系统的闭环传递函数为

根轨迹的基本条件、幅值方程、相角方程，常规根轨迹绘制的基本规则，广义根轨迹的绘制、根轨迹图分析系统的动态、静态特性。知识要点第一页第二页，共79页。4.1根轨迹的基本概念4.1.1根轨迹

设控制系统的开环传递函数为系统开环极点有两个系统的闭环传递函数为系统的特征方程为其特征根为第二页第三页，共79页。时，系统特征根(闭环极点)变化情况如下：当系统的闭环极点为开环极点；时，闭环极点为两个互不相等的负实根时，闭环极点为两个相等的负实根时，闭环极点为实部为负的共轭复根。2.当3.当4.当第三页第四页，共79页。系统的根轨迹图

由根轨迹图可以直观地分析参数K变化时系统的各项性能。第四页第五页，共79页。当从0变化到时，根轨迹均在s平面的左半平面，时，闭环极点为负实根，系统为过阻尼时，闭环极点为重根，系统为临界阻尼状态，闭环极点为实部为负的共轭复根，因此，系统是稳定的。状态，系统的阶跃响应为单调变化。系统的阶跃响应为单调变化。系统为欠阻尼状态，系统的阶跃响应为衰减振荡，且系统的超调量随值增大而增大，但是调节时间不变。第五页第六页，共79页。4.1.2根轨迹的基本条件

对于典型的负反馈控制系统，如图4-3所示，图4-3反馈控制系统闭环传递函数为第六页第七页，共79页。系统的特征方程为：

系统的闭环传递函数为（4-2）第七页第八页，共79页。满足式（4-2）的点，必定是根轨迹上的点，式（4-2）称作根轨迹的基本方程（或根轨迹的基本条件）。因为s是复变量，所以式（4-2）可以写成式（4-3）幅值(模值)条件和式（4-4）相角条件。（4-3）（4-4）第八页第九页，共79页。当系统的开环传递函数为零、极点表示形式，即式（4-5）：

（4-5）为系统的开环零点；

为系统的开环极点；

为系统的根轨迹增益。第九页第十页，共79页。根轨迹的幅值条件和相角条件又可表示为：

假设研究系统的根轨迹增益闭环系统的特征根的轨迹，根轨迹。

则称为典型根轨迹或常规根轨迹或从零变化到无穷远时，第十页第十一页，共79页。4.2绘制根轨迹的基本规则规则1根轨迹的起点与终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。当时，为根轨迹的起点，求得根轨迹的起点为，即系统的开环极点。时，由根轨迹方程知根轨迹的终点为，即系统的开环零点。第十一页第十二页，共79页。但是，当时，条根轨迹趋向于开环零点（称为有限零点），还有条根轨迹将趋于无穷远处（称为无限零点）。

如果出现的情况，必有条根轨迹的起点在无穷远处。

第十二页第十三页，共79页。规则2根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支数等于，根轨迹对称于实轴并且连续变化。由根轨迹的对称性和连续性，根轨迹只需作出上半部分，对称画出另一部分，且根轨迹连续变化。第十三页第十四页，共79页。规则3根轨迹的渐近线

当开环极点数大于开环零点数时，有n-m条根轨迹趋于无穷远处，无穷远处的渐近线与实轴的交点为，渐近线与实轴正方向的夹角(倾角)为第十四页第十五页，共79页。例4-1单位负反馈系统的开环传递函数为系统开环传递函数有三个极点：开环无零点，即系统有三条根轨迹，分别起始于三个开环极点三条根轨迹趋向于无穷远处，其渐近线与实轴交点坐标为第十五页第十六页，共79页。渐近线与实轴正方向的夹角为第十六页第十七页，共79页。三条渐近线如图4-4所示。图4-4根轨迹的渐近线第十七页第十八页，共79页。规则4:实轴上的根轨迹段实轴上的根轨迹区段位于其右边开环零、极点数目总和为奇数的区域。第十八页第十九页，共79页。规则5根轨迹的分离点和会合点

几条根轨迹在s平面上相遇后又分开（或分开后又相遇）的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。1.重根法根轨迹的分离点（或会合点）是系统特征方程的重根，可以采用求重根的方法确定其位置。设系统的开环传递函数为系统的特征方程为（4-15）第十九页第二十页，共79页。特征方程有重根的条件（4-16）分离点（或会合点）为重根，必然同时满足方程式（4-15）和式（4-16），联立求解得分离点（或会合点）的d所对应的值为

第二十页第二十一页，共79页。2．极值法由系统的特征方程式（4-15）求极值得即可确定分离点（或会合点）的值。

3．零、极点法第二十一页第二十二页，共79页。必须说明，采用上式确定的是特征方程的重根点，对分离点（或会合点）来说，它只是必要条件而非充分条件，也就是说它的解不一定是分离点（或会合点），是否是分离点（或会合点）还要看其它规则。第二十二页第二十三页，共79页。例4-2已知系统的开环传递函数为分离点（或会合点）的确定

解得：，对应的对应的所以在根轨迹段上是分离点；而不在根轨迹段上，则舍弃。第二十三页第二十四页，共79页。系统的根轨迹图第二十四页第二十五页，共79页。1）实轴上两个相邻的开环极点之间为根轨迹段则一定有分离点；2）实轴上两个相邻的开环零点之间为根轨迹段则一定有会合点；3）实轴上一个开环零点和一个开环极点之间为根轨迹段则或一定既有分离点又有会合点，或既没有分离点又没有会合点。

当然，分离点（会合点）可以是实数，也可以是复数，两个相邻的开环复极点（或零点）之间可能有分离点（或会合点）。第二十五页第二十六页，共79页。规则6根轨迹的起始角和终止角

根轨迹从开环极点出发时的切线与正实轴的夹角，称为根轨迹的起始角；根轨迹进入开环零点时切线与正实轴的夹角，称为根轨迹的终止角。第二十六页第二十七页，共79页。规则7根轨迹上分离点（会合点）的分离角（会合角）在分离点处（会合点）根轨迹离开（进入）实轴的相角为规则8根轨迹与虚轴的交点为趋向或离开实轴的根轨迹的分支数。方法一：令

代入特征方程得联立求解得到临界增益及虚轴交点

第二十七页第二十八页，共79页。方法二：由劳斯稳定判据的临界稳定状态求取。例4-4已知系统的开环传递函数为系统的特征方程为

方法一第二十八页第二十九页，共79页。方法二：列劳斯表为系统稳定条件为

系统临界增益K=6由辅助方程

所以根轨迹与虚轴的交点为

第二十九页第三十页，共79页。规则9根之和当系统的开环传递函数分母和分子的次数满足时，则系统开环极点之和总是等于系统闭环特征根规则10根之积根据特征方程根和系数的关系，得第三十页第三十一页，共79页。例：系统的开环传递函数为开环极点为渐近线于实轴的交点为渐近线的倾角为与虚轴的交点为第三十一页第三十二页，共79页。根轨迹的分会点：第三十二页第三十三页，共79页。第三十三页第三十四页，共79页。第三十四页第三十五页，共79页。第三十五页第三十六页，共79页。例：系统的开环传递函数为开环极点为渐近线于实轴的交点为渐近线的倾角为与虚轴的交点为第三十六页第三十七页，共79页。根轨迹的分会点：第三十七页第三十八页，共79页。第三十八页第三十九页，共79页。第三十九页第四十页，共79页。4.4广义根轨迹常规根轨迹的绘制规则是以负反馈系统的根轨迹增益为可变参数给出的。但是，实际系统中可能研究其它参数变化（如开环零点、开环极点、时间常数等）对系统特征根的影响，或研究正反馈系统参数变化的根轨迹等，上面这些根轨迹统称为广义根轨迹。第四十页第四十一页，共79页。4.4.1参数根轨迹以非K为可变参数的根轨迹称为参数根轨迹，可以研究系统的开环零点、极点、时间常数等对系统性能的影响。对于参数根轨迹的绘制可采用等效传递函数的原则，即由系统的闭环特征方程，求出所研究参数类似K位置的等效开环传递函数，则常规根轨迹绘制的所有规则均适用于参数根轨迹的绘制。第四十一页第四十二页，共79页。例4-7已知系统的开环传递函数为试绘制极点

时系统的根轨迹。等效的开环传递函数为第四十二页第四十三页，共79页。第四十三页第四十四页，共79页。4.4.2多参数根轨迹族有时需要研究多个参数同时变化时对系统性能的影响，构成了多参数的根轨迹族。以两个参数为例：第一步：选取一个参数为零，绘制另一个参数变化的根轨迹。第二步：令

，绘制另一个参数变化的根轨迹。由系统的特征方程得系统的等效开环传递函数为第四十四页第四十五页，共79页。第四十五页第四十六页，共79页。4.4.3正反馈系统的根轨迹（零度根轨迹）在有些系统中，内环是一个正反馈回路，其正反馈回路的闭环传递函数为系统的特征方程为第四十六页第四十七页，共79页。绘制系统根轨迹的幅值条件和相角条件可写为：

这种根轨迹为零度根轨迹。对于零度根轨迹绘制的规则，可由常规根轨迹绘制规则和相角有关的适当调整得到，修改的规则有：第四十七页第四十八页，共79页。规则3根轨迹的渐近线

当开环极点数大于开环零点数时，有n-m条根轨迹趋于无穷远处，渐近线与实轴正方向的夹角为规则4实轴上的根轨迹

实轴上的根轨迹区段位于其右边开环零、极点数目总和为偶数的区域。规则6根轨迹的起始角和终止角

开环极点出发的起始角第四十八页第四十九页，共79页。根轨迹终止于开环零点的终止角

例4-9已知负反馈系统的开环传递函数为将开环传递函数化成标准的零极点形式，即

第四十九页第五十页，共79页。等效为正反馈的开环传递函数第五十页第五十一页，共79页。4.5根轨迹分析系统的性能根轨迹分析系统首先由系统的开环传递函数绘制出系统的根轨迹，然后再由根轨迹分析系统的稳定性、动态特性和稳态特性。4.5.1根轨迹确定系统的闭环极点根轨迹绘出的是系统根轨迹增益变化特征根的轨迹，对于某一增益下的闭环极点可由幅值条件试探来确定。例4-10设单位负反馈系统的开环传递函数为第五十一页第五十二页，共79页。1.试采用根轨迹法分析系统的稳定性；2.求系统的闭环极点；3.求取系统的单位阶跃响应及超调量和过渡过程时间。解：根轨迹分析系统，为此，构造增益可变的系统为绘制的根轨迹，如图4-13所示

第五十二页第五十三页，共79页。图4-13系统的根轨迹图第五十三页第五十四页，共79页。从根轨迹图可知，系统的增益时，系统是稳定的。

时，特征值为负实根，系统的响应为单调衰减；

时，系统的主导极点为共轭复根，系统的响应为衰减振荡。本例中

因此，系统是稳定的，系统的主导极点为共轭复根，

试探求得系统的主导极点为

第五十四页第五十五页，共79页。根据根之和的关系得系统的另外一个闭环极点为

可近似为如下的二阶系统第五十五页第五十六页，共79页。系统的超调量和过渡过程时间为第五十六页第五十七页，共79页。4.5.2根轨迹分析系统的动态特性闭环系统的动态特性由闭环传递函数的零、极点来决定，系统闭环极点可由根轨迹图求得，而闭环零点为前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点共同确定。1.稳定性若闭环极点均在根平面的左半平面，则系统一定是稳定的，即参数变化时的根轨迹均在s的左半平面。2.运动形式若闭环极点均为左半平面的实数极点，则系统的动态响应为单调变化，系统可近似为一阶系统；若离虚轴最近的极点为复数极点，则系统的动态特性为衰减振荡，系统可近似为二阶系统。3.动态性能指标根轨迹分析系统的动态性能指标可采用主导极点来估算。第五十七页第五十八页，共79页。例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为1）试画出系统的根轨迹；2）求系统具有最小阻尼比时的闭环极点，对应的K值及性能指标；3）若要求系统的阻尼比为0.866时，求闭环极点；4）若求K=1时的闭环极点。第五十八页第五十九页，共79页。d1=-1.17K1=0.34d2=-6.28K2=11.79β第五十九页第六十页，共79页。过原点作圆的切线，得最小阻尼比线，等腰直角三角形，第六十页第六十一页，共79页。根据阻尼比的要求，做出等阻尼比线交点对应的闭环极点求K=1时的闭环极点，可采用试探法。第六十一页第六十二页，共79页。第六十二页第六十三页，共79页。4.5.3开环零点对根轨迹的影响系统中增加开环零点，对系统的性能的影响，通过举例来说明。解：（1）当

时，系统的开环传递函数为

即表示零点不存在，系统的根轨迹如图4-15(a)所示第六十三页第六十四页，共79页。（2）当根轨迹如图4-15(b)所示；（3）当根轨迹如图4-15(c)所示；（4）当根轨迹如图4-15(d)所示；（5）当根轨迹如图4-15(e)所示；（6）当根轨迹如图4-15(f)所示。第六十四页第六十五页，共79页。图4-15不同值下系统的根轨迹图4-15不同值下系统的根轨迹第六十五页第六十六页，共79页。

4.6MATLAB绘制系统的根轨迹对于比较复杂的系统，人工绘制根轨迹十分复杂和困难，MATLAB绘制系统根轨迹是十分方便的。通常将系统的开环传递函数写成如下形式分别为分子和分母多项式。

采用MATLAB命令：

pzmap(num,den)可以绘制系统的零、极点图；

rlocus(num,den)可以绘制系统的根轨迹图；

rlocfind(num,den)可以确定系统根轨迹上某些点的增益。第六十六页第六十七页，共79页。例4-14已知系统的开环传递函数为确定系统开环零、极点的位置。解：在MATLAB命令窗口输入

num=[251];den=[14138];pzmap(num,den);title（‘Pole-zeroMap’）执行后得到如图4-17所示的零、极点图。第六十七页第六十八页，共79页。在MATLAB命令窗口输入

num=[251];den=[14138];rlocus(num,den)执行后得到如图所示系统的根轨迹图。第六十八页第六十九页，共79页。例4-16已知系统的开环传递函数为试分别绘制解：在MATLAB命令窗口输入不同值，时系统的根轨迹。num=[11];den=[1

00];rlocus(num,den)执行后得到如图4-19所示不同值下系统的根轨迹图。第六十九页第七十页，共79页。第七十页第七十一页，共79页。例4-17已知系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。解：在MATLAB命令窗口输入

num=[11];den=conv(conv([10],[1-1]),[1416]);rlocus(num,den)执行后得到如图所示系统的根轨迹图。第七十一页第七十二页，共79页。图4-20系统根轨迹图第七十二页第七十三页，共79页。图4-21求取系统稳定开环增益第七十三页第七十四页