高考数学总复习热点专题突破系列(五-六)圆锥曲线方程与概率与统计的综合问题课件

热点专题突破系列(五)圆锥曲线的综合问题考点一圆锥曲线中的定点问题【考情分析】以直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线为背景,通过巧妙设计和整合命题,常与一元二次方程、向量、斜率、距离等知识交汇考查.【典例1】(2014·西安模拟)已知椭圆C:经过点一个焦点是F(0,-1).(1)求椭圆C的方程.(2)设椭圆C与y轴的两个交点为A1,A2,点P在直线y=a2上,直线PA1,PA2分别与椭圆C交于M,N两点.试问:当点P在直线y=a2上运动时,直线MN是否恒过定点Q?证明你的结论.【解题提示】(1)由点在椭圆C上及F(0,-1)可求椭圆C的方程.(2)先利用P的特殊位置，即P在y轴上时，确定若直线MN恒过定点，则该定点一定在y轴上，然后利用三点共线的条件解决.【规范解答】(1)由题意知c=1,可设椭圆方程为因为在椭圆上，所以解得b2=3,所以椭圆的方程为(2)假设存在定点Q.当点P在y轴上时,M,N分别与A1,A2重合,若直线MN经过定点Q,则Q必在y轴上,设Q(0,m),当点P不在y轴上时,设P(t,4),M(x1,y1),N(x2,y2),因为A1(0,2),A2(0,-2),所以直线PA1的方程为直线PA2的方程为将代入得(3+t2)x2+6tx=0,解得所以将代入得(27+t2)x2-18tx=0,解得所以因为所以所以(1-m)(9+t2)=0,所以m=1,所以当点P在直线y=a2上运动时，直线MN恒经过定点Q(0,1).【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.【变式训练】(2015·南京模拟)如图，已知椭圆C:的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.(1)求椭圆C的方程.(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标.【解析】(1)将圆M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化为标准方程(x-3)2+(y-1)2=3,圆M的圆心为M(3,1),半径由A(0,1),F(c,0)得直线AF:即x+cy-c=0,由直线AF与圆M相切，得

(舍去).当时,a2=c2+1=3,故椭圆C的方程为C:(2)由知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直，由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为将y=kx+1代入椭圆C的方程并整理得：(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或因此P的坐标为即将上式中的k换成得直线l的方程为化简得直线l的方程为因此直线l过定点【加固训练】(2015·保定模拟)设椭圆E：的离心率为且过点(1)求椭圆E的方程.(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l:x-my-t=0与椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标.【解析】(1)由可得a2=2b2，椭圆方程为代入点可得b2=2,a2=4,故椭圆E的方程为(2)由x-my-t=0得x=my+t,把它代入E的方程得:(m2+2)y2+2mty+t2-4=0,设M(x1,y1)，N(x2,y2)得：x1+x2=m(y1+y2)+2t=x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+tm(y1+y2)+t2=因为以MN为直径的圆过点A，所以AM⊥AN,所以=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2因为M，N与A均不重合，所以t≠-2,所以直线l的方程是直线l过定点由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，所以直线l过定点考点二圆锥曲线中的定值问题【考情分析】该问题常涉及直线、圆锥曲线、向量等问题,是高考热点:(1)定值问题一般考查直线与圆锥曲线的位置关系,一元二次方程的根与系数之间的关系,考查斜率、向量的运算以及运算能力.(2)解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式为定值.【典例2】(2013·江西高考)椭圆C:的离心率(1)求椭圆C的方程.(2)如图，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明:2m-k为定值.【解题提示】(1)借助椭圆中a2=b2+c2的关系及两个已知条件即可求解.(2)可以写出BP的直线方程,分别联立椭圆方程及AD的方程表示出点P,M的坐标,再利用DP与x轴表示点N的坐标,最终把m表示成k的形式,就可求出定值;另外也可设点P的坐标,把k与m都用点P的坐标来表示.【规范解答】(1)因为所以又由a2=b2+c2得代入a+b=3，得故椭圆C的方程为(2)因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为①，将①代入解得直线AD的方程为：②.联立①②解得由D(0,1),N(x,0)三点共线可知即所以点所以MN的斜率为则(定值).【一题多解】解决本例(2)，你知道几种解法？解答本题，还有如下方法：设P(x0,y0)(x0≠0,±2)，则直线AD的方程为直线BP的方程为直线DP的方程为令y=0，由于y0≠1，可得解所以MN的斜率为故【规律方法】圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点:待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法:①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.②引进变量法:其解题流程为【变式训练】(2015·广州模拟)已知椭圆C：的短半轴长为1,动点M(2,t)(t>0)在直线(c为半焦距)上.(1)求椭圆的标准方程.(2)求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程.(3)设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值.【解析】(1)由点M(2,t)在直线上，得故所以c=1,从而所以椭圆方程为(2)以OM为直径的圆的方程为x(x-2)+y(y-t)=0.即其圆心为半径因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离所以解得t=4.所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.(3)设N(x0,y0),则因为所以2(x0-1)+ty0=0,所以2x0+ty0=2.又因为所以x0(x0-2)+y0(y0-t)=0,所以x02+y02=2x0+ty0=2,所以为定值.【加固训练】已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明：为定值.(2)设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．【解析】(1)由已知条件，得F(0,1)，λ＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由即得(－x1,1－y1)＝λ(x2，y2－1)．所以将①式两边平方并把代入得y1＝λ2y2，③解②③式得且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4.抛物线方程为求导得所以过抛物线上A，B两点的切线方程分别是即解出两条切线的交点M的坐标为所以，所以为定值，其值为0.(2)由(1)知在△ABM中，FM⊥AB，因而因为|AF|，|BF|分别等于A，B到抛物线准线y＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝于是由知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4.考点三圆锥曲线中的最值与取值范围问题【考情分析】常涉及不等式恒成立、求函数的值域问题和解不等式问题,是高考热点:(1)恒成立问题一般考查整式不等式、分式、绝对值不等式在某个区间上恒成立,求参数取值范围.(2)求函数的值域,一般是利用二次函数、基本不等式或求导的方法求解,有时也利用数形结合思想求解.(3)解不等式一般是转化为解一元一次、一元二次不等式.【典例3】(2014·浙江高考)如图，设椭圆C:动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k，用a,b,k表示点P的坐标．(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.【解题提示】(1)将直线与椭圆方程联立,解得P点坐标.(2)表示出点到直线的距离,利用a,b,k之间的关系和基本不等式求出最大值.【规范解答】(1)设直线l的方程为y=kx+m(k<0,m>0),由消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0,由于l与C只有一个公共点,故Δ=0,即b2-m2+a2k2=0,所以解得点P的坐标为又点P在第一象限，故点P的坐标为(2)由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离d=因为所以当且仅当时等号成立.所以，点P到直线l1的距离的最大值为a－b.【规律方法】1.解决圆锥曲线中的取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.2.圆锥曲线中常见最值问题及解题方法(1)两类最值问题:①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.(2)两种常见解法:①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.提醒:求最值问题时,一定要注意对特殊情况的讨论.如直线斜率不存在的情况,二次三项式最高次项的系数的讨论等.【变式训练】(2015·杭州模拟)已知圆M：若椭圆C：的右顶点为圆M的圆心，离心率为(1)求椭圆C的方程.(2)若存在直线l:y=kx,使得直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点，点G在线段AB上，且|AG|=|BH|，求圆M半径r的取值范围.【解析】(1)设椭圆的焦距为2c,因为所以c=1,所以b=1,所以椭圆C：(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由直线l与椭圆C交于两点A，B，则所以(1+2k2)x2-2=0,则x1+x2=0,所以|AB|=点到直线l的距离则|GH|=显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y=kx就是y轴，矛盾，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，所以当k=0时，当k≠0时，又显然所以综上，【加固训练】已知抛物线C:y=x2.过点M(1,2)的直线l交C于A,B两点.抛物线C在点A处的切线与在点B处的切线交于点P.(1)若直线l的斜率为1,求|AB|.(2)求△PAB的面积的最小值.【解析】(1)设点A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知，直线l的方程为y=x+1,由消去y得x2-x-1=0,解得,所以|AB|=(2)易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x-1)+2,设点A(x3,y3),B(x4,y4).由消去y,整理得x2-kx+k-2=0,x3+x4=k,x3x4=k-2,又y′=(x2)′=2x,所以抛物线y=x2在点A，B处的切线方程分别为y=2x3x-x32,y=2x4x-x42.得两切线的交点所以点P到直线l的距离又|AB|==设△PAB的面积为S，所以(当k=2时取得等号).所以△PAB面积的最小值为2.热点专题突破系列(六)概率与统计的综合问题考点一统计与统计案例【考情分析】以实际生活中的事例为背景,通过对相关数据的统计分析、抽象概括,作出估计、判断.常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查,考查学生数据处理能力.【典例1】(2015·太原模拟)近几年出现各种食品问题,食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病.为了解三高疾病是否与性别有关,医院随机对入院的60人进行了问卷调查,得到了如下的列联表:(1)请将如图的列联表补充完整;若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人,其中女性抽多少人?(2)为了研究三高疾病是否与性别有关,请计算出统计量K2的观测值k,并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为三高疾病与性别有关.患三高疾病不患三高疾病总计男630女总计36下面的临界值表供参考:(参考公式K2=其中n=a+b+c+d)P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解题提示】(1)由问卷调查的情况,可补充完表格.(2)可利用随机变量K2确定,因此首先计算K2的观测值k.【规范解答】(1)在患三高疾病人群中抽9人,则抽取比例为所以女性应该抽取12×=3(人).患三高疾病不患三高疾病总计男24630女121830总计362460(2)因为K2的观测值k==10＞7.879,所以可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为是否患三高疾病与性别有关.【规律方法】利用独立性检验思想解决问题的步骤(1)依题意写出列联表.(2)依据列联表用公式计算K2的观测值k的值.(3)依据k的值以及临界值表确定问题的结果.【变式训练】(2015·济宁模拟)某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系,随机抽取了180件产品进行分析,其中设备改造前生产的合格品有36件,不合格品有49件,设备改造后生产的合格品有65件,不合格品有30件.根据所给数据:(1)写出2×2列联表.(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为产品是否合格与设备改造有关.【解析】(1)由已知数据得列联表如下:合格品不合格品总计设备改造后653095设备改造前364985总计10179180(2)根据列联表中数据，K2的观测值为k＝≈12.38，由于12.38＞10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下可认为产品是否合格与设备改造有关．【加固训练】(2015·蚌埠模拟)在全国汉字听写大赛之前,某地先进行了共十轮的选拔赛,某研究机构一直关注其测试选拔过程.第二轮选拔后有450名学生进入下一轮,该机构利用分层抽样的方法抽取了90人进行跟踪调查,得到第三轮是否通过的数据如下表所示:考试未通过考试通过总计男学生273663女学生91827总计365490(1)利用独立性检验估计第三轮通过与否与学生的性别是否有关?(2)估计全部450名学生通过第三轮测试的大约有多少人.(3)如果从第三轮测试通过的所有学生中利用分层抽样的方法抽取6名学生,然后从这6名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求这2名学生中至少有1名女学生的概率.附：K2=(其中n=a+b+c+d)P(K2≥k)0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.7063.8415.024【解析】(1)根据公式得:K2=≈0.71<1.323,所以我们认为是否通过第三轮测试与学生的性别无关.(2)由样本数据可知，学生通过第三轮测试的频率为=0.6.故450名学生中通过第三轮测试的大约有450×0.6=270(人).(3)根据表格，通过第三轮测试的男学生有36人，女学生有18人,由分层抽样可知，抽取的6名学生中男学生有4名，分别记为A,B,C,D,女学生有2名，分别记为1，2，从中任选2名的不同取法为{A,B},{A,C},{A,D},{A,1},{A,2},{B,C},{B,D},{B,1},{B,2},{C,D},{C,1},{C,2},{D,1},{D,2},{1,2},共15种.其中至少有1名女生的取法为{A,1},{A,2},{B,1},{B,2},{C,1},{C,2},{D,1},{D,2},{1,2}，共9种.所以所求事件的概率为考点二统计与概率分布列综合【考情分析】以现实生活为背景,利用频率估计概率,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率以及概率分布列等知识交汇考查,考查学生分析问题、解决问题的能力.【典例2】(2015·揭阳模拟)某学校900名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,抽取其中50个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[13,14),第二组[14,15),…,第五组[17,18],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)若成绩小于14秒认为优秀,求该样本中百米测试成绩优秀的人数.(2)请估计本年级900名学生中,成绩属于第三组的人数.(3)若样本第一组中只有一个女生,其他都是男生,第五组则只有一个男生,其他都是女生,现从第一、五组中各抽取2个同学组成一个实验组,设其中男同学的数量为ξ,求ξ的分布列和期望.【解题提示】(1)(2)先求频率,再求人数.(3)确定ξ的取值,再根据定义求分布列.【规范解答】(1)由频率分布直方图知,成绩在第一组的为优秀,频率为0.06,人数为:50×0.06=3.所以该样本中成绩优秀的人数为3.(2)由频率分布直方图知,成绩在第三组的频率为0.38,以此估计本年级900名学生中成绩属于第三组的概率为0.38,人数为:900×0.38=342.所以估计本年级900名学生中,成绩属于第三组的人数为342.(3)第一组共有3人，其中2男，1女，第五组共有50×0.08=4人，其中1男，3女，则ξ的可能取值为1，2，3.P(ξ=1)=P(ξ=2)=P(ξ=3)=所以ξ的分布列为所以E(ξ)=1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=ξ123P【规律方法】统计与概率分布综合问题的解题思路(1)找概率分布问题中随机变量的统计意义.(2)综合统计中相关图、表、数据明确相关联的随机变量的分布特征.(3)依随机变量的分布特征进一步解决相关问题.【变式训练】(2014·新课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2).②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用①的结果,求E(X).附:≈12.2.若Z～N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.【解析】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为

=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)①由(1)知,Z～N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.6826.②由①知,一件产品质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826.依题意知X～B(100,0.6826),所以E(X)=100×0.6826=68.26.【加固训练】为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门组织了一次知识竞赛,现随机抽取了某校20名学生的测试成绩,得到如图所示茎叶图:(1)若测试成绩不低于90分,则称为“优秀成绩”,求从这20人中随机选取3人,至多有1人是“优秀成绩”的概率.(2)以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数较多)任选3人,记ξ表示抽到“优秀成绩”学生的人数,求ξ的分布列及数学期望.【解析】(1)优秀成绩:4人；设优秀成绩人数为X,至多一人成绩优秀为事件A,P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝(2)由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率P＝.ξ所有可能的取值为0,1,2,3，显然则P(ξ＝i)＝E(ξ)=ξ0123P考点三期望与方差的综合应用【考情分析】以现实生活为背景,求某些事件的概率分布列、期望值以及方差,常与离散型随机变量、概率、相互独立事件、二项分布等知识交汇考查,考查学生分析问题、解决问题的能力.【典例3】(2014·湖北高考)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多1年的年入流量超过120的概率.(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?【解题提示】(1)先求出年入流量X的概率,根据二项分布,求出未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率.(2)分三种情况进行讨论,分别求出一台,两台,三台的数学期望,比较即可得到.【规范解答】(1)依题意，p1=P(40<X<80)==0.2，p2=P(80≤X≤120)==0.7，p3=P(X>120)==0.1.根据二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为=(2)记水电站年总利润为Y,①安装1台发电机的情形:由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5000,E(Y)=1×5000=5000.②安装2台发电机的情形:依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1=0.2;当X≥80时,两台发电机运行,此时Y=5000×2=10000,因此P(Y=10000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8;由此得分布列如下所以,E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840.Y420010000P0.20.8③安装3台发电机的情形:依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5000-1600=3400,因此P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2;当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y=5000×2-800=9200,因此P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7;当X>120时,三台发电机运行,此时Y=5000×3=15000,因此P(Y=15000)=P(X>120)=p3=0.1.由此得分布列如下所以,E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.Y3400920015000P0.20.70.1【规律方法】1.求数学期望值的方法(1)求离散型随机变量