南邮离散数学综合练习期末复习题

《离散数学》综合练习共26页第26页《离散数学》综合练习注：此版本的综合练习册对应教材是《离散数学》，辛运帏主编，机械工业出版社，2014年版，ISBN978-7-111-48204-8第一章命题与命题公式一、选择题1.下列语句中不是命题的是（）A.3是素数 B.x+y>1C.地球外的星球上也有人 D.雪是黑的2.设P：我们划船，Q：我们跳舞，命题“我们不能既划船又跳舞”符号化为（）A.PQ B.┐（P∧Q）C.┐P∧┐Q D.┐P∧Q3.令P：今天下雪了，Q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）A.P┐QB.P∨┐Q C.P∧Q D.P∧┐Q4.设P：天下大雨，Q：他乘公共汽车上班。命题“只有天下大雨，他才乘公共汽车上班”符号化为（）A.PQ B.QP C.PQ D.PQ5.下面联结词集中，不属于联结词的极小全功能集的是（）A.{，} B.{↓}C.{} D.{，，}6.下面联结词不满足交换律的是（）A. B. C. D.二、填空题1.在命题逻辑中，具有唯一的陈述句称为命题。2.在命题中，有些命题是基本的、原始的，它不能再被分割成为更小的命题，这些命题称为。3.在重言式中,不论公式中的分量作怎样的指派，其真值永远为。4.在矛盾式中,不论公式中的分量作怎样的指派，其真值永远为。第二章命题逻辑的推理理论一、填空题1.在命题逻辑中，一个由n个命题变元所构成的公式共有_________个大项。2.在命题逻辑中，一个由n个命题变元所构成的公式共有_________个小项。二、计算题1．设P、Q、R为原子命题，试求命题公式的主析取范式。2．设P、Q、R为原子命题，试求命题公式的主合取范式。3.设P、Q、R为原子命题，求命题公式的真值表，并给出其等价的主析取范式。4.设P、Q、R为原子命题，求命题公式的真值表，并给出其等价的主合取范式。5.设P、Q、R为原子命题，求命题公式的真值表，并给出其等价的主析取范式。6.设P、Q、R为原子命题，求命题公式的真值表，并给出其等价的主合取范式。三、证明题1.符号化下面的命题并用推理规则证明其结论：甲、乙、丙、丁四人参加拳击比赛，如果甲获胜，则乙失败；如果丙获胜，则乙也获胜；如果甲不获胜，则丁不失败。所以如果丙获胜，则丁不失败。2.符号化下面的命题并用推理规则证明其结论：如果2是偶数，则2不能整除7；或者5不是质数，或者2整除7；5是质数。因此2不是偶数。3.符号化下面的命题并用推理规则证明其结论：如果厂方拒绝增加工资，那么罢工就不会停止，除非罢工超过一年并且工厂撤换了厂长；若厂方拒绝增加工资，而罢工刚开始，因此罢工不会停止。第三章谓词逻辑一、选择题1.设个体域A={a,b}，公式在A上消去量词应为（）A.P(x)∧S(x)B.P(a)∧P(b)∧S(a)∨S(b)C.P(a)∧S(b)D.P(a)∧P(b)∧(S(a)∨S(b))2.设论域为整数集，下列公式中值为真的是（）A. B.C. D.3.设论域为整数集，下列公式中值为假的是（）A. B.C. D.4.一阶公式x(P(x)∨yR(y))→Q(x)中量词x的辖域是（）A.(P(x)∨yR(y)) B.P(x)C.x(P(x)∨yR(y)) D.(P(x)∨yR(y))→Q(x)5.谓词公式(x)P(x,y)∧(x)(Q(x,z)(x)(y)R(x,y,z))中量词x的辖域是（）A.(Q(x,z)(x)(y)R(x,y,z)) B.Q(x,z)，R(x,y,z)C.Q(x,z)(y)R(x,y,z) D.Q(x,z)6.下面的逻辑等价式中，不正确的是（）A.A®"xB（x）"x（A®B（x））B."x（A（x）ÚB（x））"xA（x）Ú"xB（x）C.$x（A（x）ÚB（x））$xA（x）Ú$xB（x）D.Ø"xA（x）$x（ØA（x））二、填空题1.谓词逻辑中的量词有两类：全称量词和。2.若解释I的论域D仅包含一个元素，则在I下真值为。3.设个体域为{a,b}，则谓词公式的真值是.4.谓词公式x（P(x)∨Q（x）），其中P(x)：x＝1,Q（x）：x＝2，当个体域为{1，2}时，该公式的真值为________。5.谓词公式x（P(x)∨Q（x）），其中P(x)：x＝1,Q（x）：x＝2，当个体域为{0，1，2}时，其真值为________。6.谓词公式，给定解释I：个体域为实数，：x>y，则该公式的真值为。三、证明题1.用推理规则证明:(A(x)→B(x))A(x)→B(x).2.用推理规则证明:(┐A(x)→B(x)),┐B(x)A(x).3.符号化下面的命题并用推理规则证明其结论：所有的舞蹈者都很有风度，王华是个学生且是个舞蹈者。因此有些学生很有风度。第四章集合一、选择题1.为空集，下列式子中正确的是（） A.＝0 B. C.＝{} D.｛｝2.为空集，下列各式中不正确的是（）A. B.C.｛｝ D.{}3.为空集，下列命题正确的是（）A.Ç{}= B.È{}=C.{a}Î{a，b，c} D.Î{a，b，c}4.下列各式中不正确的是（）A.{a,b}{a,b,c,{a,b,c}} B.{a,b}{a,b,c,{a,b,c}}C.{a,b}{a,b,{a,b}} D.{a,b}{{a,b}}5.设A={{1,2,3},{4,5},{6,7,8}}，下列式子中正确的是（）A.1∈A B.{1,2,3}⊆A C.{{4,5}}⊂A D.A6.设A=（空集），B={,{}}，则B－A是（）A.{{}} B.{} C.{,{}} D.二、填空题1.设集合，，则。2.设集合，，则。3.设集合，，则。4.设集合，，则。 5.设集合则其幂集＝。 6.设为空集，则幂集＝。三、计算题1.设集合，试计算集合和。2.设四、证明题1.设和为集合A，B的幂集，且，试证明：。2.设A、B、C为任意三个集合，证明：(A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)第五章关系与函数一、选择题1.设A为集合，|A|=n，则A上的二元关系数量是（）A. B. C. D.2.设|A|=m，|B|=n则从A到B所有的函数个数为（）A.mn B.nmC. D.3.设集合A上的关系，则R是（）A.自反关系 B.传递关系C.对称关系 D.反自反关系4.设集合A={1,2,3}，A上的关系R＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}，则R不具备（）A.自反性 B.传递性 C.对称性 D.反对称性5.设集合A={1，2，3}，A上的关系R={<1，1>，<1，2>，<2，2>，<3，3>，<3，2>}，则R不具备（）A.传递性 B.对称性C.自反性 D.反对称性6.设R是集合A={a,b,c,d}上的二元关系，R={<a,a>,<a,b>,<a,c>,<a,d>,<c,b>,<d,b>,<d,c>}，则R具有（） A.自反性、反对称性 B.反自反性、传递性C.自反性、对称性 D.反对称性、传递性7.设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪IA，则对应于R的A的划分是（）A.{{a},{b,c},{d}}B.{{a,b},{c},{d}} C.{{a},{b},{c},{d}} D.{{a,b},{c,d}}8.设为实数集，为正实数集，,其中，则是（）A.入射 B.满射 C.双射 D.不是函数9.设是自然数集，为实数集，,其中，则是（）A.入射 B.满射C.双射 D.不是函数10.设是自然数集，，其中（即除以5的余数），则f是（）A.入射 B.满射C.双射 D.既不是入射也不是满射11.下列关于函数的描述，正确的是（）A.一个函数的反函数一定存在 B.任意两个函数一定可复合C.一个函数的反函数一定是双射 D.映射可以是多对多的12.下列关于函数的描述，正确的是（）A.函数一定是一对一的 B.函数可以是一对多的C.函数可以是多对一的 D.函数可以是多对多的二、填空题1.设集合，则从到共有个函数。 2.设集合，则从到共有个函数。3.设集合，则上共有个二元关系。4.设集合，则上共有个二元关系。5.设集合，则上共有个二元关系。6.设集合，则从到共有个二元关系。7.设Q为全体有理数集合，R为Q上的二元关系，且Q，则其逆关系＝。8．设R为非空集合A上的等价关系的含义是。9．若关系R是反对称的，当且仅当关系矩阵中.10．若关系R是对称的，当且仅当关系矩阵是.11．若关系R是自反的，当且仅当关系矩阵中.12．若关系R是反自反的，当且仅当关系矩阵中.三、计算题1.设，，试计算：(1)；(2)；(3)。2.设S={１,２,３,４}，Ａ上的关系Ｒ＝｛(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,4)｝求(1)RR(2)。3.设集合A={1，2}，B={0，1}，求：（1）所有A到B的关系；（2）所有A到B的函数；（3）所有A到B的双射。4.设集合A＝｛1｝，B＝｛a，b｝，C＝｛2,3｝，试计算集合和。5.集合S={1，2，3，4，5}，找出S上的等价关系，此关系能产生划分{{1，2}，{3}，{4，5}}，并画出关系图。6.集合S={1，2，3，4，5}，找出S上的等价关系，此关系能产生划分{{1}，{2，3}，{4，5}}。7.求集合A={1,2}上的所有等价关系。8.设是集合上的二元关系，求解R的自反闭包、对称闭包和传递闭包。9.设是集合上的二元关系，求R的自反闭包、对称闭包和传递闭包。10.设集合，是上的二元关系，求R的自反闭包、对称闭包和传递闭包。第六章代数系统的一般概念一、选择题1.设群G的阶是6，H是G的子群，则H的阶不可能是（）A.1 B.2 C.3 D.42.设群G的阶是8，H是G的子群，则H的阶不可能是（）A.1 B.2 C.3 D.43.设群G的阶是12，H是G的子群，则H的阶不可能是（）A.1 B.2 C.4 4.设群G的阶是8，则其中元素的阶不可能是（）A.1 B.2C.3 D.45.设群G的阶是6，则其中元素的阶不可能是（）A.1 B.2 C.3 D.46.设群G的阶是12，则其中元素的阶不可能是（）A.1 B.2C.4 D.87.下列关于循环群的描述，错误的是（）A.循环群一定是阿贝尔群 B.循环群的生成元素是唯一的C.循环群的子群一定是循环群 D.素数阶群一定是循环群8.下列关于群的描述，错误的是（）A.群中没有零元 B.群中没有等幂元C.群中每个元素都有逆元 D.群中满足消去律9.关于整环和域的关系，下列描述中正确的是（）A.整环一定是域 B.有限域未必是整环C.有限整环一定是域 D.域一定是有限整环10.下列关于代数系统的描述，错误的是（）A.群一定是半群 B.单元半群中必有等幂元C.阶相同的循环群必同构 D.两个代数系统同态必同构11.下列关于群与子群的描述，错误的是（）A.群的任意两个子群的并一定还是子群B.子群一定是群C.子群中任一元素的逆元一定是它在群中的逆元D.子群中的单位元素一定是群中的单位元素12.设为阿贝尔群，，的阶分别为3和5，则的阶为（）A.3 B.5 C.8 D.15二、填空题1.设（G，*）为群，则其平凡子群是G和。2.设A={a，b，c，d}，A上二元运算如下：*abcdabcdabcdbcdacdabdabc那么代数系统<A，*>的单位元是。3.设(G,*)是一个群，若a,b,x∈G，ax=b，则x=_____________。4.如果同构的群认为相同，那么4阶的群共有。5.如果同构的群认为相同，那么3阶的群共有。6.4阶群必是Klein四元群或。7.设群中元素a的阶为12，则a4的阶为。8.设群中元素a的阶为6，则a4的阶为。9.设群中元素a的阶为12，则a8的阶为。10.设为阿贝尔群，，的阶分别为4和5，则的阶为。11.设为阿贝尔群，，的阶分别为4和8，则的阶为。12.设为阿贝尔群，，的阶分别为4和6，则的阶为。13.设（Z10，+，）为模10的环，则元素[9]的乘法逆元[9]-1=。14.设（Z10，+，）为模10的环，则元素[7]的乘法逆元[7]-1=。15.设（Z5，+，）为模5的环，则元素[3]的乘法逆元[3]-1=。16.设（Z5，+，）为模5的环，则元素[4]的乘法逆元[4]-1=。17.设（Z7，+，）为模7的环，则元素[4]的乘法逆元[4]-1=。18.设（Z7，+，）为模7的环，则元素[3]的乘法逆元[3]-1=。三、计算题1.设<Z6,+6>是一个群，这里+6是模6加法，Z6={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}，试求出每个元素的阶数，并判断其是否为循环群。2.设是4阶群，其运算表如下，试求出每个元素的阶数，并判断其是否为循环群。abcdabcdabcdbcdacdabdabc3.设A={1，2}，A上所有函数的集合记为AA,是函数的复合运算，试给出AA上的复合运算的运算表，并指出AA中是否有幺元，哪些元素有逆元？4.有理数集Q上的二元运算*定义如下:对任意的<a,b>,<x,y>∈Q×Q，有<a,b>*<x,y>=<ax,ay+b>问运算*有没有单位元和零元，如果有，求出*的单位元和零元。5.设A={a,b,c}上的二元运算*如下表所示。（1）判断*是否满足交换律，结合律和幂等律；（2）求关于*的单位元,零元及每个可逆元的逆元。 题5表*abcaabcbbbcccbc6.设A={a,b,c}上的二元运算*如下表所示。（1）判断*是否满足交换律，结合律和幂等律；（2）求关于*的单位元,零元及每个可逆元的逆元。 题6表*abcaabcbbaccccc四、证明题1.设是一个独异点，且对于中任意元素，都有，其中是单位元，证明是一个阿贝尔群。2.设<A，+，·>是一个含幺环，若|A|≥3，且任意都有a·a=a，试证明：<A，+，·>不可能是整环。3.已知〈A，*〉是群，集合A中元素的个数为偶数，证明：在A中至少存在a≠e，使得a*a=e，其中e为群中的单位元。4.设(G,)是一个群，则对于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得ax=b。5.I上的二元运算*定义为：a,bI，a*b=a+b-2。证明：(I,*)为群。6.证明：循环群的任何子群一定也是循环群。第七章格与布尔代数一、选择题1.设S={0,1,2,3},≤为小于等于关系，则{S，≤}是（）A.群 B.环 C.域 D.格2.下列关于格的描述，正确的是（）A.格中任意两个元素都是可比较的 B.格一定满足反对称性C.有补格一定是分配格 D.分配格一定是有补格3.下列关于格的描述，正确的是（）A．格中满足分配律B．格中每个元素都有补元 C．格一定是有界的D．格中满足对偶定律4.下面集合（）关于整除关系构成格。A．{2，3，6，12，24，36}B．{1，2，3，4，6，8，12}C．{1，2，3，5，6，15，30}D．{3，6，9，12}5.设是格，，则下列选项中错误的是（）A． Ｂ．C． Ｄ．6．设是偏序格，其中N是自然数集合，“≤”是普通的数间“小于等于”关系，则有（）A．a B．b C．max{a，b} D．min{a，b}第八章图一、选择题1.仅由一个孤立点组成的图称为（）A.二分图 B.平凡图 C.多重图 D.子图2.在任何图G=＜V，E＞中，顶点总度数和边数的关系为（）A. B.C. D.3.设G为有n个结点的无向完全图，则G的边数为（）A. B.C. D.4.设图G的邻接矩阵为，则G的顶点数与边数分别为（）A.4,5 B.5,6 C.4,10 D.5,85.在任何图中必定有偶数个（）A．度数为偶数的结点B．入度为奇数的结点C．度数为奇数的结点Ｄ．出度为奇数的结点6.设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有（）个顶点。A．10 Ｂ．4C．8 Ｄ．16二、填空题1.设图G＝<V，E>，若|V|＝1，|E|＝0，则称图G为。2.任何(n,m)图G=(V,E),边与顶点数的关系是。3.5阶完全图的边共有______。4.4阶完全图的边共有______。5.n阶完全图的边共有。6.n阶完全图任一结点v的度数d(v)=。三、计算题1.设图G有16条边，3个4度结点,4个3度结点，其余结点的度数都小于3，问G至少有几个结点？2.设图G有20条边，5个4度结点，4个3度结点，其余结点的度数都小于3，问G至少有几个结点？3.设图G有18条边，2个4度结点，4个3度结点，其余结点的度数都小于3，问G至少有几个结点？4.设图G有17条边，3个4度结点,2个3度结点，其余结点的度数都小于3，问G至少有几个结点？5.设图G有19条边，4个4度结点,2个3度结点，其余结点的度数都小于3，问G至少有几个结点？6.设图G有22条边，4个4度结点,6个3度结点，其余结点的度数都小于3，问G至少有几个结点？第九章图的应用一、选择题1.无向图G是欧拉图，当且仅当（）A.G的所有结点的度数全为偶数B.G中所有结点的度数全为奇数C.G连通且所有结点度数全为奇数D.G连通且所有结点度数全为偶数2.下列可以一笔画出的图形是（）3.设G是一个哈密尔顿图，则G一定是（） A.欧拉图 B.树 C.平面图 D.连通图4.设G是有5个顶点的完全图，如果要得到树，那么应从G中删去（）A.4条边 B.6条边C.8条边 D.10条边5.设图G是有6个顶点的连通图，总度数为20，则从G中删去（）A.10条边 B.5条边C.3条边 D.2条边6.下列关于树的描述，正确的是（）A.树是不连通的 B.树中增加任意一条边后必有回路C.二叉树中每个结点的次数必定是2 D.树中每个结点的次数一定不小于2二、填空题1.设G是连通平面图，若G有7个面15条边，则G的顶点数为。2.设G是连通平面图，有4个顶点，4个面，则G的边数为。3.设G是连通平面图，若G有8个顶点12条边，则G的面数为。4.设图T是一颗(n,m)树，则n与m的关系为。5.树的叶是指。 6.经连通图G的每条边一次而且仅一次的回路称为G的__________。三、计算题1.设树T有4个2度结点，2个3度结点，3个4度结点，其余的都是树叶，求T的树叶片数。2.设树T有2个2度结点，1个3度结点，3个4度结点，其余的都是树叶，求T的树叶片数。3.设树T有5个2度结点，4个3度结点，3个4度结点，其余的都是树叶，求T的树叶片数。4.设树T有3个2度结点，4个3度结点，5个4度结点，其余的都是树叶，求T的树叶片数。5.设树T有4个2度结点，6个3度结点，2个4度结点，其余的都是树叶，求T的树叶片数。6.设有a、b、c、d、e、f、g七个人，他们分别会讲的语言如下：a：英，b：汉、英，c：英、西班牙、俄，d：日、汉，e：德、西班牙，f：法、日、俄，g：法、德，能否将这七个人的座位安排在圆桌旁，使得每个人均能与他旁边的人交谈？《离散数学》综合练习参考答案第一章命题与命题公式一、选择题1.B 2.B 3.D 4.B 5.D 6.B二、填空题1.真值 2.原子命题 3.真 4.假第二章命题逻辑的推理理论一、填空题1. 2.二、计算题1．解：(主析取范式)2．解：(主合取范式)3.解：的真值表为：故其主析取范式为：4.解：的真值表为：故其主合取范式为：5.解：的真值表为：所以，其主析取范式为：6.解：的真值表为：所以，其主合取范式为：三、证明题1.设A:甲获胜,B:乙获胜,C:丙获胜,D:丁获胜则命题化为论证:A→┐B,C→B,┐A→DC→D证明:(1)A→┐BP(2)B→┐AT(1),E(3)┐A→DP(4)B→DT(2)(3),I(5)C→BP(6)C→DT(4)(5),I2.设P:2是偶数,Q:2整除7,R:5是质数则命题化为论证:P→┐Q,┐R∨Q,R┐P证明:(1)RP(2)┐R∨QP(3)QT(1)(2),I(4)P→┐QP(5)┐PT(3)(4),I3.设P：厂方拒绝增加工资；Q：罢工停止；R罢工超壶过一年；S：撤换厂长则命题化为论证: 证明：① P② P③ T①②I④ P⑤ T④I⑥ T⑤E⑦ T③⑥I第三章谓词逻辑一、选择题1.D 2.A 3.D 4.A 5.A 6.B二、填空题1.存在量词 2.1 3.0 4.1 5.0 6.1三、证明题1.证明:(1)A(x)P(附加前提) (2)A(a)US(1)(3)(A(x)→B(x))P (4)A(a)→B(a)US(3)(5)B(a)T(2)(4),I(6)B(x)UG(5) (7)A(x)→B(x)CP2.证明:(1)(┐A(x)→B(x))P(2)┐A(a)→B(a)US(1) (3)┐B(x)P(4)┐B(a)US(3)(5)A(a)T(2)(4),I(6)A(x)EG(5)3.设P(x)：x是个舞蹈者；Q(x)：x很有风度；S(x)：x是个学生；a：王华上述句子符号化为：前提：、结论：证明：① P② P③ US②④ T①I⑤ T③④I⑥ T①I⑦ T⑤⑥I⑧ EG⑦ 第四章集合一、选择题1.D 2.B 3.A 4.B 5.C 6.C二、填空题1.{{1}} 2. 3.{1} 4. 5. 6. 三、计算题1.解:由于，故。2.解：， ， 四、证明题1.证明：若，则，所以，；若，则对任意的,有,所以,又因为,所以,所以,因此.同理可得,，从而.2.证:任意<x,y>∈(A∩B)×(C∩D)x∈(A∩B)∧y∈(C∩D) x∈A∧x∈B∧y∈C∧y∈D(x∈A∧y∈C)∧(x∈B∧y∈D)<x,y>∈(A×C)∧<x,y>∈(B×D) <x,y>∈(A×C)∩(B×D)所以(A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D).第五章关系与函数一、选择题1.C 2.B 3.B 4.D 5.B 6.D 7.D 8.D 9.A10.D 11.C 12.C二、填空题1.8 2.9 3.24 4.29 5.29 6.26 7.8.R是自反的、对称的和传递的 9.以主对角线为对称的元素不能同时为110.对称矩阵 11.主对角线上的所有元素都为1 12.主对角线上的所有元素都为0三、计算题1.解： (1)= (2) (3)，所以2.解：（1）RR={(1,1)，(1,3)，(2,2)，(2,4)} （2）R-1=｛(2,1)，(1,2)，(3,2)，(4,3)｝ 3.解：A×B={<1,0>,<1,1>,<2,0>,<2,1>}（1）所有A到B的关系为的每一个元素,分别为：，{<1,0>},{<1,1>},{<2,0>},{<2,1>}，{<1,0>,<1,1>},{<1,0>,<2,0>},{<1,0>,<2,1>},{<1,1>,<2,0>},{<1,1>,<2,1>},{<2,0>,<2,1>}，{<1,0>,<1,1>,<2,0>},{<1,0>,<1,1>,<2,1>},{<1,0>,<2,0>,<2,1>},{<1,1>,<2,0>,<2,1>}，{<1,0>,<1,1>,<2,0>,<2,1>}；（2）所有A到B的函数为{<1,0>,<2,0>},{<1,0>,<2,1>}，{<1,1>,<2,0>},{<1,1>,<2,1>}；（3）所有A到B的双射为{<1,0>,<2,1>},{<1,1>,<2,0>}。4.解：＝{<1,a,2>,<1,a,3>,<1,b,2>,<1,b,3>}(2分)={}{<a,a,1>,<a,b,1>,<b,a,1>,<b,b,1>}。(3分)5.解：R1={1,2}×{1,2}={(1,1),(1,2),(2,1),(2,)}R2={3}×{3}={(3,3)}R3={4,5}×{4,5}={(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)}R=R1R2R3={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)}关系图为：6.解：R1={1}×{1}={(1,1)} R2={2，3}×{2，3}={(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)} R3={4,5}×{4,5}={(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)}所以，所求的等价关系为： R=R1R2R3={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,4)(4,5),(5,4),(5,5)}7.解：A上的每一个划分对应A上的一个等价关系,所以只要找出A上的所有的划分即可.A上的划分有:{1}∪{2}和{1,2}， 所以A上的所有等价关系有：； 8.解：自反闭包对称闭包传递闭包9.解：自反闭包对称闭包 传递闭包10.解：自反闭包 对称闭包 传递闭包第六章代数系统的一般概念一、选择题1.D 2.C 3.D 4.C 5.D 6.D 7.B 8.B 9.C10.D 11.A 12.D二、填空题1.({e},*) 2.a 3.ab 4.2个 5.1个 6.循环群7.3 8.3 9.3 10.20 11.8 12.1213.[9] 14.[3] 15.[2] 16.[4] 17.[2] 18.[5] 三、计算题1.解：[0]是单位元，其阶数为1；[1]2=[2]，[1]3=[3]，[1]4=[4]，[1]5=[5]，[1]6=[0]，所以[1]的阶数为6；[2]2=[4]，[2]3=[0]，所以[2]的阶数为3；[3]2=[0]，所以[3]的阶数为2；[4]2=[2]，[4]3=[0]，所以[4]的阶数为3；[5]2=[4]，[5]3=[3]，[5]4=[2]，[5]5=[1]，[5]6=[0]，所以[5]的阶数为6；由上可知，该群是循环群，[1]，[5]都是其生成元。2.解：是单位元，其阶数为1； ，故的阶数为4； ，故的阶数为2；，故的阶数为4。由上可知，该群是循环群，都是其生成元。3.解：因为|A|=2，所以A上共有22=4个不同函数。令，其中：为AA中的幺元，和有逆元。4.解：任意<a,b>∈Q×Q，设<a,b>*<x,y>=<a,b>，即<ax,ay+b>=<a,b>,得ax=a,且ay+b=b,解得:x=1,y=0. 因为对任意<a,b>∈Q×Q,有<1,0>∈Q×Q,使得<a,b>*<1,0>=<a,b>和<1,0>*<a,b>=<a,b>所以,<1,0>是单位元。 任意<a,b>∈Q×Q,设<a,b>*<x,y>=<x,y>,即<ax,ay+b>=<x,y>,得ax=x,且ay+b=y,此方程并非对所有得有理数a,b都有解,因此,无零元.5.解：(1)*不满足交换律、结合律，但满足幂等律.(2)a是关于*的单位元,无零元a为可逆元，其逆元为a,b和c都不可逆。6.解：(1)*满足交换律、结合律，但不满足幂等律.(2)a是关于*的单位元，c是关于*的零元，a为可逆元，其逆元为a,b为可逆元，其逆元为b，c不可逆。四、证明题1.证明：对于中任意元素，由条件知道，因此存在逆元，此逆元是其自身，因此是一个群。 对于中任意元素和，设，有，因是群，所以，由于每一元素以其自身为逆元，于是即，是可交换的，所以是一个阿贝尔群。2.证：反证法：反设<A，+，·>是整环， 因为对任意都有a·a=a，且|A|≥3，所以且。即有且，这与整环中无零因子矛盾。 所以<A，+，·>不可能是整环。3.证：对于任意的,均有它的逆元,使得 由于互为逆元的两个不相等的元素是成对出现的，而且集合A中元素的个数为偶数，群中有唯一的幺元，因此，至少有一个元素是以自身为逆元的。 即必存在，使得4.证明：因为a-1*b∈G，且a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b，所以对于a,b∈G，必有x∈G，使得ax=b。 若x1,x2都满足要求。即ax1=b且ax2=b。故ax1=ax2