第5章生活中的轴对称 题型解读3 等腰三角形题型-2020-2021学年北师大版七年级数学下册

题型解读3等腰三角形题型【知识梳理】1.概念:有两条边相等的三角形是等腰三角形;这两条相等的边叫腰,另一边叫底边,两腰的夹角叫顶角,腰与底边的夹角叫底角.2.性质:①等腰三角形是轴对称图形,对称轴是它的顶角角平分线所在的直线;②等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）；③等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）3.判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）4.等腰三角形的分类讨论①若题目未明确角是等腰三角形的哪种角，则需分角是顶角或底角两种情形分别进行讨论论证；②若题目未明确边是等腰三角形的哪种边，则需分边是腰或底边两种情形分别进行讨论论证；【典型例题】例1.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D，△ABC的周长为36，AD=12,则△ADC的周长为________【解析】考查等腰三角形的性质“两腰相等”及“三线合一”.△ADC的周长=AD+AC+DC=AD+(AB+AC)/2+BC/2=AD+（AB+BC+AC）/2==12+18=30.例2.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点O，且BO＝CO，求证：（1）∠ABE＝∠ACD；（2）DO＝EO。【解析】（1）利用等边对等边的性质即可得出结论；∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC-∠OBC=∠ACB-∠OCB，∴∠ABE=∠ACD；（2）利用三角形全等即可得出结论；在△DOB与△EOC中，∵∠ABE=∠ACD，OB=OC，∠DOB=∠EOC，∴△DOB≌△EOC，∴OD=OE；例3．一个等腰三角形两个内角的和为100º，则它的顶角度数是_______________【解析】由于题目未明确两个内角是两个底角之和还是一个顶点和一个底角之和，所以要分两种情况讨论；①“底角+顶角=100º”:根据三角形内角和,可算出另一底角为80º,所以顶角为20º；②“底角+底角=100º”:根据三角形内角和,可算出顶角为80º.故它的顶角度数是20º或80º例4.等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是_________【解析】由于题目未明确这个角是顶角还是底角，所以要分两种情况讨论；①“顶角=80º”:答案即为80º；②“底角=80º”:根据三角形内角和,可算出顶角为20º.故它的顶角度数是80º或20º例5.一个等腰三角形的两边长分别为5，8，则它的周长为_____【解析】由于题目未明确两边是两个腰还是一个腰和一个底边，所以要分两种情况讨论；①当一腰长为5，一底边长为8时，则等腰三角形的周长为5+5+8=18；②当一腰长为8，一底边长为5时，则等腰三角形的周长为8+8+5=23.故等腰三角形周长为18或23.例6.一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为_____【解析】由于题目未明确两边是两个腰还是一个腰和一个底边，所以要分两种情况讨论；①当一腰长为4，一底边长为8时，∵4+4=8，∴不符合三角形三边关系，故不存在；②当一腰长为8，一底边长为4时，则等腰三角形的周长为8+8+4=20.故它的顶角度数是20º或80º例7.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40º，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40º，DE交线段AC于点E．在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【解析】由于题目未明确等腰△ADE的腰与底，故需要分类讨论，再利用等腰三角形性质及三角形内角和公式、外角定理即可求解。∵△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C=40º.①当AD=AE时，∴∠AED=∠ADE=40º，∵∠AED是∠C的外角，∴∠AED>∠C，故不存在，舍去；②当AD=DE时，∴∠DAC=（180º-40º）÷2=70º，∴∠BDA=∠DAE+∠C=70º+40º=110º；③当AE=DE时，∠DAE=40º，∴∠BDA=∠DAE+∠C=40º+40º=80º；综上所述，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为110°或80°.例8.阅读下列材料，解答问题：定义：线段AD把等腰三角形ABC分成△ABD与△ACD（如图12-1），如果△ABD与△ACD均为等腰三角形，那么线段AD叫做△ABC的完美分割线。⑴如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=108º，AD为△ABC的完美分割线，且BD<CD，则∠B=_________，∠ADC=_________；⑵如图2，已知已知△ABC中，AB=AC，∠A=36º，BE为△ABC的角平分线，求证：BE为△ABC的完美分割线；⑶如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB=AC，AD是它的一条完美分割线，将△ABD沿直线AD折叠，点B落在点B`处，AB`交CD于点E。求证：DB`=EC。【解析】（1）利用等腰三角形的性质即可求解；由题可知，△ABC、△DAB、△CAD均是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠BAD=∠B，∵∠BAC=108º，∴∠B=36º，∴∠BAD=36º，∴∠ADC=∠B+∠BAD=36º+36º=72º；（2）利用等角对等边判定△EAB、△BEC是等腰三角形即可；由题可知，△ABC是等腰三角形，∠A=36º，∴∠ABC=∠C=72º，∵BE为△ABC的角平分线，∴∠ABE=∠CBE=36º，∴∠ABE=∠A，∴BE=EA，△EAB是等腰三角形；∵∠BEC=∠A+∠ABE