2023年中学生标准学术能力高考数学诊断试卷

2023年中学生标准学术能力高考数学诊断试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4={x|/—4x+3<0},B=[y\y-则4nB=()

A.[2,3)B.(1,3)C.[2,+oo)D.(3,+8)

2.设z是纯虚数，若皆是实数，贝ijz的虚部为()

A.-3B.—1C.1D.3

3.已知函数/(x)=，？sin(3X+,)—C0S(3X+w)(3>0,|伊|<兀)，则''函数f(x)是偶函

数"是‘卬=_?的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.若圆(*-a)2+(y-3)2=20上有四个点到直线2x-y+l=0的距离为n，则实数a的

取值范围是()

A/13、,,，17,、n/1317、

A.(-00,-y)U(y,+oo)B.(-y,y)

Q7Q7

C.(-00,--)u(2，+0°)D.(一十5)

5.若7"+盘+[7吁1+…+或工7+谶+1是9的倍数，则自然数〃为()

A.4的倍数B.3的倍数C.奇数D.偶数

6.现将0-9十个数字填入下方的金字塔中，要求每个数字都使用一次，第一行的数字中最

大的数字为a,第二行的数字中最大的数字为b,第三行的数字中最大的数字为c,第四行的

数字中最大的数字为d,则满足。<6<©<£/的填法的概率为()

A，ioB17Dl

7.在矩形ABCD中，已知4B=24。=4,E是4B的中点，将△4DE沿直线0E翻折成△&DE,

连接41c.当二面角4-DE-。的平面角的大小为60。时，则三棱锥&-CDE外接球的表面积

为()

A.罟B.187rC.19兀D.罟

2

8.已知a>0且a丰1,若集合4=(x\2x<logax｝,B=(x\y=Inx+ln(1-x)｝,且力些B,

则实数a的取值范围是()

A.(0,1)U(l,e』B.(0,1)u[温+8)

C.(i,l)u(l,向D.(l,l)u[ei+8)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.设a>0,b>0,满足3a+2b=1,下列说法正确的是()

A.ab的最大值为5B.乙+〈的最小值为8AA3

24ab

C.+匕2的最小值为表D.9a2+4/的最小值为1

10.己知等差数列｛an｝的前般项和为%,满足的+a2+。3=21,S5=25,下列说法正确的

是()

2

A.an=2n+3B.Sn=—n+lOn

C.5｝的最大值为S5D.｛」一｝的前10项和为一黑

11.已知△ABC的内角4B,C所对边的长分别为a,b,c,已知b=4,c=6,△ABC的面

积S满足(b+c)2=(4C+8)S+a2,点。为AABC的外心，满足m=4而+〃而，则下列

结论正确的是()

A.S=6B.CB-A0=10C.|而|=号D.4=2-亨

12.己知P(Xi，y])，<2(%2，、2)是椭圆[+竽=1上两个不同点，且满足/刀2+9y，2=-2,

则下列说法正确的是（）

-

A.|2%i+3yl—3|+\2X2+3y2—31的最大值为6+2A/5

B.|2Xi+3yl-3|+\2x2+3y2-3|的最小值为3—屋

C.|%i—3yx+5|+|x2-3y2+5］的最大值为2V"$1°

D.|%1—3yl+5|+|x2—3y2+5］的最小值为10—2V-2

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知点M为抛物线y2=8x上的动点，点N为圆M+⑶-4/=5上的动点，则点M到y轴

的距离与点M到点N的距离之和最小值为.

14.己知/(%)为R上的偶函数，函数/i(x)=x2/(x)在［0,+8)上单调递增，则不等式(1一

x)2/(l-x)-(3+x)2/(3+x)>0的解集为______.

15.用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的六位数，要求任意两个偶数数字之

间至少有一个奇数数字，则符合要求的六位数的个数有个

16.若关于x的不等式婚(2卜-乃<尢+3对任意的久6(0,+8)恒成立，则整数k的最大值为

四、解答题(本大题共6小题，共70.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

23

在数列5｝中，的=：,(3n+9)-(n4-l)an+i=(n+2)an.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)设的前n项和为右，证明：S"<3-管.

18.(本小题12.0分)

己知A/IBC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且2bcos4—a=2c.

(1)求角B；

(2)设乙4BC的角平分线BD交AC于点D,若BD=2,求△ABC的面积的最小值.

19.(本小题12.0分)

如图所示，在三棱锥4一BCO中，满足BC=CD=3/3,点M在CO上，且CM=5MC,△4B0

为边长为6的等边三角形，E为BD的中点，尸为AE的三等分点，且24F=FE.

⑴求证：FM〃面4BC；

(2)若二面角4-BD-C的平面角的大小为与，求直线与面ABD所成角的正弦值.

20.(本小题12.0分)

为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数

学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认

为感兴趣的人数占70%.

(1)根据所给数据，完成下面的2x2列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生

(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈,

记选出高三女生的人数为X,求X的分布列与数学期望.

21.(本小题12.0分)

已知双曲线C以2x±y/~5y=0为渐近线，其上焦点F坐标为(0,3).

(1)求双曲线C的方程；

(2)不平行于坐标轴的直线，过户与双曲线C交于P,Q两点，PQ的中垂线交y轴于点7,问^是

否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.

22.(本小题12.0分)

设/'(x)=3。eR)-

(1)求/(X)的单调性，并求/(X)在％=2处的切线方程；

(2)若f(ex)•/(*)<k•(，nx+1)在xe(1,+8)上恒成立,求k的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：•・・集合4=[x\x2—4%+3<0]=(x\l<%<3},

B={y\y=6尸2-1}={y\y>2),

则ACB={x|2<x<3].

故选：A.

求出集合力，B,利用交集定义能求出anB.

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：可设z=bi(bK0),

3+z_3+bi_(3+瓦)(l-i)_3+b,-

1+i-1+i-(l+t)(l-i)~2+2⑵头数'

故b—3=0,解得b=3,即z的虚部为3.

故选：D.

根据已知条件，结合纯虚数、实数的定义，以及复数的四则运算，即可求解.

本题主要考查纯虚数、实数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：函数/'(久)=7~~3sin(a)x+(p')—cos(cox+(p)(to>0,\cp\<兀)，

即/(%)=2sin(a>x+<p—

则函数f(x)是偶函数o9Y=上兀+*fcGZ,

即9=/ot+竽，keZ,

当k=-1时，(p=

故“函数/(x)是偶函数”是“0=-针的必要不充分条件.

故选:B.

求出函数f(x)是偶函数的充要条件，进而求得结论.

本题考查了三角函数的性质、充分必要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：因为圆的方程为(x—a)2+(y-3)2=20,所以圆心为(a,3),半径为2，石，

又圆(x-a)2+(y-3产=20上有四个点到直线2x-y+1=0的距离为，亏，

所以圆心到直线2x-y+1=0的距离d<

所以年仔I<即12a—2|<5,得到一5<a<

故选：D.

将圆Q-a/+⑶-3)2=20上有四个点到直线2x-y+l=0的距离为门，转化为圆心到直线

的距离d<门，从而利用点到直线的距离公式求出结果.

本题考查了点到直线的距离公式，属于中档题.

5.【答案】C

【解析】解：当几=1时，7n+墨+1771-1+…++/+1=7+2=9,

是9的倍数，满足题意，故排除

故选：C.

根据二项式定理的性质，利用整除的性质即可得到结论.

本题主要考查多项式的整除问题，利用特殊值法是解决本题的关键，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：方法一：由题可知，

第四行：d=9,可选位置有4个，其余位置任取3个数，共有盘黑种情况：

第三行：取剩下6个数中最大的数为c,可选位置有3个，其余位置任取2个数，共有废用种情况;

第二行：取剩下3个数中最大的数为人可选位置有2个，其余位置任取1个数，共有6的种情况;

第一行：最后1个数作为a,

所有满足a<b<c<d的填法共有盘尚能度©为种情况，位置不限的情况共有48种，

故满足a<b<c<d填法的概率为：P=或周情河=4；

410

方法二：

最大的数d在第4行的概率P4=4=|，

在前3行中，最大的数c在第3行的概率P3=|=5

在前2行中，最大的数b在第2行的概率P2=|,

7177

则aVb<cVd的概率P=P4xP3xP2=1xAx9=捻.

故选：c.

方法一：先填第四行：取这10个数中最大数作为d,剩余位置任取3个数填入：填第三行：取剩余

6个数中最大数作为c,剩余位置任取2个数填入；填第二行：取剩下3个数中最大数作为b,剩余

位置任取1个数，最后剩下的1个数作为a,即可求出所有满足要求的情况，根据古典概型公式计

算即可；

方法二：分别讨论最大的数在第4行，前3行中最大的数在第3行，前2行中最大的数在第2行的概

率，然后由相互独立事件的概率乘法公式可得.

本题主要考查了排列组合知识，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.

7.【答案】A

【解析】解：设CD,DE的中点分别为F,G,三棱锥儿-CDE外接球的球心为0,

易知DEICE,DALA^E,DAX=ArE=2,F0_L平面DEC,

GO_L平面&DE,

易得&G_LOE,1OE,N&GF=60。，NOGF=30。，

222

•••&G=FG=y/~2,GO=亨，Ar0=ArG+G0=2+|=y,

•・・三棱锥4-COE外接球的表面积为4兀.力。=等.

故选:A.

设CD,DE的中点分别为F,G,三棱锥4-CDE外接球的球心为0,可得G。，平面4DE,进而可

得NOGF=30。，可得4。2=4G2+GM,可求三棱锥&-CDE外接球的表面积.

本题考查空间几何体的外接球的问题，考查运算求解能力，属中档题.

8.【答案】B

2

【解析】解：依题意，B={x|0<x<^},A={x\2x<logax},且A麋B,

①当0Va<1时，作出y=2/和y=log。》的大致图象，

：■VdV-f解得0VQV不

2

②当Q>1时，设f(%)=2x-logax,

当0<%W1.时，loga%<0,则/(%)>0恒成立，4=0,满足A曝B,

于是当时，AB,当且仅当A=0,即不等式/(%)N0对VxW(0,+8)恒成立,

八X)=4X-焉,由八X)=。得,X=1高当。<X"J高时,f(x)<0；当X>]今时,

f'(x)>0,

•••/(X)在(0,上单调递减,

11.1_1ln(4Zna)

-=f而一/°9。而=而+FT'

•••备+嚅？2BPl+ln(4Zna)>01.：4lna>^,...a>

・••当a2获时，/(尤)NO恒成立，4=。，满足4呈B,

综上得，a的取值范围为：(0二)u[e而,+8).

4/

故选:B.

可求出B={x|0<xV讨论a：0<。<1时，可画出y=2/和y=log。》的图象，根据图象可

得出2x(1)2>Eoga：,从而可解出。的范围;a>1时，可设/(x)=2/一log。》,可看出当0V%W1

时,/(%)>0恒成立,4=。，从而得出Q>1时，要满足4睡B,只需A=0,即对任意的x6(0,+8),

/(X)20恒成立.然后通过导数可求出f(x)的最小值，然后让最小值满足/+等㈣N0,然后

解出a的范围即可.

本题考查了对数函数的定义域和单调性，借助函数图象解决函数问题的方法，对数的运算性质，

对数的换底公式，根据导数求函数的最值的方法，基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，

属于难题.

9.【答案】AC

【解析】解：因为a>0,b>0,满足1=3a+2b22V6abt当且仅当3a=2b=；,即a=g

Zo

b时取等号，

4

故abW白，人正确；

24

1+1=<^+1)(3a+2b)=8+y+y>8+=8+4口,当且仅当y=与且3a+2b=1

时取等号，8错误；

由题意得2b=1-3a>0,

1

故0<a<W，

所以a2+b2=a2+£2=fa2-U+；，

4424

根据二次函数的性质可知，当。=得时，函数取得最小值表，C正确；

11

因为四笋)24生|竺!，当且仅当3a2=即a=&=

6-4-

解得9a2+4炉日，O错误.

故选：AC.

由已知结合基本不等式及二次函数的性质分别检验各选项即可判断.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

10.【答案】BCD

【解析】解:等差数列｛Qn｝中，。1+。2+的=21，所以3a2=21,解得心=7,

又S5=5a3=25,所以%=5,

所以公差d=a3-a2=-2,

所以的=9,an=9-2X（九一1）=—2n+11,选项A错误；

前n项和为%=9n+迎¥刍=一/12+10人选项B正确；

令即=-2n+11=0,得〃=:，所以。5>0，。6<0，设几｝的最大值是S5，选项C正确；

因为鼠LT6一所以｛鼠白二｝的前10项和为5弓一力=一卜<一击）=一意选项

an^n+laanan+lan^n+l«乙V-11V9

。正确.

故选：BCD.

根据等差数列｛册｝的通项公式和前几项和公式，求出即和治,再判断选项中的命题是否正确.

本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式应用问题，是基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：•・•(b+c)2=+8)S+Q2,且b=4,c=6,

:.Z?24-c2—a24-2bc=(4AT-3+8)•1bcsinA,

・•・2bccosA+2bc=(2V-3+4)bcsinA^

・•・48cosA4-48=48(V-3+2)sinA,

・•・cosA4-1=(V-3+2)sirh4,

・•・cos2/l+2cosA4-1=(74-4V-3)(1—cos2/l)，解得cosA==或-1(舍去)，・••sinA=

・•・S=gbcsinA=；x4x6xg=6,A正确；

如图，。为△ABC的外心，则:

A

11

--的

2同前2

--

1-同=

1I

荏|2-：|市|2=92一夕2=18-8=10,B正确;

------->一，■>--->2....,，，，，♦

—»—►—►AO,AB=XAB4-uAB,AC—►—»—►—>__>2

-AO=XAB+fiAC>二"_一一，一2，且n80T8=18,40•AC=8，AB=

AO-AC=AAB-AC+fiAC

___>2___,___»

36,AC=16,48-AC=bccosA=12y/~~39

f36A4-12y/~3u=18,,/^-/B（6A4-2y/-3u=3.2V_33V~3八-「市

・•・《广，"，化简得《广，外，解A7得ZHa=2-寺，〃=2—『，。正确；

112门；1+16〃=8+4^=23M2

根据余弦定理，a2=匕2+©2一2bccosA=16+36-2x4x6x^=52-240=4（13-

6V-3），a=2,13-6日，

根据正弦定理，急=里耳迈=2R=2|万|,...|衲=2,13-6厅C错误.

2

故选：ABD.

根据（b+c）2=（4门+8）S+a2及b=4,c=6及余弦定理可得出cosA+1=（O+2）sinA，

两边平方即可求出cosA=华，sinA=i然后根据三角形面积公式可求出S=6,A正确；根据

LN

通•刀=荏•而-而•而及向量数量积的计算公式可求出瓦•布的值，从而判断B的正误；由

'--->---»---»2---»--->

而=2荏+〃而可得出竺竺甘"，岑，然后可得出关于九“的方程组，解出a即

AO-AC=AAB-AC+I1AC

可判断。的正误；根据余弦定理可求出a,根据正弦定理可求出|而|的值，从而判断C的正误.

本题考查了正弦定理和余弦定理，向量数量积的运算及计算公式，三角形外心的定义，考查了计

算能力，属于难题.

12.【答案】AD

【解析】解：己知4（右,yi）,8（肛,丫2）是椭圆［+竽=1上两个不同点，

则置+组=1，g+型1,设x=m,3y=n,C（m1,n1'）,D（m2,n2））。为坐标原点，

4444

则反=（瓶1，n1），0D=（7712,九2），

:.Tn：+九：=4,m2+=4且+m2n2=-2,

・・.C、。两点均在圆血2+/=4的圆上，且4COD=120。，

\CD\=2O>

根据点到直线的距离公式，知口X（四常型+12起常二31）=cX（生喏且+

12m2+n2-3|

~E-

为C、。两点到直线2%+y—3=0的距离£、为之和的V5倍.

设CD的中点为E,E到直线2%+y—3=0的距离6/3,

则dI+d2=2d3<2（幽+为=2+1，

的最大值为/亏（

|2/+3yl-3|+\2X2+3y2-3|x2+*）=6+2<5,

di+d2=2d3>2（一|0E|+合）=-2+1，

|2与+3、1一3|+|2次+3丫2-3|的最小值为/亏*（-2+捻）=6-2/亏，故A正确，8错误；

同理可得C错误，。正确.

故选：AD.

设刀=m,3y=n,C（m^n^,D（m2,n2）,。为坐标原点，则元=（恤,%）,0D=（m2,n2）>进

一步得到C、。两点均在圆m2+必=4的圆上，S.ACOD=120°,\CD\=2>f3,再根据点到直线

的距离公式得到HX产1月-3|+|2外地2-31）的最大值与最小值可判断AB,同理可判断CD.

本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离，考查了转化思想和计算能力，属难题.

当且仅当4、M、N、F共线时取等号，

则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为仁-2.

故答案为：V5-2.

由抛物线的定义，结合圆与抛物线的位置关系求解即可.

本题考查了抛物线的定义，重点考查了圆与抛物线的位置关系，属中档题.

14.【答案】(—8,—1)

【解析】解：根据题意，/(乃为R上的偶函数，

对于函数h。)=%2/(乃，其定义域为R,

有八(-X)=X2/W=以彷，则无0)也是R上的偶函数，

又由九(X)=X2/(%)在［0,+8)上单调递增,则(1-x)2/(l-X)-(3+x)2/(3+X)>0Qh(l-

x)>h(3+x),

则有|1-X|>|3+x|,解可得：x<-l,即不等式的解集为(-8,-1).

故答案为:(-8,-1).

根据题意，分析可得h(x)也是R上的偶函数，结合八。)的单调性可得原不等式等价于|1-可>|3+

x|,解可得答案.

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题.

15.【答案】108

【解析】解：满足要求的六位数按照偶数数字所在的位置可以分为以下几类：

第一类：0,2,4排在从左至右的第一位，第三位，第五位，

先排第一位有2种排法，再排第三位和第五位有鹿种排法，再将奇数排在第二，四，六位有心种

排法，

所以第一类包含的六位数的个数为2国用=24；

第二类：0,2,4排在从左至右的第一位，第三位，第六位，

先排第一位有2种排法，再排第三位和第六位有掰种排法，再将奇数排在第二，四，五位有房种

排法，

所以第二类包含的六位数的个数为2掰“=24；

第三类：0,2,4排在从左至右的第一位，第四位，第六位，

先排第一位有2种排法，再排第四位和第六位有属种排法，再将奇数排在第二，三，五位有房种

排法，

所以第三类包含的六位数的个数为2国题=24；

第四类：0,2,4排在从左至右的第二位，第四位，第六位，

先排偶数数字有质种排法，再将奇数排在第一，三，五位有“种排法，

所以第四类包含的六位数的个数为“心=36；

由分类加法计数原理可得满足条件的六位共有24+24+24+36=108个.

故答案为：108.

根据偶数所在位置将满足要求的6位数分为几类，利用排列知识和分步乘法计数原理求出各类的元

素个数，再由分类加法计数原理求满足要求的所有六位数的个数即可.

本题考查排列组合的应用，属于基础题.

16.【答案】1

【解析】解：因为e/2k-%)<%+3对任意的xe(0,+8)恒成立，

等价于2k<+x对于任意x6(0,+8)恒成立，令/'(%)=巧合+x,xE(0,+8),则((久)=1-

x+2_ex-x-2

~ex~-―-'

令9(x)=e”一%—2,x6(0,4-oo),则/(%)=e*—1>0,

所以g(x)=ex-x-2在%G(0,+8)上单调递增,

又因为g(l)=e—3<0,g(2)=e2—4>0,

x

所以g(X)在(1,2)上有且仅有一个根%o，满足gQo)=e°-x0-2=0,即靖。=3+2,

当％6(0,&)时，g(%)V0,即((%)V0,函数/"CO单调递减，

%七(的,+8)时,g(x)>0,即f'Q)>0,函数/(%)单调递增,

所以f(%)min=/(%o)=+%0=+%0=%0++】=%0+2+一1，

由对勾函数可知3+；-1<&+2+4-1<4+)-1,

3XQ+Z4

吗</(xo)<*

又因为2/cVf(&),即AV挈，Z<A£O)<^,kEZ,

所以kW1,

故答案为：1.

参变分离将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求最值可得.

本题考查了转化思想，利用导数解决恒成立问题，属于中档题.

17.【答案】解：⑴由刖+9)飞+1)2限】=5+2)3即，*鬻沪4需耨

liII乙)I>cIXI

又察=所以｛黑篝｝是以到首项，以3为公比的等比数列，

所以｛奔="白尸=京故”儡京

⑵证明：由⑴可知0n=年册=嘉.竽〈竽，

所以Sn=+。2+…+%1<条+.+…+^^，

尽T2,3n+1丽172,3,,n+1

令”=式+旨+…+铲，则=笆+]+…+^TT，

两式相减得那=|+&+*+…+£)-(n+1)-^7=g+§]]—(n+1)•

nn-7=工+工-工,2__(+i).1=」一2w+5._j_

Nnnnn，

33十223⑺十?3n+l663

所以74=[一篝，

所以治<»等

【解析】⑴由(3“+9)«+1)2%】=5+2)3即可得需沪=g•鬻从而管等｝是

以3为首项，以之为公比的等比数列，进一步求出，悬的通项公式即可得到｛即｝的通项公式；

(2)由⑴可知与="%=噜•审<手，进一步令北=彖+1+…+竽，再利用错位相减

QHTZ)'J?1十Z5S33°

求和法求出”即可证明Sn=01+(12+…+41<3—„.

本题考查数列的递推公式，错位相减求和法，涉及不等式放缩法的运用，考查学生逻辑推理与数

学运算的能力，属于较难题.

18.【答案】解：(l)2bcosA-a=2c,由余弦定理可得乃.也正包一Q=2c，

2cb

整理可得：c2+a2-b2=-ac,由余弦定理可得：c24-a2-h2=2accosB,

可得cosB=——>而8G(0,7T),

所以B—|TT；

⑵由⑴及题意可得乙4B。=ACBD=p

SAABC=\AB-BC•sin|?r=^BD•(AB+BC)•sin*而BD=2,

所以4B-BC=2Q4B+BC)24,48•BC,可得4B-BC216,当且仅当4B=BC时取等号,

所以SMBC=•BC•sin)*x16x?=4门,

所以△4BC的面积的最小值为4/耳.

【解析】(1)由余弦定理可得cosB的值，再由B角的范围，可得B角的大小；

(2)由等面积法及均值不等式，可得4B-BC的最小值，进而求出三角形面积的最小值.

本题考查余弦定理及等面积法求三角形的面积和均值不等式的应用，属于基础题.

19.【答案】(1)证明：在BE上取一点N,使得BN=3NE,连接FN,

NM,

因为8。=6,所以BN=为。=1,NE=2,ED=3,且铝=；，

6FE2

所以黑=喋=:，所以FN〃/W,

NEFE2

因为FNC平面ABC,ABu平面4BC,所以FN〃平面4BC,

因为零=器=4所以NW/%

因为NM仁平面ABC,BCu平面4BC,所以NM//平面4BC,

又因为FNCNM=N,所以平面FNM〃平面ZBC,

又因为FMu平面FNM,所以FM〃平面ABC.

(2)解：因为4E1BD,CE1BD,所以二面角4一BD-C的平面角为乙4EC=手

又因为4EnCE=E,所以BD1平面AEC,

因为BDu平面ABD,所以平面ZBDJ_平面4EC,

因为平面ABDn平面ZEC=AE,过点C作CH1AE,

所以CH1平面48D,所以CH=CEsing=?CE，

因为CE=J(3<3)2-32=所以CH=?x3/7=亨,

即点C到平面4BD的距离为亨，

又因为MD=WCD，所以点M到平面ABD的距离为gx率=卑.

6624

计算3"盛=弯=冬=有

在ADME中，0M=亨，DE=3,

由余弦定理得E"2=32+（亨）2—2X3X亨x强=争

所以EM=等，

所以直线EM与平面4BD所成角的正弦值为sin。=胃=彳泮.

、/1UZ

-2~

【解析】（1）在BE上取一点N,使得8N=：NE,连接FN,NM,由喘=震=孑正明尸N〃AB,得

出FN〃平面ABC,由零=需=g证明NM〃BC,得出NM〃平面ABC,证明平面FNM〃平面ABC,

得出FM〃平面ABC.

（2）由题意知二面角A-BD-C的平面角为乙4EC,过点C作CH1AE,得CH_L平面4BD,求出CE、

CH,得出点C到平面48。的距离，由此求出点M到平面480的距离，△DME中利用余弦定理求得

EM,再计算直线EM与平面2BD所成角的正弦值.

本题考查了空间中的平行关系应用问题，也考查了线面角的计算问题，是中档题.

20.【答案】解：（1）列联表如下:

感兴趣不感兴趣合计

方4:12416

女生9514

合计21930

30x(12x5-4x9)2

K2*0.4082<2.072,

16x14x21x9

所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关;

(2)由题意可知X的取值可能为0,1,2,3,

则P(x=0)=|=^

p(y_1\_以、_I。

p(v__5

。5-2)一可一正'

P(X=3)/=会

故X的分布列为:

X0123

51051

P

42211421

数学期望E(X)=0X^+lX^+2X^+3Xy-=i

T,乙JLJLi,4JLO

【解析】(1)由题可得列联表，根据列联表可得小进而即得；

(2)由题可得X的取值，然后利用古典概型概率公式求概率，进而可得分布列，再利用期望公式即

得.

本题主要考查独立性检验，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)双曲线C以2x±1%=0为渐近线,

则可设双曲线方程为(2x+Cy)(2x-V-5y)=A，

—，

54

•・,上焦点/坐标为(0,3),