基本初等函数知识点、考点与对应练习

根本初等函数知识点、考点与对应练习一、函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．注意：1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的.那么，它的定义域是使各局部都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：①表达式相同〔与表示自变量和函数值的字母无关〕；②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)2．值域:先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.(2)画法描点法：图象变换法常用变换方法有三种平移变换伸缩变换对称变换4．区间的概念〔1〕区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间〔2〕无穷区间〔3〕区间的数轴表示．5．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法那么f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f〔对应关系〕：A〔原象〕B〔象〕〞对于映射f：A→B来说，那么应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6.分段函数(1)在定义域的不同局部上有不同的解析表达式的函数。(2)各局部的自变量的取值情况．(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．补充：复合函数如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),那么y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。二、指数函数〔一〕指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是奇数时，，当是偶数时，2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质〔1〕·；〔2〕；〔3〕．〔二〕指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a>10<a<1定义域R定义域R值域y＞0值域y＞0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点〔0，1〕函数图象都过定点〔0，1〕注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

〔1〕在[a，b]上，值域是或；

〔2〕假设，那么；取遍所有正数当且仅当；

〔3〕对于指数函数，总有；三、对数函数〔一〕对数1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：〔—底数，—真数，—对数式〕说明：eq\o\ac(○,1)注意底数的限制，且；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)注意对数的书写格式．两个重要对数：eq\o\ac(○,1)常用对数：以10为底的对数；eq\o\ac(○,2)自然对数：以无理数为底的对数的对数．指数式与对数式的互化幂值真数＝N＝b底数指数对数〔二〕对数的运算性质如果，且，，，那么：eq\o\ac(○,1)·＋；eq\o\ac(○,2)－；eq\o\ac(○,3)．注意：换底公式 〔，且；，且；〕．利用换底公式推导下面的结论〔1〕；〔2〕．〔二〕对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是〔0，+∞〕．注意：eq\o\ac(○,1)对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意区分。如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．eq\o\ac(○,2)对数函数对底数的限制：，且．2、对数函数的性质：a>10<a<1定义域x＞0定义域x＞0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点〔1，0〕函数图象都过定点〔1，0〕四、幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．2、幂函数性质归纳．〔1〕所有的幂函数在〔0，+∞〕都有定义并且图象都过点〔1，1〕；〔2〕时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；〔3〕时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．、考点一：指数函数重难点：对分数指数幂的含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化并掌握有理指数幂的运算性质；指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比拟简单的函数的有关问题．考纲要求：①了解指数函数模型的实际背景；②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；③理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图像通过的特殊点；④知道指数函数是一类重要的函数模型．经典例题：求函数y=3的单调区间和值域．当堂练习：1．要使代数式有意义,那么x的取值范围是〔〕A．B．C．D．一切实数2．以下函数中，图象与函数y=4x的图象关于y轴对称的是〔〕A．y=－4xB．y=4－xC．y=－4－xD．y=4x+4－x3．把函数y=f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度，得到函数的图象，那么〔〕A．B．C．D．4．设函数，f(2)=4，那么〔〕A．f(-2)>f(-1)B．f(-1)>f(-2)C．f(1)>f(2)D．f(-2)>f(2)5．计算.．6．函数的图象恒过定点．考点二：对数函数重难点：理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化，能应用对数运算性质及换底公式灵活地求值、化简；理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比拟同底对数大小，了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．考纲要求：①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点；③知道对数函数是一类重要的函数模型；④了解指数函数与对数函数互为反函数．当堂练习：1．假设,那么〔〕A．B．C．D．2．函数的值域是〔〕A．B．[0,1]C．[0,D．{0}3．设函数的取值范围为〔〕 A．〔－1，1〕B．〔－1，+∞〕C．D．4．计算=．5．xy=1000,求．6．函数f(x)的定义域为[0,1],那么函数的定义域为．考点三：幂函数重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比拟两个幂值的大小．考纲要求：①了解幂函数的概念；②结合函数的图像，了解他们的变化情况．经典例题：比拟以下各组数的大小：，1；〔2〕〔－〕，〔－〕；当堂练习：1．函数y＝〔x2－2x〕的定义域是〔〕A．{x|x≠0或x≠2}B．〔－∞，0〕〔2，＋∞〕C．〔－∞，0〕［2，＋∞〕D．〔0，2〕2．函数y＝的单调递减区间为〔〕A．〔－∞，1〕B．〔－∞，0〕C．［0，＋∞］D．〔－∞，＋∞〕3．如图，曲线c1,c2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限的图象，那么一定有〔〕A．n<m<0B．m<n<0C．m>n>0D．n>m>04．以下命题中正确的选项是〔

〕

A．当时，函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过〔0，0〕，〔1，1〕两点C．幂函数的图象不可能在第四象限内D．假设幂函数为奇函数，那么在定义域内是增函数5．用“<〞或〞>〞连结以下各式：，．6．幂函数的图象过点(2,),那么它的单调递增区间是．7．函数y＝在区间上是减函数．讨论函数y＝x的定义域、值域、奇偶性、单调性。考点四：函数的奇偶性函数的奇偶性的定义：设，，如果对于任意，都有，那么称函数为奇函数；如果对于任意，都有，那么称函数为偶函数；奇偶函数的性质：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；是偶函数的图象关于轴对称；是奇函数的图象关于原点对称；奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.为偶函数．假设奇函数的定义域包含，那么．主要方法：判断函数的奇偶性的方法：定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称.假设不对称，那么为非奇非偶函数；假设对称，那么再判断或是否认义域上的恒等式；图象法；性质法：①设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；②假设某奇函数假设存在反函数，那么其反函数必是奇函数；判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，．当堂练习：一、选择题1．以下函数中：①y＝x2(x∈[－1，1])；②y＝｜x｜；④y＝x3(x∈R)奇函数的个数是()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．对于定义域为R的任意奇函数f(x)一定有()A．f(x)－f(－x)＞0B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)＜0D．f(x)·f(－x)≤03．函数A．是奇函数不是偶函数 B．是偶函数不是奇函数C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数4．下面四个结论中，正确命题的个数是()①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)A．1B．2C．3D．4二、填空题5．以下命题中，①函数是奇函数，且在其定义域内为减函数；②函数y＝3x(x－1)0是奇函数，且在其定义域内为增函数；③函数y＝x2是偶函数，且在(－3，0)上为减函数；④函数y＝ax2＋c(ac≠0)是偶函数，且在(0，2)上为增函数；真命题是______．6．假设f(x)是偶函数，那么______．7．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x3)，那么当x∈(－∞，0]时，f(x)＝______．8．f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)＝_______．9．设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，那么f(－2)与f(a2－2a＋3)(a∈R)的大小关系是______．三、解答题10．判断以下函数的奇偶性：(1)(2)(3)(4)定义在[－2，2]上的奇函数f(x)是增函数，求使f(2a－1)＋f(1－a)＞0成立的实数a的取值范围．考点五：函数的单调性1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数2、减函数相反3、证明函数单调性的步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；eq\o\ac(○,2)作差f(x1)－f(x2)；eq\o\ac(○,3)变形〔通常是因式分解和配方〕；eq\o\ac(○,4)定号〔即判断差f(x1)－f(x2)的正负〕；eq\o\ac(○,5)下结论〔即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性〕．取值→作差→变形→定号→下结论〔学生讨论得出〕注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)．随堂练习：一、选择题1．函数在以下区间上不是减函数的是()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(1，＋∞)2．以下函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是()A．y＝－3x＋1B．C．y＝x2－4x＋5D．y＝｜x－1｜＋23．设函数y＝(2a－1)x在R上是减函数，那么有A．B．C．D．4．假设函数f(x)在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，那么函数f(x)在区间[1，5]上()A．必是增函数B．不一定是增函数C．必是减函数 D．是增函数或减函数(二)填空题5．函数f(x)＝2x2－mx＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，那么m＝______．6．假设函数在(1，＋∞)上为增函数，那么实数a的取值范围是______．7．函数f(x)＝1－｜2－x｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______．8．函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，那么f(a2－a＋1)与的大小关系是______。(三)解答题9．函数f(x)，x∈(a，b)∪(b，c)的图象如下图，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断：甲说f(x)在定义域上是增函数；乙说f(x)在定义域上不是增函数，但有增区间，丙说f(x)的增区间有两个，分别为(a，b)和(b，c)请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。10．函数(1)求f(x)的定义域；(2)证明函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．11．函数．(1)用分段函数的形式写出f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)的图象，并根据图象写出函数f(x)的单调区间及单调性．12、求以下函数的单调区间：〔1〕y=log4(x2－4x+3)〔2〕y=log(2x－x2)〔3〕y=考点六：函数的值域与最值一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：〔1〕被开方数的非负性，〔2〕值的非负性。此题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。二．反函数法三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例2：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－〔x－1/2〕2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。四．判别式法假设可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。例3求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。解：将上式化为〔y－2〕x2－(y－2)x+(y-3)=0〔＊〕当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4〔y－2〕x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。〔答案：值域为y≤－8或y>0〕。五．图象法六．单调法七．换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。例4求函数y=x-3+√2x+1的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。解：设t=√2x+1〔t≥0〕,那么x=1/2(t2-1)。于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法表达换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。八．不等式法随堂练习：求以下函数的值域〔1〕求的值域；〔2〕求函数的值域；〔3〕求函数的值域。〔4〕；〔5〕〔6〕〔7〕课后练习〔一〕1．一次函数f(x)的图象过点A(0，3)和B(4，1)，那么f(x)的单调性为()A．增函数 B．减函数C．先减后增 D．先增后减2．函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(2m＋1)＞f(3m－4)，那么m的取值范围是()A．(－∞，5)B．(5，＋∞)C．D．3．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，那么以下一定是y＝f(x)＋5的递增区间的是()A．(3，8)B．(－2，3)C．(－3，－2)D．(0，5)4．函数f(x)在其定义域D上是单调函数，其值域为M，那么以下说法中①假设x0∈D，那么有唯一的f(x0)∈M②假设f(x0)∈M，那么有唯一的x0∈D③对任意实数a，至少存在一个x0∈D，使得f(x0)＝a④对任意实数a，至多存在一个x0∈D，使得f(x0)＝a错误的个数是(