边形满足一组邻边相等时,该平行四边形是菱形,不能错
误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形.
2.菱形的性质:(1)平行四边形的一切性质菱形都具有.
(2)菱形的四条边都相等.
(3)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
[注意]菱形是轴对称图形,它有两条对称轴.
3.菱形的鉴定:(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形.
(2)四条边都相等的四边形是菱形.
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
[注意]鉴定(1)和(3)必须要说明四边形是平行四边形,再说明有一组邻边相等或对角线互相垂直,两
者缺一不可.鉴定(3)也可叙述为:对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
4.菱形的面积计算:菱形面积计算可应用平行四边形的面积公式:此外当a、。分别表达两条对角线长时,
菱形的面积S
2
[拓展]菱形的面积也合用于对角线互相垂直的任意四边形的面积计算.
2
5.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).
[注意]定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形.
6.矩形的性质:
(1)平行四边形的性质矩形都具有;
(2)矩形的四个角都是直角;
(3)矩形的对角线相等.
[注意1(1)矩形是轴对称图形,它有两条对称轴;
(2)运用矩形的性质可以证明线段相等或倍分、直线平行、角相等等问题.
7.矩形的鉴定方法:
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;
(2)有三个角是直角的四边形是矩形;
(3)对角线相等的平行四边形是矩形(也可以表述成“对角线互相平分且相等的四边形是矩形").
[注意](1)用矩形的定义鉴定一个四边形是矩形的方法不能忽视;
(2)矩形的每种鉴定方法都有两个条件,两者缺一不可.
8.直角三角形的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
[注意](1)性质的前提是直角三角形,对一般三角形不合用;
(2)性质可以用来解决有关线段倍分的问题,当已知直角三角形斜边上的中点后,连结斜边中点与直角
顶点构成斜边的中线是常用辅助线.
9.正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
[注意](1)既是矩形又是菱形的四边形才是正方形;
(2)正方形不仅是特殊的平行四边形,并且是特殊的矩形和特殊的菱形.
10.正方形的性质
(1)正方形的四条边都相等,四个角都是直角;
(2)正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角.
[注意]正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
11.正方形的鉴定
(1)先证明它是矩形,再证明它有一组邻边相等;
(2)先证明它是菱形,再证明它有一个角为直角.
[注意](1)根据正方形的定义先鉴定一个四边形为平行四边形,再证明有一组邻边相等,一个角为直角,
这也是正方形的一种鉴定方法
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