2023届湖南省新课标数学高一年级上册期末教学质量检测模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1.如图是函数/(x)=Asin(tyx+夕)|A>0,69>0,|^?|<三在一个周期内的图象，则其解析式是（）

兀/(x)=3sin12x+—

A./(x)=3sin|x+—B.

3

c./(x)=3sinl2x-1/(x)=3sin12x+^

D.

2.函数＞=Ineos的单调递减区间为

,5TT,1\n,.5万,27

A.k7r+——,k7i'+——,kwZB.%乃+——,k^+,k&Z

1212123

.兀、24,7115万

C.k7r+—^7r+—,keZD.攵万+一,k〃+,keZ

63612

3.一人打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是。

A.至多有一次中靶B.两次都中靶

C.两次都不中靶D.只有一次中靶

4.在。2兀］上，满足sinx…g的x的取值范围是（）

7t5兀、

A.[O,f]r]

ooo

r7l271rr5n

c.—D.[—,7l]

63o

5.已知函数/(x)=%2—2x+ln|x—l|+a,现有下列四个结论：

①对于任意实数a,f(x)的图象为轴对称图形；

②对于任意实数a,/(x)在上单调递增；

③当4>1时，/(x)>()恒成立；

④存在实数。，使得关于X的不等式“X)>0的解集为(9,0］口［2,+8)

其中所有正确结论的序号是()

A.①@B.③④

C.②®④D.①@@

6.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数

学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也可用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如通过函数

y=1+力cosX的解析式可判断其在区间［-7T,句的图象大致为()

7.已知三条不重合的直线加，n,I,两个不重合的平面a,夕，有下列四个命题:

①若加||〃，〃ua,则根②若m1/7,且/||加，则。〃/7；

③若mua,〃ua,m\\/3,n\\j3,则a〃/7；

④若nu0,m,则〃_La.其中正确命题的个数为

A.1B.2

C.3D.4

IT

8.函数f(x)=Zsin(3户6)(其中4>0,3>0,4)|V―)的部分图象如图所示，则函数F(x)的解析式为()

2

C.y=sin[2x+§JD.y=sin^4x+—J

9.下列说法正确的是()

A.向量4与5共线，B与Z共线，则£与2也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点

c.向量a与B不共线，则£与B都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

10.下列四条直线，倾斜角最大的是

A.y=x+1B.y=2x+1

C.y=—x+lD.x=l

11.设集合A={x|-l<xWl},B={-1,1,2,3}.贝iJ&A)n8=()

A.{-1,2,3}B.{1,2,3}

C.{-1,1,2}D.{-1,1,2,3}

12.已知集合4={(羽丁)|3工+5丁+16=0,-24％<3},8={(x,y)|Ax-y+l—Z=0},若Ac3#0,则实数

攵的取值范围是()

A.(―co,-3]u[l,+oo)B.(—oo,-3)U(l,+oo)

C.[-3,1]D.(-3,1)

二、填空题(本大题共4小题，共20分)

13.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖膈(bienao).已知在鳖膈M-ABC中，M4L平

面ABC,MA=AB=BC=2,则该鳖席的外接球与内切球的表面积之和为.

14.函数y=x2-2x(-\<x<2)的最大值为.

15.已知函数则"13))=-------

'之是音理数

f(x)=6

疼宏理数

log(x+l),x>0

16.已知函数式X)=<29Cc若函数g(x)=/lx)—/7Z有3个零点，则实数所的取值范围是_________.

—X—2x,x<0

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.已知函数/(x)=Asin(5+°)+b(A>0,④>0,|同v%)的部分图象如图所示.

154

(2)把/(X)图象上所有点的横坐标缩小到原来的y,再向左平移刃个单位长度，向下平移1个单位长度,得到g(X)

的图象，求g(x)的单调区间.

18.已知/(x)+g(x)=21og2(lr),其中/(x)为奇函数，g(x)为偶函数.

(1)求“X)与g(x)的解析式；

(2)判断函数/(x)在其定义域上的单调性(不需证明)；

(3)若不等式/。―2。+/(2-3f)20恒成立，求实数/的取值范围.

19.我们知道，指数函数/(》)=优(。>0,且QH1)与对数函数g(x)=log“x(a>0,且awl)互为反函数.

已知函数/(x)=2"其反函数为g(x).

(1)求函数尸(x)=[g(初|2—2rg(x)+3,xe[2,8]的最小值；

(2)对于函数°(x),若定义域内存在实数.%,满足9(-%)=一0小)，则称9(x)为"函数”.已知函数

=—2,叫x)-3,x"l,为其定义域上的“L函数”，求实数〃?的取值范围.

—3,x<—1

2-y

20.已知函数/(x)=log2—7的定义域为集合A,关于x的不等式的解集为3,若A=6,求实数。的

x—\

取值范围

21.如图，在三棱锥V—中，平面L4BJ_平面为等边三角形，AC,且AC=BC=

分别为AB,忆4的中点

(1)求证：VB〃平面MOC；

(2)求证：平面A/OCL平面03；

4r1

22.证明：函数/(幻=4?——］是奇函数.

参考答案

一、选择题(本大题共12小题，共60分)

1、B

【解析】通过函数的图象可得到：A=3,T=兀，«=—=2,贝！|/(x)=3sin(2x+0),然后再利用点,3］在图

71\12)

象上求解.，

2万

【详解】由函数的图象可知：A=3,T=7r,0=—=2,

71

所以"x)=3sin(2x+0),

又点后在图象上，

所以3sin[2x^+ej=3,

即sin蠢+（p=1,

TT7T

所以2+°=2Qr+勺，

62

即0=2kji+—9

因为|同<多

所以8=0

所以〃x）=3sin（2x+1）

故选：B

【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象求解析式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

2、D

7TTTTT）7T

【解析】由题意得24万<2x<24乃+—，&£Z/.k兀+—Sx<k冗+——,kGZ

32612

选D.

【点睛】函数y=不皿5+0）+8（4>0初>0）的性质

⑴'max=A+8,Win=A-8.

(2)周期T=.27.r

CO

兀

(3)由CDx+(p=—+kn{kcZ)求对称轴

jrTT

(4)由一§+2々i<cox+(p<—+2kn(kGZ)求增区间;

jr327r

由一+2EVox+eW——卜2kli(keZ)求减区间

22

3、C

【解析】根据互斥事件定义依次判断各个选项即可.

【详解】对于A,若恰好中靶一次，则“至少有一次中靶”与“至多有一次中靶”同时发生，不是互斥事件，A错误;

对于B,若两次都中靶，则“至少有一次中靶”与“两次都中靶”同时发生，不是互斥事件，B错误；

对于C,若两次都不中靶，则“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”不能同时发生，是互斥事件，C正确；

对于D,若只有一次中靶，则“至少有一次中靶”与“只有一次中靶”同时发生，不是互斥事件，D错误.

故选：C.

4、B

【解析】根据y=s，加的函数图象结合特殊角的三角函数值，即可容易求得结果.

1JrS

当sinx...—,得一领Jx—兀

266

故选：B.

【点睛】本题考查利用三角函数的图象解不等式，属简单题.

5、D

【解析】根据函数/(x)=f—2x+lnk-l|+a的解析式，可知其关于直线x=l,可判断①正确；

/(x)=d-2x+hl|x-1|+。是由y=f—2x与y=-"相加而成，故该函数为单调函数，由此可判断②;根据

y=In卜-1|的函数值情况可判断③;看。=0时情况，结合函数的单调性，可判断④的正误.

【详解】对①，因为函数y=Y—2x与》=111卜一1||的图象都关于直线％=1对称，所以/(力的图象关于直线x=l对

称，①正确

对②，当x>l时，函数y=/—2x与y=ln|x-l|都单调递增，所以/(x)也单调递增，②正确

对③，当x->i时，y(x)--oo,③错误

对④，因为“X)图象关于直线X=1对称，在(y,l)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，且〃0)=〃2)=a,

所以存在4=0,使得/(X)ZO的解集为(-8,0］。［2,+8),④正确

故选：D

6、A

【解析】根据函数的定义域，函数的奇偶性，函数值的符号及函数的零点即可判断出选项.

[详解]当乃]时，令y=[x+']cosx=0,得工=_三或x=工，

\xJ22

且时，y=(尤+g]cosx>0；7时，y=(x+g)cos元<0,故排除选项B.

因为y=cosx为偶函数，y=x+：为奇函数，所以y=(x+g%osx为奇函数，故排除选项C；

因为x=0时，函数y=(x+g卜osx无意义，故排除选项D；

故选：A

7、B

【解析】当何在平面a内时,mu平面a,①错误；两个平面的垂线平行，且两个平面不重合，则两个平面平行,②正确

③中，当m〃”时，平面a,尸可能相交，③错误；④正确.故选B.

考点：空间线面位置关系.

8、A

7T

【解析】由图观察出A和T后代入最高点，利用|。|<,可得9,进而得到解析式

【详解】解：由图可知：A=l,—=—=—,：.T=7r,。='=2,

41264T

代入点C，1)得l=sin(2x3+。)，(p~\———卜2k兀9kwZ,

6632

,,7T汽

,I。1<不，：・(P=工，

26

y=sin(2x+?),

故选A.

【点睛】本题考查了由y=Asin(s+0的部分图象确定其表达式，属基础题.

9、C

【解析】根据共线向量(即平行向量)定义即可求解.

【详解】解：对于A：B可能是零向量，故选项A错误；

对于B：两个向量可能在同一条直线上，故选项B错误;

对于c：因为0与任何向量都是共线向量，所以选项C正确；

对于D：平行向量可能在同一条直线上，故选项D错误

故选：C.

10、C

【解析】直线方程尸X+1的斜率为1,倾斜角为45。，

直线方程y=2x+l的斜率为2,倾斜角为a(60°<a<90"),

直线方程y=-x+l的斜率为T,倾斜角为135",

直线方程x=l的斜率不存在，倾斜角为90。.

所以C中直线的倾斜角最大.

本题选择C选项.

点睛：直线的倾斜角与斜率的关系斜率&是一个实数，当倾斜角a/90。时，&=tana.直线都有斜倾角，但并不是每

条直线都存在斜率，倾斜角为90。的直线无斜率.

11,A

【解析】先求得A,然后求得(电A)cB.

【详解】砌=(-«),—uA)nB={-1,2,3}.

故选：A

12、A

【解析】集合A表示(-2,-2)到(3,-5)的线段，集合B表示过定点(1,1)的直线，ACBH0,说明线段和过定点的

直线有交点，由此能求出实数k的取值范围

【详解】由题意可得，集合A表示(-2,-2)至(J(3,-5)的线段上的点，集合B表示恒过定点(1,1)的直线.

•••线段和过定点的直线有交点

.•.根据图像得到只需满足士?=-3,或攵2生萼=1

1-31-(-2)

故选A.

【点睛】本题考查交集定义等基础知识，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题.解答本题的关键是理解集

合A表示(-2,-2)到(3,-5)的线段，集合8表示过定点(1,1)的直线，再通过AC3/0得出直线与线段有交点，通

过对应的斜率求解.

二、填空题(本大题共4小题，共20分)

13、24万—8岳

M-ABC四个面都为直角三角形，MA_L平面ABC,MA=AB=BC=2,

...三角形的AC=2近,

从而可得MC=26,

那么ABC内接球的半径r：可得(近-r)2=r2+(2-2

解得：r=2-y/2

•••△ABC时等腰直角三角形，

二外接圆半径为;AC=G

外接球的球心到平面ABC的距离为=1

2

可得外接球的半径R=V3

故得：外接球表面积为127r.

由已知，设内切球半径为八，

S2;'2也x2=2®

S&ABC=—X2/X2=2

1，

S&MAB=-X2X2=2

S&wBc=gx2x2^2=2>/2

11(.

,・q・.MA=—(SAMAC+SMfiC+，.他+SAMBC)•r

—x2x2=—x(2>/2+2+2+2,\/2),r

33

r=V2-1，

内切球表面积为S=4%，'2=44(应一])2=([2一8正)4，

外接球与内切球的表面积之和为24乃-8在万

故答案为：24万一8，^》.

点睛：本题考查了球与几何体的问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质,

球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平

面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两

条直线的交点，就是其外接球的球心.

14、3

【解析】根据二次函数的性质，结合给定的区间求最大值即可.

【详解】由y=x2—2x=(x—l)2—l,则开口向上且对称轴为x=l,X-l<x<2,

・••)1=_]=3,y1-2=0,故函数最大值为3.

故答案为：3.

15、,##0.5

【解析】利用分段函数的解析式，代入求解.

【详解】因为函数，

(冷笫》宏育理麴

f(x)=6

是无理教.

所以…、/\/、

/(/(13))=f(亭)=sin(亍)=sin(2JT+丹=sin：=：

故答案为：

1

16、(0,1)

【解析】将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到机的范围

【详解】令g(X)=f(x)-m=0,

得m=f(x)

作出y=/(x)与¥=机的图象，

要使函数g(x)=/(x)有3个零点，

则y=/(x)与7="，的图象有3个不同的交点,

所以0V机＜1,

故答案为(0,1)

【点睛】本题考查等价转化的能力、利用数形结合思想解题的思想方法是重点，要重视

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17、(1)/(x)=2sin(2x-gj+l

(2)单调递减区间为耳,£+耳心团,单调递增区间为千+耳彳+耳(丘Z)

【解析】(1)根据最值求A)的值；根据周期求①的值；把点代入求e的值.

(2)首先根据图象的变换求出g(x)的解析式，然后利用整体代入的方法即可求出g(x)的单调区间.

【小问1详解】

由图可知A+8=3,-A+b=-l,所以A=2,b=\.

又工=包+2=工，所以T=乃，因为。＞0,所以切=至=2.

212122T

因为/(普)=2$m(系+夕)+1=3,所以朗+e=5+2A](左eZ),

即。=一三+wZ),又〈万，得0=-三,

33

所以/(x)=2sin(2x-()+l.

【小问2详解】

由题意得g(x)=2sin[4x+yj=2cos4x,

由2k兀W4xW兀+2k兀(keZ),得—4x<?+当(&eZ),

k冗jrk兀

故g(x)的单调递减区间为q+5-(&wz),

由〃+2左乃<4x42乃+2攵乃(攵cZ),得？+算4%s]+短(keZ),

故g(x)的单调递增区间为+(k£Z),

2

18、(1)/(x)=log21^(-1<x<l),^(%)=log2(l-x)(-l<x<l)；(2)函数/(x)在其定义域上为减函数;

【解析】(1)由/(力+8(力=21082(1-力与/(-x)+g(-x)=21og2(l+x)可建立有关“X)、g(x)的方程组,

可得解出“X)与g(力的解析式：

(2)化简函数“X)解析式，根据函数“X)的解析式可直接判断函数/(X)的单调性；

(3)将所求不等式变形为/(I-2r)N/(3r-2),根据函数/(x)的定义域、单调性可得出关于实数/的不等式组，

由此可解得实数，的取值范围.

【详解】(1)由于函数/(x)为奇函数，g(x)为偶函数，

•."(%)+g(x)=2log2(l-x),.♦./(―x)+g(―x)=2log2(l+x),

BP-/(x)+g(x)=2log2(1+x),

2

所以，]，；；)；：(；)「『(I：)解得〃x)=log2产,g(x)=log2(l-x).

[-/(x)+g(x)=21og2(l+x)1+x')

l+x>0

由八，可得

l-x>0

2

所以，/(x)=log2^^(T<x<l)，g(.v)=log2(l-x)(-l<%<l)；

(2)函数/(乃=1。82=的定义域为(Tl),〃x)=log2警3=]og/m一“，

1IX1IX11IXJ

所以，函数/(x)在其定义域上为减函数;

(3)由于函数/(x)为定义域(-1』)上的奇函数，且为减函数，

由/(1一2。+/(2-3。20,可得/(1一2/)2-/(2-3。=/(3/-2),

l-2/<3r-2

3

由题意可得一1<1—2，<1,解得二

-l<2-3r<l5

因此，实数r的取值范围是|,11.

【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：

(1)先分析出函数在指定区间上的单调性；

(2)根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；

(3)求解关于自变量的不等式，从而求解出不等式的解集.

19、(1)答案见解析

(2)[-l,+oo)

【解析】(1)利用换元法令P=log2X，P€[l,3],可得所求为关于p的二次函数，根据二次函数的性质，分析讨论，

即可得答案.

(2)根据题意，分别讨论在[-1,1]、(-8,-1)和(1,+0。)上存在实数.％,满足题意，根据所给方程，代入计算，结合

函数单调性，分析即可得答案.

【小问1详解】

由题意得g(x)=10g,x

-2

所以F(x)=(x)]-2tg(x)+3=(log2x)-2rlog2x+3,xe[2,8],

令p=log2X,p€[l,3],设M(p)=p2-2fp+3,pw[l,3]

则M(P)为开口向上，对称轴为〃=。的抛物线，

当rwi时，"(P)在[1,3]上为单调递增函数，

所以M(p)的最小值为M⑴=4一2人

当1<，<3时，M(P)在(1")上单调递减，在3)上单调递增，

所以M(p)的最小值为M⑺=3-/；

当，23时，M(P)在口,3]上为单调递减函数,

所以M(p)的最小值为“⑶=12-6f；

综上，当fWl时，尸(%)的最小值为4一2，

当l<f<3时，E(x)的最小值为3-产，

当「23时，E(x)的最小值为12—6/

【小问2详解】

①设在上存在毛，满足°(一％)=-。&),

则4%-m-2^'-3+4^一帆—3=0,

令，=2凤+2』，则122匹2”>-27。=2,当且仅当天)=。时取等号,

又与

所以fW2i+2T=*,即re2,1,

2L2J

所以4的一机・2<i)+l—3+4-阳—m-2-%+'-3=产一2—2mt—6=0»

7

所以加e-1,--

②设(YO,T)存在％,满足夕(-%)=一夕国)，

贝!1一3+4-*°—〃-3=0，即机=2/T一3-2加有解，

因为y=2-T-3•2V在(TO,-1)上单调递减，

所以机〉一工,

2

同理当在(1,+℃)存在与，满足贝一跖人一0伍)时，解得加>一；，

所以实数团的取值范围［-1,+8)

【点睛】解题的关键是理解新定义，并根据所给定义，代入计算，结合函数单调性及函数存在性思想，进行求解，属

难题

20、{a\a<-1}.

2—x

【解析】对数真数大于零，所以土卫>0,解得1<X<2.2'为增函数，所以a<-a-x,x<-