新高考数学二轮复习考点突破课件 第1部分 专题突破 专题1　第1讲　函数的图象与性质（含解析）

第1讲函数的图象与性质专题一

函数与导数考情分析1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段

函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对

称性)的综合应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导

数、不等式、创新性问题相结合命题.考点一函数的概念与表示考点二函数的图象考点三函数的性质专题强化练内容索引函数的概念与表示考点一1.复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域.(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域.2.分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.核心提炼√例1即(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1,1).(－2，－1)∪(0，＋∞)由题意知a≠0，①当a<0时，1－a>1,1＋a<1，∴－(1－a)>(1＋a)2＋2a，化简得a2＋3a＋2<0，解得－2<a<－1，又a<0，∴a∈(－2，－1)；②当a>0时，1－a<1,1＋a>1，∴(1－a)2＋2a>－(1＋a)，化简得a2＋a＋2>0，解得a∈R，又a>0，∴a∈(0，＋∞)，综上，实数a的取值范围是(－2，－1)∪(0，＋∞).(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.规律方法(1)(2022·潍坊模拟)设函数f(x)＝

则f(8)等于A.10 B.9 C.7 D.6跟踪演练1√则f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(13))＝f(10)＝7.(2)(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“M函数”.下列为“M函数”的是A.y＝sinxcos

x

B.y＝ln

x＋exC.y＝2x

D.y＝x2－2x√√由题意，得“M函数”的值域关于原点对称.B中，函数y＝ln

x＋ex的值域为R，故B是“M函数”；C中，因为y＝2x>0，故C不是“M函数”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D不是“M函数”.函数的图象考点二1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点.核心提炼(1)(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cos

x在区间

上的图象大致为√例2考向1函数图象的识别方法一

(特值法)方法二

令y＝f(x)，则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cos

x＝－f(x)，所以函数y＝(3x－3－x)cos

x是奇函数，排除B，D；(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是√对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；(1)已知函数f(x)＝

则函数y＝f(1－x)的大致图象是√例3考向2函数图象的变换及应用方法一

作函数f(x)的图象关于y轴对称的图象，得到函数f(－x)的图象，再把函数f(－x)的图象向右平移1个单位长度即得到函数f(1－x)的图象，如图.故选D.方法二

因为函数f(x)＝所以函数f(1－x)＝当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0,3)，排除A；当x＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；当x<0时，1－x>1，f(1－x)＝

<0，排除C.(2)已知函数f(x)＝

若存在x1，x2，x3(x1<x2<x3)，使f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则f(x1＋x2＋x3)的取值范围是A.(0,1] B.[0,1]C.(－∞，1] D.(－∞，1)√作出f(x)的大致图象如图，交点横坐标为x1，x2，x3，自左向右依次排列，由图可知，x1，x2关于直线x＝－1轴对称，即x1＋x2＝－2，又x3>0，∴x1＋x2＋x3>－2.由图象知，当x>－2时，f(x)∈[0,1]，∴f(x1＋x2＋x3)∈[0,1].(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题.规律方法

(1)已知图①中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是A.y＝f(|x|)

B.y＝|f(x)|C.y＝f(－|x|)

D.y＝－f(－|x|)跟踪演练2√图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧，y轴左侧图象不变得来的，所以图②中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|).(2)函数f(x)＝

的图象如图所示，则A.a>0，b＝0，c<0B.a>0，b＝0，c>0C.a<0，b<0，c＝0D.a<0，b＝0，c<0√因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，解得b＝0，由图象可得分母ax2＋c＝0有解，函数的性质考点三1.函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x).(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.核心提炼3.函数的周期性若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|.4.函数图象的对称中心和对称轴(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线√例4考向1单调性与奇偶性∵f(x)＝e|x|－cos

x，∴f(－x)＝e|－x|－cos(－x)＝e|x|－cos

x＝f(x)，当x>0时，f(x)＝ex－cos

x，则f′(x)＝ex＋sinx，∴当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝ex＋sinx>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x).若

，g(2＋x)均为偶函数，则A.f(0)＝0 B.C.f(－1)＝f(4)

D.g(－1)＝g(2)√例5√考向2奇偶性、周期性与对称性g(2＋x)＝g(2－x)，所以f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)，则f(－1)＝f(4)，故C正确；所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(0)的函数值，故A错误.取符合题意的一个函数f(x)＝1(x∈R)，则f(0)＝1，排除A；取符合题意的一个函数f(x)＝sinπx，则f′(x)＝πcosπx，即g(x)＝πcosπx，所以g(－1)＝πcos(－π)＝－π，g(2)＝πcos2π＝π，所以g(－1)≠g(2)，排除D.故选BC.二级结论(2)若f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则f(x)的周期为2|a－b|.(3)若f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则f(x)的周期为4|a－b|.

(1)若函数f(x)＝ex＋ae－x(a∈R)为奇函数，则不等式f(ln

x)<f(|ln

x|)的解集为______.跟踪演练3易知f(x)定义域为R，又f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，得a＝－1，∴f(x)＝ex－e－x.∴f(x)为奇函数且在R上单调递增，又f(ln

x)<f(|ln

x|)，∴ln

x<|ln

x|，∴ln

x<0，∴0<x<1.(0,1)(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则A.－3 B.－2 C.0 D.1√因为f(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，

①所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1). ②由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，

＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A.专题强化练一、单项选择题1.(2022·哈尔滨检测)下列既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是A.y＝sinx

B.y＝ln

x

C.y＝tanx

D.y＝√12345678910111213141516对于A，y＝sinx是奇函数，且在(0，＋∞)上有增有减，故不满足；对于B，y＝ln

x的定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故不满足；对于C，y＝tanx是奇函数，且在(0，＋∞)上只有单调递增区间，但不是一直单调递增，故不满足；对于D，y＝

是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故满足.2.(2022·西安模拟)设f(x)＝

若f(x)＝3，则x的值为A.3 B.1

C.－3 D.1或3√当x≤3时，令2x＋1－1＝3，解得x＝1，当x>3时，令log2(x2－1)＝3，解得x＝±3，这与x>3矛盾，∴x＝1.12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516即f(x)是奇函数，A，B不满足；当x∈(0,1)时，即0<πx<π，则sin(πx)>0，而ex＋e－x>0，因此f(x)>0，D不满足，C满足.4.(2022·张家口检测)已知函数f(x)＝

，则A.函数f(x)是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B.函数f(x)是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递减C.函数f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D.函数f(x)非奇非偶，在区间(－∞，0)上单调递增√1234567891011121314151612345678910111213141516由复合函数的单调性可知f(x)在R上单调递增.5.(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝

，则下列函数中为奇函数的是A.f(x－1)－1

B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1

D.f(x＋1)＋1√1234567891011121314151612345678910111213141516为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.123456789101112131415166.设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于√所以f(x)是周期为4的周期函数，1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516由题意知，当x>0时，作出函数f(x)的图象，如图所示，又由方程f(x)＝1的解的个数，即为函数y＝f(x)与y＝1的图象交点的个数可知，当x>0时，结合图象，函数y＝f(x)与y＝1的图象有5个交点，12345678910111213141516又因为函数y＝f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以当x<0时，函数y＝f(x)与y＝1的图象也有5个交点，综上可得，函数y＝f(x)与y＝1的图象有10个交点，即方程f(x)＝1的解的个数为10.8.(2022·河北联考)若函数f(2x＋1)(x∈R)是周期为2的奇函数，则下列结论不正确的是A.函数f(x)的周期为4

B.函数f(x)的图象关于点(1,0)对称C.f(2021)＝0

D.f(2022)＝012345678910111213141516√12345678910111213141516∵函数f(2x＋1)(x∈R)是奇函数，∴f(2x＋1)＝－f(－2x＋1)⇒f(2x＋1)＋f(－2x＋1)＝0，∴函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，故B正确；∵函数f(2x＋1)(x∈R)的周期为2，∴f(2(x＋2)＋1)＝f(2x＋1)，即f(2x＋5)＝f(2x＋1)，∴f(x)的周期为4，故A正确；f(2021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝0，故C正确；f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)，无法判断f(2)的值，故D错误.二、多项选择题9.下列函数中，定义域与值域相同的是12345678910111213141516√√对于A，定义域、值域都为(－∞，0)∪(0，＋∞)，满足题意；对于B，定义域为(0，＋∞)，值域为R，不满足题意；对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又3x>0，且3x≠1，故3x－1>－1，且3x－1≠0，故y<－1或y>0，故值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；12345678910111213141516定义域、值域都为(－∞，1)∪(1，＋∞)，满足题意.12345678910111213141516√√12345678910111213141516选项A，函数D(x)的值域为{0,1}，A错误；选项B，若D(x0)＝1，则x0∈Q，x0＋1∈Q，则D(x0＋1)＝1，B正确；选项C，D(2π)－D(π)＝0－0＝0，但2π－π＝π∉Q，C错误；12345678910111213141516√√√12345678910111213141516A选项中的图象关于y轴对称，B选项中的图象关于原点对称，两个选项均可得函数的定义域为{x|x≠0}，可得c＝0，又函数f(x)的零点只能由ax＋b产生，所以函数f(x)可能没有零点，也可能零点是x＝－1,0,1，所以A，B选项可能符合条件；12345678910111213141516而由D选项中的图象知，函数f(x)的零点在(0,1)上，但此种情况不可能存在，所以D选项不符合条件；观察C选项中的图象，由定义域猜想c＝1，由图象过原点得b＝0，猜想a＝1，可能符合条件.12.已知函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝－1对称，且对∀x∈R，有f(x)＋f(－x)＝4.当x∈(0,2]时，f(x)＝x＋2，则下列说法正确的是A.8是f(x)的周期

B.f(x)的最大值为5C.f(2023)＝1

D.f(x＋2)为偶函数√12345678910111213141516√√因为函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝－1对称，故f(x)的图象关于直线x＝－2对称，因为对∀x∈R有f(x)＋f(－x)＝4，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,2)成中心对称，所以f(－2＋x＋2)＝f(－2－(x＋2))，即f(x)＝f(－4－x)＝4－f(－x)，又f(－4－x)＋f(x＋4)＝4，即f(－4－x)＝4－f(x＋4)，所以f(x＋4)＝f(－x)，12345678910111213141516所以f((x＋4)＋4)＝f(－(x＋4))＝f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，所以8是f(x)的周期，故A正确；又f(x＋2)＝f(－x＋2)，故函数