新教材2023年秋高中数学模块综合测评2新人教A版选择性必修第二册

模块综合测评(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f(x)＝lnx＋x3，则limΔx→0A．1 B．2C．4 D．82．在等比数列{an}中，a4，a10是方程x2－11x＋9＝0的两根，则a7＝()A．3 B．－3C．±3 D．无法确定3．已知函数f(x)＝(x＋a)ex的图象在x＝1和x＝－1处的切线相互垂直，则a＝()A．－1 B．0C．1 D．24．在金秋的苹果节上，某商家将参展的苹果摆成16层，从上到下每层的苹果数是一个等差数列．已知第8层和第9层共有苹果40个，则此商家参展的苹果共有()A．300个 B．320个C．340个 D．360个5．在数列{an}中，a1＝2，对任意的m，n∈N*，am＋n＝am·an，若a1＋a2＋…＋an＝62，则n＝()A．3 B．4C．5 D．66．已知函数f(x)＝ex－3x－1(e为自然对数的底数)，则以下结论正确的为()A．函数y＝f(x)仅有一个零点，且在区间(－∞，＋∞)上单调递增B．函数y＝f(x)仅有一个零点，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增C．函数y＝f(x)有两个零点，其中一个零点为0，另一个零点为负数D．函数y＝f(x)有两个零点，且当x＝ln3时，y＝f(x)取得最小值为2－3ln37．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，令Tn＝a1·a2＋a2·a3＋…＋an·an＋1，则Tn＝(A．16×1-14n BC．323×1-14n 8．若函数f(x)＝x2－4x＋alnx有唯一的极值点，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪{2}C．(－∞，0] D．(－∞，0]∪{2}二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．数列{an}是首项为1的正项数列，an＋1＝2an＋3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是()A．a3＝13B．数列{an＋3}是等比数列C．an＝4n－3D．Sn＝2n+1－n－210．已知函数f(x)＝ln(ex＋e－x)，则下列说法正确的有()A．f(ln2)＝ln5B．f(x)是奇函数C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增D．f(x)的最小值为ln211．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下述结论正确的是()A．函数y＝f(x)在区间(3，5)内单调递增B．当x＝－12时，函数y＝f(x)C．函数y＝f(x)在区间(1，2)内单调递增D．当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值12．已知数列{an}是等比数列，则下列结论中正确的是()A．数列{anB．若a4＝3，a12＝27，则a8＝±9C．若a1＜a2＜a3，则数列{an}是递增数列D．若数列{an}的前n项和Sn＝3n-1＋r，则r＝－1三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上)13．函数f(x)＝(x－1)ex-2的单调递增区间为________．14．某市利用省运会的契机，鼓励全民健身，从7月起向全市投放A，B两种型号的健身器材．已知7月投放A型健身器材300台，B型健身器材64台，计划8月起，A型健身器材每月的投放量均为a台，B型健身器材每月的投放量比上一月多50%，若12月底该市A，B两种健身器材投放总量不少于2000台，则a的最小值为________．15．已知an＝|11－2n|，数列{an}的前n项和为Sn，若Sk＝650，则k＝________．16．已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)，若a＝2，则f′(0)＝________；又若f(x)的最小值为0，其中a＞0，则a的值为________．四、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{an}满足a5＝9，a3＋a9＝22．(1)求{an}的通项公式；(2)等比数列{bn}的前n项和为Sn，且b1＝a1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足Sn<2020的n的最大值．条件①：b3＝a1＋a2；条件②：S3＝7；条件③：bn＋1>bn．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－9x．(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．19．(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，满足a＝(Sn＋1－2Sn，Sn)，b＝(2，n)，a∥b．(1)求证：数列Sn(2)求数列{Sn}的前n项和Tn．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x2＋ax＋b)·ex(e为自然对数的底数，e＝2.71828…)，曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋1．(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在区间[－2，3]上的最大值．21．(本小题满分12分)已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，________．(1)判断2022是否是数列{an}中的项，并说明理由；(2)求Sn的最小值．从①S11＝－22，②S5＝S6中任选一个，补充在上面的问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1x＋1＋alnx(a∈R)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．模块综合测评(二)1．D[由题意f′(x)＝1x＋3x2，所以f′(1)＝1＋3＝4所以limΔx→0f1+2Δx-f1Δx2．C[∵a4，a10是方程x2－11x＋9＝0的两根，∴a4a10＝9，由等比数列的性质可知a4a10＝a72＝9，∴a7＝±3．故选C3．A[因为f′(x)＝(x＋a＋1)ex，所以f′(1)＝(a＋2)e，f′(－1)＝ae-1＝ae，由题意有f′(1)·f′(－1)＝－1，所以a＝－1，故选A．4．B[由题意，此商家参展的苹果构成等差数列{an}，其中n＝16，a8＋a9＝40，所以S16＝16a1+a162＝16a85．C[因为对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am·an，所以令m＝1，则an＋1＝a1·an＝2an，因为a1≠0，所以an≠0，即an+1an＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以21-2n1-26．D[f′(x)＝ex－3是增函数，∴x＜ln3时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，x＞ln3时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，显然f(0)＝0，∴f(ln3)＝2－3ln3＜0，又x→＋∞时，f(x)→＋∞，∴f(x)在(ln3，＋∞)上也有一个零点，因此共有两个零点．故选D．]7．C[设数列{an}的公比为q，由题意可知，当n≥2时，an·an+1an-1·an＝q2，即数列{an·an＋1}是以q2为公比的等比数列，由a2＝2，a5＝14得q＝12，所以所以Tn＝8×1-14n8．C[由f(x)＝x2－4x＋alnx可知，f′(x)＝2x－4＋ax＝2x2-令g(x)＝2x2－4x＋a＝2(x－1)2＋a－2，由f(x)有唯一的极值点，可得g(0)≤0，即a≤0，则实数a的取值范围为(－∞，0]．]9．AB[an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2(an＋3)，所以数列{an＋3}是等比数列，又因为a1＝1，所以an＋3＝(a1＋3)2n-1＝2n+1，所以an＝2n+1－3，所以a3＝13，所以Sn＝41-2n1-2－3n＝2n+210．ACD[f(ln2)＝ln(eln2＋e－ln2)＝ln52，A正确；f(x)＝ln(ex＋e－x)的定义域为R，其中f(－x)＝ln(e－x＋ex)＝f(x)故f(x)是偶函数，B错误；f′(x)＝ex-e-xex+e-x，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝ex-e-xex+e-x>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，C正确；根据f(x)在(0，＋∞)上单调递增且f(x)是偶函数，则f(11．CD[结合函数y＝f(x)的导函数的图象可知：当x<－2时，导函数值小于0，函数f(x)是减函数；当x＝－2时，导函数值等于0，函数f(x)取极小值；当－2<x<2时，导函数值大于0，函数f(x)是增函数；当x＝2时，导函数值等于0，函数f(x)取极大值；当2<x<4时，导函数值小于0，函数f(x)是减函数；当x＝4时，导函数值等于0，函数f(x)取极小值；当x>4时，导函数值大于0，函数f(x)是增函数，结合选项易知，A、B错误，C、D正确，故选CD．]12．AC[设等比数列{an}公比为q(q≠0)，则an+12an2＝an+1an2因为等比数列{an}中a4，a8，a12同号，而a4＞0，所以a8>0，即B错误；若a1＜a2＜a3，则a1＜a1q＜a1q2，∴a1＞0即数列{an}是递增数列，C正确；若数列{an}的前n项和Sn＝3n-1＋r，则a1＝S1＝31-1＋r＝1＋r，a2＝S2－S1＝2，a3＝S3－S2＝6，所以q＝a3a2＝3＝a2a1，∴2＝3(1＋r)，r＝－113．(0，＋∞)[∵f(x)＝(x－1)ex-2，∴f′(x)＝ex-2＋(x－1)ex-2＝xex-2，由f′(x)＝xex-2＞0得x＞0，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]14．74[设B型健身器材这6个月投放量为{bn}，则{bn}是以b1＝64为首项，q＝32∴其前6项和为S6＝641-3∴5a＋300＋1330≥2000，解得a≥74，故a的最小值为74．故答案为74．]15．30[当n≤5时，an＝11－2n，∴Sn＝n9+11-2n2＝10n令Sk＝650＝10k－k2，无解．当n≥6时，an＝2n－11，Sn＝S5＋(a6＋a7＋…＋an)＝5×102＋1+2n-11n-52令Sk＝650＝k2－10k＋50，解得k＝30或－20(舍)，故k＝30．]16．121[f(x)的定义域为(－a，＋∞)f′(x)＝1－1x+a＝x+a-1x+a．当a＝2时，f′(x)＝∴f′(0)＝1－12＝1又由f′(x)＝0，解得x＝1－a＞－a．当－a＜x＜1－a时，f′(x)＜0，f(x)在(－a，1－a)上单调递减；当x＞1－a时，f′(x)＞0，f(x)在(1－a，＋∞)上单调递增．因此，f(x)在x＝1－a处取得最小值，由题意知f(1－a)＝1－a＝0，故a＝1．]17．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，因为a5＝9，a3＋a9＝22，所以a解得：a所以an＝2n－1．(2)(Ⅰ)选择①②设等比数列{bn}的公比为q，因为b1＝a1，b3＝a1＋a2，所以b1＝1，b3＝4，因为S3＝7，所以b2＝S3－b1－b3＝2，所以q＝b2b1＝2，所以Sn＝b11-因为Sn＜2020，所以2n－1＜2020，所以n≤10，即n的最大值为10．(Ⅱ)选择①③设等比数列{bn}的公比为q，因为b1＝a1，b3＝a1＋a2，所以b1＝1，b3＝4，所以q2＝b3b1＝4，q因为bn＋1＞bn，所以q＝2，所以Sn＝b11-qn1因为Sn＜2020，所以2n－1＜2020，所以n≤10．即n的最大值为10．(Ⅲ)选择②③设等比数列{bn}的公比为q，因为S3＝7，b1＝1，所以1＋q＋q2＝7．所以q＝2，或q＝－3．因为bn＋1＞bn，所以q＝2．所以Sn＝b11-qn1因为Sn＜2020，所以2n－1＜2020，所以n≤10．即n的最大值为10．18．解：(1)因为f(x)＝x3－9x，所以f′(x)＝3x2－9，当x＝1时，f(1)＝－8，f′(1)＝－6，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线过点(1，－8)，斜率为k＝－6，所以切线方程为y＋8＝－6(x－1)，即6x＋y＋2＝0．(2)函数f(x)的定义域为R，令f′(x)＝3x2－9＝0，得x＝±3，x(－∞，－3)－3(－3，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，(3，＋∞)；减区间为(－3，3当x＝－3时，函数f(x)有极大值，f(－3)＝63，当x＝3时，函数f(x)有极小值，f(3)＝－63．19．解：(1)证明：因为a∥b，可得n(Sn＋1－2Sn)＝2Sn，整理得Sn+1n+1＝2·又由a1＝1，可得S11＝1，所以数列Snn表示首项为(2)由(1)知Snn＝2n-1，所以Sn＝n·2n所以Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋(n－1)·2n-2＋n·2n-1，2Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n-1＋n·2n，两式相减，可得－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n-1－n·2n＝1×1-2n1-2－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1，所以Tn＝20．解：(1)因为f(x)＝(x2＋ax＋b)·ex在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋1，所以f(x)过(0，1)点，所以be0＝1，b＝1，所以f(x)＝(x2＋ax＋1)·ex．又f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a＋1]·ex，所以f′(0)＝－2，即a＋1＝－2，a＝－3．(2)由(1)知f(x)＝(x2－3x＋1)·ex，f′(x)＝(x2－x－2)·ex＝(x－2)(x＋1)·ex，由f′(x)＝0，得x＝2或x＝－1，又x∈[－2，3]，所以由f′(x)>0得2<x<3或－2<x<－1，由f′(x)<0得－1<x<2，所以f(x)在(－2，－1)上单调递增，在(－1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增，所以f(x)极大值＝f(－1)＝5e．又f(3)＝e3，所以f(x)max＝f(3)＝e321．解：若选①，(1)设公差为