2023年北京市高考数学模拟试卷（二）

2023年北京市高考数学模拟试卷(二)

一、单选题(本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4={%|-2Vx<4},B={x|log2x<1},则4nB=()

A.{x|-2<%<2]B.{x|-2<%<4]

C.{x|0<x<2}D.{x|0<%<1}

2.在(2-％)5的展开式中，炉的系数为()

A.20B.-20C.40D.-40

3.己知双曲线圣一，=1的一个渐近线方程为y=x，则离心率为()

A.yB.0C.CD.2

4.2023年是我国规划的收官之年，2022年11月23日全国22个省份的832个国家级贫困县全

部脱贫摘帽.利用电商平台，开启数字化科技优势，带动消费扶贫起到了重要作用.阿里研究院

数据显示，2013年全国淘宝村仅为20个，通过各地政府精准扶贫，与电商平台不断合作创新，

2014年、2015年、2016年全国淘宝村分别为212个、779个、1311个，从2017年起比上一年

约增加1000个淘宝村，请你估计收官之年全国淘宝村的数量可能为()

A.4212个B.4311个C.4779个D.8311个

5.已知直线h：(3+a)x+4y=5-3a,%：2x+(5+a)y=8.若lJ/L平行，则a的值为()

A.-7B.-1C.—7或—1D.-2或4

6.已知4,B为圆C：(x-m)2+(y-n)2=4(?n,n6R)上两个不同的点(C为圆心)，且满足

\CA+CB\=2\/~3,则|AB|=()

A.2V-3B.2\[~2C.2D.4

7.已知函数/(x)=x-|x-a|的图象与直线y=-4的公共点不少于两个，则实数a的取值范

围是()

A.a<—4B.aW-4C.-4<a<0D.a>—4

8.若B点的坐标为(3,2),点P为抛物线C：产=6%上的动点，?是抛物线C的焦点，当APBF

周长取得最小值时APBF的面积为()

A.|B.|C.ID.3

9.设等比数列{册}的前几项和为%,则%+<2。2'是Sn-l<0'的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定

理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿

黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它

是一个顶角为36。的等腰三角形(另一种是顶角为108。的等腰三角形),例如，五角星由五个黄金

三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，毁=耳.根据这些信

AC2

息，可得立几1674。=()

AmB3+CQC+iD4+n

二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)

11.复数z=2的模为.

12.己知x>1,当》=时，，y=加工+log^lO取到最小值为.

13.已知非零向量%E，不共面，写出一组满足等式@不评=日(右？)的向量落3向量五，

H坐标分别为.

14.在△4BC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c若si?i4=cos6-8),a=3,c=2,

则cosC=_(1)_;△ABC的面积为_(2)_.

15.已知函数f(%)=4"+：121,g(x)=as讥(级+学-2a+2(a>0),给出下列

1一b+；，尤€［跋

结论：

①函数f(x)的值域为［0市；

②函数g(x)在[0,1]上是增函数；

③对任意a>0,方程/(x)=gQ)在[0,1]内恒有解；

④若存在石，xG[0,1],使得f(xi)=g(X2)成立，则实数a的取值范围是:<a<

2v5

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题(本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题13.0分)

如图，在直角梯形44道避中，乙41aB=90。，A[B]”AB,AB=AAt=2A1B1=2,直角梯形

441GC通过直角梯形4&B1B以直线44i为轴旋转得到，且使得平面4&GC平面斗&口述.”

为线段BC的中点，P为线段上的动点.

(I)求证：41G_LAP；

(口)当点P是线段BBi中点时，求二面角P-AM-B的余弦值.

17.(本小题13.0分)

在①函数y=/。)的图象关于直线x=制•称，②函数y=f(x)的图象关于点P管,0)对称，③

函数y=f(x)的图象经过点Q(与2)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.

问题：已知函数/(x)=2sina)xcos(p+2cos3xsin<p(3>0,\(p\<])最小正周期为兀.

(I)求函数f(x)的解析式；

(□)函数f(x)在有刍上的最大值和最小值.

18.(本小题14.0分)

2020年初新冠肺炎全球爆发,我国在控制疫情的同时，也开始紧锣密鼓地研制新冠疫苗,2021

年初国产新冠疫苗就开始投入使用，目前北京18岁及以上人群接种率达76.71%.疫苗正式投

入使用前，都需要进行三期的临床试验，某款国药新冠疫苗进行三期临床试验时，在某地区

招募了100名志愿者，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按［30,40)、［40,50)、［50,60)、

［60,70)、［70,80］分组，得到的频率分布直方图如图所示.

(I)求。的值，并求该次临床试验志愿者的平均年龄(每个分组取中间值作代表)；

(口)现从年龄在［50,60)、［70,80］的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取

3人，用X表示抽到志愿者的年龄在［70,80］的人数，求X的分布列和数学期望；

(ID)该疫苗结束三期试验后，需要调查该地区居民打针意愿，若用样本的频率代替概率，用

随机抽样的方法从该地区30岁至80岁之间的居民中抽取20名进行调查，其中有k名居民的年

龄在［30,50)的概率为与(卜=0,1,2，…,20),当与最大时，求A的值.(只需写出结论)

19.(本小题15.0分)

已知椭圆C：m+［=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,短轴长为2,椭圆C的左顶

ab

点到&的距离为

(I)求椭圆C的标准方程.

(11)设直线1与椭圆。交于4B两点，已知M(0,手，若为？•而为定值，则直线?是否经过定点？

若经过定点，请求出定点坐标和定值；若不经过定点，请说明理由.

20.(本小题15.0分)

已知函数/(%)=三"，g(x)=mcosx-x,m>0.

(I)讨论函数/。)在(一m0)u(O,zr)上的单调性；

(II)若方程时(x)=g(x)在区间(0年)上有且只有一个实数根，求m的取值范围.

21.(本小题15.0分)

设数列｛厮｝和｛%｝的项数均为m,则将数列｛an｝和｛4｝的距离定义为£乙11bi\.

(1)给出数列1,4,6,7和数列3,4,11,8的距离；

(II)设4为满足递推关系即+i=普的所有数列｛斯｝的集合，｛%｝和｛7｝为4中的两个元素，

1—an

且项数均为若瓦=2,q=3,｛%｝和｛0｝的距离小于2016,求小的最大值；

(4)记S是所有7项数列｛郁［1<n<7,an=0或1｝的集合，7US,且T中任何两个元素的距离

大于或等于3,证明：7中的元素个数小于或等于16.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解:集合4={x|-2<x<4},B={x|log2x<1]={x|0<x<2},

则4CB={x|0<x<2].

故选：C.

根据已知条件，结合交集的定义，即可求解.

本题主要考查交集的定义，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：(2-乃5的展开式通项公式为CJ25-r(_%)『=CJ25T

故炉的系数为底22x(-1)3=-40.

故选：D.

根据已知条件，结合二项式定理，即可求解.

本题主要考查二项式定理，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：己知双曲线的方程为马—马=1,

a2b

则双曲线圣―，=1的渐近线方程为丫=±5%,

・••双曲线'一，=1的一个渐近线方程为y=x,

a—b,

故选：B.

由双曲线的性质，结合双曲线离心率的求法求解即可.

本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题.

4.【答案】D

【解析】解：根据题意，从2017年起比上一年约增加1000个淘宝村，2016年有淘宝村1311个，

•••可以看成首项为1311,公差为1000的等差数列，

求2023年淘宝村的数量，

。2。23=。2016+7d=1311+7000=8311.

故选：D.

根据题意，分析可得2017年起，淘宝村的数量大体上是以1311为首项，1000为公差的等差数列,

结合等差数列的性质分析可得答案.

本题考查数列的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：知直线k(3+a)久+4y=5—3a,%：2%+(5+a)y=8,

若平行，则等=U-羊耳，求得a=-7,

故选：A.

由题意利用两条直线平行的性质，求得a的值.

本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：设圆C：(x-m)2+(y-n)2=4与y轴交于4,B两点，取线段4B的中点D,

则由弦的性质可得CD1AB,且而="(”+而)，故CO的长度即为圆心C到弦4B的距离.

二圆心C到AB的距离为d=2面+画=gx2，？=C,由于圆的半径为r=2,

故48=2V4-3=2,

故选：C.

利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得C到4B的距离d,再由弦长公式求得弦长|48|

的值.

本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，弦长公式的应用，求出C到AB的距离d

是解题的关键，属中档题.

7.【答案】B

【解析】解：中)=i-叫=因::咒

①当a>0时，其图象如下：

函数/(x)=尤•|x-a|的图象与直线y=-4的公共点只有1个，不符合题意.

②当a<0时，其图象如下：

♦

7T^

•

1

：一的公共点不少于两个时，

函数/(%)=x-\x-a|的图象与直线y=4/(2)=-^<_4)

解得a<-4；

③当Q=0时，其图象如下：

JZ

Z.

结合图象，不符合题意.

综上所述：实数a的取值范围是：a〈-4.

故选:B.

分a>0,a<0,a=0画出图象即可.

本题考查了函数的图象，数形结合思想，属于中档题.

8.【答案】C

点8(3,2)在抛物线内部，过B作BM垂直于抛物线的准线，

交抛物线于P,连接PF,此时△PBF的周长最小，yp=ye=2,

孙=；=3则P(|,2),

\PB\=3-1=|,F到BP所在直线的距离为2,

•••△PB尸的面积为S=gx：x2=(.

故选：C.

由题意画出图形，求出满足APB?周长取得最小值时的P点坐标，则APBF的面积可求.

本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题.

9.【答案】A

2

【解析】解：，,,等比数列{an},%+a3V2a2=%(q一l)<0,at<0且qH1,

由S2n_iVO,

①当qH1时，--<0,则由<0且qH1,

②当q=l时，(2九一1)。1<0,即。1<0且q=l,

・•.at+a3<2a2是Szn.i<0的充分不必要条件.

故选：/.

根据等比数列的通项公式，前n项和公式，再根据充分必要条件的定义判断即可.

本题考查了等比数列的通项公式，前n项和公式及等比数列的性质，考查了充分必要条件的判断,

属于中档题.

10.【答案】C

【解析】解：由题意可得：44cB=72。，且cos/ACB=逆="匚，

AC4

所以cosl44。=2cos272。—1=2x(^―1--)2-1=->：+1,

v474

所以sinl674°=s讥234°=sin(144°+90°)=cosl44°=一^^，

故选：C.

直接利用三角函数恒等变换，利用诱导公式，二倍角公式的应用即可求出结果.

本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.

11.【答案】<2

【解析】解：复数2=等=湍告5=1-八

故|z|=J1.2+(-1)2=V-2-

故答案为：<2.

先化简复数2=2,再计算模长即可.

本题主要考查复数模长的计算，属于基础题.

12.【答案】102

【解析】解：•.,X>1,

・•・Igx>0,

・'•y=Igx+logx10=Igx+上22JIgx,我=2,当且仅当％=10时，等号成立，

故答案为：10；2.

转化后结合基本不等式求解即可.

本题主要考查基本不等式的应用以及对数的运算性质，属于基础题.

13.【答案】(LI),(2,2)

【解析】解：可取不=(1,1)兄=(2,2),K=(x,y),

a'b=x+y,b-c=2x+2y>(x+y)(2,2)=(2x+2y)(l,l).

故答案为：(1,1),(2,2).

可看出，当五兄共线时，便可满足(3%)工=3@©，可取五=(1,1)1=(2,2).

本题考查了共线向量基本定理，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础题.

14.【答案】\

2>/~2

【解析】解：在AZBC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c.

sinA=cos(^-B)=sinB,a=3,c=2,

:.b=a=3,

「a2+b2-c29+9-4147

-'-cosC=^r-=-^3=X8=9

sinC=J1-(§2=殍，

•••△4BC的面积S=^absinC=|x3x3x殍=2VT

故答案为：2A/-2-

由s讥4=cos^-B)=sinB,a=3,c=2,得b=a=3,由此能求出cosC,从而得到sinC,进

而能求出AABC的面积.

本题考查三角形中角的余弦值和三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定

理、余弦定理、三角函数诱导公式的合理运用.

15•【答案】①②④

【解析】解:①当G,1］时,f(x)=*=1-金单调递增，<f(x)W/(l),即！<f(x)<

1

3,

当xe[0,；]时,由函数f(%)=-基+；单调递减，•••/《)4f(*)4f(0),BPO</(%)<i

ZZ4Z4

・•・函数f(x)的值域为［0币.因此①正确.

②9(%)=-acos^x—2a+2,xG［0,1］>,,®因此cos写在［0,1］上单调递减，

又a>0,；.g(x)在［0,1］上单调递增，因此正确.

③由②可知：g(0)<g(x)<g(l),二—3a+2<g(_x)<—+2.

若任意a>0,方程f(x)=g(x)在［0,1］内恒有解，

则必须满足/'(x)的值域［0由£(g(x)lx6［0,1］).

-3a+2<0,—cz+2>解得。=：,因此③)不正确；

④存在与，x2e［0,l］,使得—g%)成立，则秒*咤偿丁以

由③可知：gCOmax=g(l)=-|a+2，g(x)min=g(0)=-3a+2,

-3a+2<i,-|a+2>0,解得群a.，

••・实数a的取值范围是，<a<吉正确.

综上可知：只有①②④正确.

故答案为：①②④.

①当工€41］时，利用/)=金=1一急单调递增，可得筋)</Q)Sf(l).

当xe［o》时，函数/。)=一枭+3利用一次函数的单调性可得抬)s/(x)s/(o).

即可得到函数/(%)的值域.

②利用诱导公式可得g(x)=-acosfx-2a+2,利用余弦函数的单调性，进而得出g(x)在［0刀上

单调性.

③由②可知：g(0)<g。)Wg(i)，若任意a>o,方程f(x)=g(x)在［0,1］内恒有解，

则必须满足f(x)的值域［0百£{5(x)1%e［0,1］}.解出判定即可.

④存在与，％250,1］，使得/%)=9(%2)成立，则［喳产仁，仅皿解出即可.

闻犯

max^fWmin

本题综合考查了分段函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法等基础知识与基本技能方法，考

查了分析问题和解决问题的能力，属于难题.

16.【答案】解：（I）证明：由已知411AB=乙4通。

且平面441&CJL平面441&B,

所以NBAC=90。，即4clAB.

又因为AC1且4BnAAr=A,

所以ACL平面AA/i8.

由已知4G〃ac,所以4Gi平面力4Bi8.

因为4PU平面44/1B,

所以公614P.

（口）由（I）可知AC,AB,两两垂直.

分别以AC,AB,为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示.

由已知AB=AC=AAr=2A1B1=2A1C1=2,

所以4(0,0,0),8(0,2,0),C(2,0,0),Bj(0,1,2),4式0,0,2).

因为M为线段BC的中点，P为线段幽的中点，所以“(1,1,0),P(0,1,l).

设平面4PM的一个法向量为j?=(x,y,z),

n-AM=x+y=0

则一一3，取％=2,得完=(2,—2,3),

n•AP=-y+z=0

平面ABM的法向量沆=(0,0,1),

由图知二面角P-AM-B的大小为锐角，

,,一一、।\mn\33<T7

・•・Icosvm,n>\=]^=7==-

••・二面角P-AM-B的余弦值为甯！

【解析】（I）证明AC14B.结合AC1441，证明AC1平面力&丛区推出4G_L平面斗&口述.即可证

明41cl14P.

（口）以4c,4B,为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面48M的一个法向量，平面4PM

的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角P-AM-B的余弦值.

本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置

关系等基础知识，考查运算求解能力，属中档题.

17.【答案】解：/(%)=2sina)xcos(p4-2cosa)xsin(p=2sin(a)x4-(p),

因为/⑶的最小正周期为兀，所以兀=2，解得3=2,

所以/(%)=2sin(2x+<p),

选择①：(I)因为函数y=f(x)的图象关于直线x=亨对称,

所以24+8=]+Mr,keZ,则中=而一看,keZ,

又191Vp所以W=

所以/'(x)=2sin(2x-1).

(口)因为X6生自，所以2%_旨碎用],

当2#一3=1即3飘,/(x)取得最大值2；

当2#_*巳,即x建时，/(x)取得最小值1.

选择②：(I)因为函数y=f(x)的图象关于点P偿,0)对称，

所以2；+@=/OT,k&Z,则租=上兀-3，kEZ,

Oo

又l<pl<p所以0=

所以/(X)=2sin(2x-^).

(II)因为刍，所以2x-]e[0,争，

当2x//即x='时,/(x)取得最大值2；

当2x*=0,即％建时，/㈤取得最小值0.

选择③：(I)因为函数y=/(%)的图象经过点Qg,-2),

所以2sin(2,+(p)=—2,即与+W=手+2kli)k6Z,

所以8=21兀+3，k&Z,

又|刎<々，所以3屋，

所以/(x)=2sin(2x+^).

(口)因为口6有号,所以"+旨臣篇，

当2x+a=》即刀=泄，/(x)取得最大值2；

当2%+5=*即％号时，/(x)取得最小值1.

【解析】结合辅助角公式与正弦函数的周期性，求得3=2,

选择①：(I)根据正弦函数的轴对称性，求得0的值，即可；

(H)由得再结合正弦函数的图象与性质，得解；

选择②：(I)根据正弦函数的中心对称性，求得W的值，即可；

(II)由无得2x冶e［0,等，再结合正弦函数的图象与性质，得解；

选择③：(1)将点＜2a,-2)代入/0)的解析式中，求得0的值，即可；

(n)由xe冷刍，得"+髀/部再结合正弦函数的图象与性质，得解.

本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握辅助角公式，正弦函数的图象与性质是解题的关键，

考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

18.【答案】解：(I)由频率分布直方图知(0.005+0.010+a+0.030+0.035)x10=1,解得a=

0.020,

所以该次临床试验志愿者的平均年龄为(0.005x35+0.035x45+0.030x55+0.020x65+

0.010x75)x10=54.5；

(口)年龄在［50,60)的人数为0.030x10x100=30,年龄在［70,80］的人数为0.010x10x100=

10,

根据分层抽样，可知年龄在［50,60)的抽取6人、年龄在［70,80］的抽取2人，

所以X的可能取值为0,1,2,

23=0)=等=得〃(*=1)=警=5「”=2)=等=&，

所以X的分布列为

X012

P515—3

142828

所以E(X)=0x得+1X1|+2X9='；

(DI)由题可知,年龄在［30,50)内的频率为(0.005+0.035)x10=0.4,

设年龄在［30,50)的人数为y,所以y〜B(20,0.4),

k20k

Pk=P(Y=k)=C%•0.4-(1-0.4)-(fc=0,1,2,-,20),

沿上匕_第0。小(1-0.4产从_2(21-k)_

以亡一亡一南瓦产二二严一一~12…,20),

由t>1得％<8.4,此时&_1<Pk；

由t<l得k>8.4,此时&_1>2上.

所以当k=8时，Pk最大.

【解析】(I)由频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，求出a的值，再将所有矩形底边中点值

乘以矩形面积，再将所得的数相加即可得出该次临床试验志愿者的平均年龄；

(U)先根据分层抽样得知，所抽取的8人中，年龄在［50,60)的抽取6人、年龄在［70,80］的抽取2人，

可得出随机变量X的可能取值为0、1、2,并利用古典概型的概率公式计算出随机变量X分别取0、

1、2时的概率，列出随机变量X的分布列，并利用数学期望公式计算出随机变量X的数学期望；

(W)设年龄在［30,50)的人数为Y,可知丫〜8(20,0.4),利用独立重复试验的概率公式得出七=

P(Y=k)=C%-0.4k-(1-0.4)2。-气k=0,i,2,…,20),分析出数列｛PQ(0<fc<20,kGN)的单调

性，可求出外的最大值及对应的k的值.

本题考查了概率与统计的综合，考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题.

19.【答案】解：(I)因为椭圆C的短轴长为2,椭圆C的左顶点到Fi的距离为C-1,

b=1,i即b2=a2-c2=1

所以

a—c=v2-1,a—c=y/~2—1'

也即卜+c=*=°+l,解得仁「

a-c=\1~2-1(ft=1

所以椭圆C的方程为：y+y2=1；

(II)当直线［的斜率存在时，设直线L的方程为：y=kx+m,

笆*期2=1、一

由2y,消兀整理得，(2/c2+l)x2+4kmx+2(m2—1)=0,

y=kx+m

22222

所以4=16/cm—4(2fc+1)•2(m-1)=8(21—m+1)>0,

设/(%,%),8(%2，先)，由根与系数的关系可得，

"】+"2=^^收1不=?黑厢=(修/1一》，丽=。2/2一》，

xx2

所以拓^.MF=xrx2+(yi-])(丫2-J=i2+(kxi+m-^)(fcx2+m=(fc4-+

k(m-+x)+(m-J)2=(fc2+1)x攀二，+k(m-；)x+(m-=

2

■•降2+(3皿2一如一强

2k2+i'

又国•丽为定值，

157131

可得二E=3o7712m~16.

2~1

整理得67n2—m—2=0,

解得TH=-g或巾=I，故直线［的方程为y=kx-g或y=fcx+I，

所以直线l过定点(0,-3或(0,勺，此时忌-MB=-^；

当直线斜率不存在时，设直线的方程为x=n,

不妨设4(n,J1-y),B(n,-J1-y)，

.•・两.丽="+2—(一4)=一普+4，

loZ16L

又为晨而为定值，

所以n=0,

所以直线I的方程为x=0,

此时直线，过定点(0,-今或(0,|),=符合题意；

综上所述，若为入而为定值，则直线，过定点(0,-》或(0,|),定值为-得.

【解析】(I)根据已知条件和椭圆的几何性质列出关于a,b,c的方程组，求解a,b,c可得椭圆

的标准方程；

(II)分斜率存在与不存在两种情况，当直线的斜率存在时•，设出直线的方程为y=kx+m,并与

椭圆的方程联立，可得韦达定理，根据旃•丽为定值，列出方程解得m的值，代回直线的方程可

得直线所过的定点；当直线的斜率不存在时.，设直线的方程为x=n,表示出4B的坐标，由拓？.MB

为定值可得n=0,从而可得直线的方程，进而可得直线过的定点.

本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及椭圆中的定点问题，属于中档题.

20.【答案】解：(I)由/(乃=哈则/'(%)=xcosx-sinx

令九(％)=xcosx—sinx,九'(％)=cosx—xsinx—cosx=—xsinx,

当％6(一加,0)时，九'(%)<0,九(%)单调递减,

当％6(0,7T)时，"(%)VO,/l(x)单调递减，

所以当％E(一兀0)时，h(x)>h(0)=0,当％W(0,e)时,h(x)<h(0)=0,

所以当x£(一再0)时,f(x)>0,当％W(O,TT)时,/'(%)V0,

所以f(%)在(-兀,0)上单调递增，在(0,兀)上单调递减.

(口)由题意得笠'"=mcosx-%,即/_mxcosx+msinx=0在区间(0,：)上有且只有一个实数

根，令F(x)=%2-mxcosx+msinx,则F(x)在(0年)上有且只有一个零点，

F'(%)=2x—mcosx+mxsinx+mcosx=2%+mxsinx—x(2+msinx')9

①当0<mW2时,一2<msinx<2,所以F'(x)>0,F(x)在(0岑)上单调递增,F(x)>F(0)=0,

所以尸(x)在(0年)上无零点；

②当m>2时，令尸'(%)=0,所以sinx=-鼻€(-1,0),所以存在唯一打G(0,y),使尸'Q)=0,

当x6(0,沏)时，Fz(x)>0,尸(x)单调递增，当xe(xo,岑)时，r(x)<0,FQ)单调递减，因为

F(0)=0,F(y)=竽一m，当/(当>0时，即2<mW竽时，/⑶>0在(0,会上恒成立，F(x)

在(0号)上无零点，不符合题意；当尸(3<0时，即瓶>竽时，F(x)在(0,当上有且只有一个零

点，符合题意.

综上所述，血的取值范围是(苧,+8).

【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，方程的根与函数零点的关系，考查分类讨论

思想与运算求解能力，属于困难题.

(1)对/(切求导，利用导数与单调性的关系即可求解；

(口)由题意可得F(x)="-mxcosx+msinx在(0,当)上有且只有一个零点，对F(x)求导，再对m

分类讨论，利用导数求出尸(x)的单调性，从而可得F(x)有且只有一个零点时m的取值范围.

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