中考综合复习专题讲座(等积变换)剖析

等积变换的基本原理：等底等高的两个三角形面积相等。不等底但等高的两个三角形面积的比等于底边的比等底但不等高的两个三角形面积的比等于高的比等积变换的基本图形第一页第二页，共28页。等积变换的基本图形第二页第三页，共28页。一.用等积变换作图根据等积关系，可以使某些作图题较快地得到解答。例1.用三种方法把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。第三页第四页，共28页。例2.如图△

ABC，过A点的中线能把三角形分成面积相同的两部分。你能过AB边上一点E作一条直线EF，使它也将这个三角形分成两个面积相等的部分吗？第四页第五页，共28页。过梯形中位线中点且与上下底相交的任意直线（西城08一模）如图，梯形纸片ABCD中，AD∥BC且ABDC.设AD=a,BC=b.过AD中点和BC的中点的直线可将梯形纸片ABCD面积分成面积相等的两部分.请你再设计一种方法:

只须用剪子剪一次将梯形纸片ABCD分割成面积相等的二部分，画出设计的图形并简要说明你的分割方法.第五页第六页，共28页。

例3.有一块形状如图的耕地，兄弟二人要把它分成两等份，请你设计一种方案把它分成所需要的份数．如果只允许引一条直线，你能办到吗？第六页第七页，共28页。

例4有一块形状如图的耕地，兄弟四人要把它分成四等份，请你设计一种方案把它分成所需要的份数．第七页第八页，共28页。第八页第九页，共28页。二.用等积变换比大小比较两个图形的面积大小，常常以求一个图形的面积占另一个图形面积的几分之几的形式出现。例1.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点。求△AEF是平行四边形的几分之几？所有空白部分占整个平行四边形面积的分数求出来了,于是阴影部分△AEF的面积所占的分数便是

第九页第十页，共28页。例2.如图任意ABCD.

求四边形EFGH与ABCD面积之比.连结E、D和B、D，第十页第十一页，共28页。用等积变换求图形的面积，是常用的技巧之一。它能使分散的图形集中，使生疏、麻烦的题目转化为熟悉、简单的题目。三.用等积变换求面积例1如图这是个直角梯形。求阴影部分的面积这道题可以直接解答，也可以把两个阴影部分集中，连结AC，因为AB平行于DC，所以△DAE的面积=△CAE的面积，两个阴影部分的面积就换成一个△CAB的面积了。第十一页第十二页，共28页。例2如图，已知，正方形ABCD的边长是a，正方形CEFG的边长为b，且点B、C、E在一条直线上.连结AG、GE、AE，求第十二页第十三页，共28页。例3.如图，在四边形ABCD中，M是AB的中点，N是CD的中点。如果四边形ABCD的面积是20，那么BNDM的面积是多少？MDNCBA第十三页第十四页，共28页。两个白色的四边形ANCQ、BPDM的面积相等，故有y=x第十四页第十五页，共28页。第十五页第十六页，共28页。例5四边形ABCD,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知∠ABD+∠BDC=90度,求ABCD的面积．

如下图,以BD的垂直平分线为对称轴L,做△ABD关于L的对称图形△BD.连接C．第十六页第十七页，共28页。

如图,在三角形ABD中,当AB和CD的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程．

因为AB=CD,于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐,如图．图中有∠ECA=110度,所以∠CED=110度.易证∠CDA=40度.第十七页第十八页，共28页。四.用等积变换证题如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的边上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG是AB边上的高。证明：CG=DE＋DF。第十八页第十九页，共28页。已知：如图，以矩形ABCD的顶点A为顶点，以AD为角平分线作两射线，分别与BC与CD的延长线交于点E和F，连结EF。

求证：.第十九页第二十页，共28页。又如四中这次提招中有这么一道题,△ABC,D为BC中点过点D向AB,AC作垂线.BE=2,CF=1,EF//BC.求EF连A,D.由等积关系易知DF=2DE设DE=x,则DF=2x由勾股定理易得X=1从而得到EF的平方为5,算出EF.第二十页第二十一页，共28页。已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：。

理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F第二十一页第二十二页，共28页。当点P分别在图2、图3中的位置时，上面三个三角形的面积又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．第二十二页第二十三页，共28页。（丽水08）.如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线X=2与X轴相交于点B，连结OA，抛物线Y=X2从点O沿OA方向平移，与直线X=2交于P点，顶点M到点A时停止移动（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M的横坐标为m,①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△PMA的面积与△QMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第二十三页第二十四页，共28页。五.用等积变换来分割拼图直角三角形通过怎样的剪切可以拼成一个与之面积相等的矩形？任意的三角形呢？第二十四页第二十五页，共28页。对任意四边形，你能设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一