大学文科数学-张国楚-定积分

第六章定积分求总量的问题1.（一）教学目标教学目标：要求学生掌握定积分的概念、微积分基本定理、非正常积分、定积分的应用；要求理解定积分的概念，会求定积分与非正常，能利用定积分解决一些几何问题；理解李善兰对我国近代数学发展所起的作用。2.（二）教学重点教学重点：定积分的概念和性质、微积分基本定理、定积分的换元积分法和分部积分法、定积分在几何学中的应用。3.（三）教学难点、教学时数教学难点：定积分的概念、定积分的换元积分法和分部积分法、非正常积分、微元法、定积分在几何学中的应用。

教学时数：本章总教学时数为10学时。

4.（四）教学内容§1特殊和式的极限——定积分的概念§2计算定积分的一般方法——微积分基本定理§3定积分的拓展——非正常积分§4定积分的魅力显示——在若干学科中的应用数学家启示录5.1.1抽象定积分概念的两个现实原型原型Ⅰ求曲边梯形的面积设f(x)为闭区间[a,b]上的连续函数，且f(x)≥0.由曲线y=f(x),直线x=a、x=b以及x轴所围成的平面图形(图6.1)称为f(x)在[a,b]上的曲边梯形的面积s.

xya=x0b=x0y=f(x)(图6.1)6.设质点m受力F的作用沿x轴由点a移动至点b,并设F平行于x轴(图6.2).如果F是常量,则它对质点所作的功为W=F(b-a)如果力F不是常量,而是质点所在位置x的连续函数那么F对质点m所作的功W应如何计算呢?我们仍按求曲边梯形面积的思想方法来进行.原型Ⅱ

求变力所作的功.oFab图6.27.定义设f(x)是定义在区间[a,b]上的有界函数,用点将区间[a,b]任意分割成n个子区间[xi-1,xi](i=1,2,…,n)这些子区间及其长度均记作△xi=xi-xi-1(i=1,2,…,n).在每个子区间△xi上任取一点,作n个乘积f()△xi的和式如果当,同时最大子区间的长度时,和式的极限存在,并且其极限与区间[a,b]的分割法以及的取法无关,则该极限值称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作即1.2定积分的概念8.⑵在连续变力F

(x)作用下,质点m沿x轴从点a位移到点b所作的功为F

(x)在[a,b]上的定积分,即定积分存在称为可积,否则称为不可积.原型Ⅰ和Ⅱ的问题可以简洁地表述为:⑴

连续曲线y=f(x)

≥0在[a,b]上构成的曲边梯形的面积为函数

y=f(x)

在[a,b]

上的定积分,即9.定积分的几何意义当f（x）≥0时，定积分的几何意义就是以曲线y=f（x），直线x=a、x=b以及x轴为边的曲边梯形的面积S；但若f（x）≤0，由定积分的意义可知，这时S为负值。对于一般函数f（x）而言，定积分S的值则是曲线在x轴上方部分的正面积与下方部分的负面积的代数和。如图6.3所示10.1.3求定积分过程中的辨证思维无论是求曲边梯形的面积,还是求变力作功,初等数学都无法解决,而高等数学可迎刃而解.定积分中的极限方法可以使有关常量与变量、变与不变等矛盾的对立双方相互转化，从而化未知为已知，体现了对立统一法则。同时也体现了否定之否定法则。11.1.4可积条件定理1（可积的必要条件）若函数f（x）在[a，b]上可积，则f（x）在[a，b]上有界。定理2（可积的充分条件）若f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，或者是闭区间[a，b]上的单调函数，或者是[a，b]上只有有限个间断点的有界函数，则f（x）在[a，b]上可积。12.定理3（对积分区间的可加性）有界函数f（x）

在[a，c]、[c，b]上都可积的充要条件是f（x）

在[a，b]上可积，且定理2若f（x）、g（x）

在[a，b]上可积，则f（x）±g（x）

在[a，b]上也可积，且定理1若f（x）在[a，b]上可积，k为常数，则kf（x）

在[a，b]上也可积，且1.5定积分的性质13.定理5（有界性）设m，M分别是f（x）在[a，b]上的最小值和最大值。若f（x）在[a，b]上可积，则定理4（保序性）设f（x）与g（x）为定义在[a，b]上的两个可积函数。若f（x）≤g（x）,则14.定理6（定积分的绝对值不等式）若f（x）在[a，b]上可积，则在[a，b]上也可积，且定理7（积分中值定理）若函数f（x）在[a，b]上连续，则在[a，b]上至少存在一点，使得15.作业必作题：用定积分的定义计算选作题：习题6第一题。思考题定积分的定义中主要体现的数学思想是什么？16.定理1若函数f（x）在[a，b]上连续，则由变上限定积分定义的函数在[a，b]上可导，且2.1微积分基本定理即函数是被积函数f（x）在[a，b]上的一个原函数。17.也是f(x)的一个原函数,而这两个原函数之差为某个常数，所以证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据定理1，在上式中令x=b，就得到所要证明的公式得C=F(a).于是定理2设f(x)在[a,b]上连续,若F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则(6.7)公式(6.7)称为牛顿－莱布尼茨公式若令x=a，则因18.由于是的一个原函数,应用公式(6.7)有例1计算解19.2.1定积分的换元积分法和分部积分法定理1（定积分换元积分法）若函数f(x)在[a,b]上连续，函数满足下列条件：（2）在上有连续导数则有定积分换元公式（1）20.x=asint，t∈[0，]，则dx=acostdt当t从0变到时，x从0递增到a，故取应用公式（6.8）,并注意到在第一象限中cost≥0,则有例2计算解令21.解令u=sint,则du=costdt.当t由0变到时,u从0递增到1.应用换元公式(6.8)有例3计算

22.定理2（定积分分部积分法）若u，v是[a，b]上具有连续导数的函数，则23.例5计算

例4计算

解解24.

作业必作题习题6第二题、第四题、第五题。选作题习题6第三题。思考题1、定积分的换元积分法中应注意的事项？2、微积分的基本定理主要解决了定积分的什么问题？25.定义：设函数f(x)定义在无穷区间[a,+∞]上，且在任何有限区间[a，A]上可积，如果存在极限则称此极限J为函数f（x）在[a,+∞]上的无穷限反常积分，简称无穷限积分，记作J=§3定积分的拓展——非正常积分

并称收敛。如果极限不存在,则称无穷限积分发散.26.无穷限积分的几何意义若f(x)≥0,则无穷限积分收敛的几何意义是,图(6.7)中介于曲线y=f(x)、直线x=a及x轴之间向右无限延伸的阴影区域有面积,并以极限的值作为它的面积.27.解任取实数a,讨论如下两个无穷限积分：

例讨论积分由于因此,该积分收敛,且与的敛散性28.作业选作题习题六第六题。思考题检查下面计算过程对不对？为什么？请给出正确解法。

29.4.1微元法设f（x）是区间[a，b]上的连续函数，为求与f（x）有关的某一总量Q，首先选取任意小的代表区间[x，x+dx][a，b]。一般说来，该小区间左端点x处的函数值f（x）与区间长dx的乘积f（x）dx即为总量Q的微小增量△Q的近似值△Q≈f（x）dx，∪定积分的所有问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”三个步骤把所求量表示为定积分的形式。但为简洁求实用，常常简化为“微元法”。30.并且f（x）dx就是总量Q的微元（即Q的微分）dQ，即dQ（x）=f（x）dx其次，把总量Q的微元dQ（x）=f（x）dx在区间[a，b]上求和，写出定积分，即求得所求的总量Q，即上述求总量Q的方法称为微元法。31.4.2在几何学中的应用平面图形的面积由截面面积求立体体积32.平面图形的面积一般地，求由两条连续曲线y=f（x）（x≥0）及直线x=a，x=b（a＜b）所围成的平面图形的面积，如图（图6.8）所示,可在区间[a，b]内任取两点x，x+dx,作出图中的阴影矩形,则面积微元为xyoabxx+dxy=f(x)y=g(x)图6.8于是所求面积为33.例1求由正弦曲线y=sinx与直线x=0，y=0及x=所围成图形的面积.oxyy=sinx图6.9首先画草图(图6.9),解其面积为34.例2求抛物线与直线x-2y-3=0所围的平面图形的面积.求出抛物线与直线的交点P（1，-10与Q（9，3）,把平面图形分成两部分,-1os1

S2p91xy图6.10解首先画草图(图6.10),则有于是35.由截面面积求立体体积设为一空间立体,它夹在垂直于x轴的两平面x=a及x=b之间（a＜b）(图6.11),求其体积V.现用微元法导出由截面面积函数求空间立体体积的公式.在[a，b]内任取相邻两点x与x+dx,过这两点分别作垂直于x轴的平面,则从上截出一薄片.设x处截面面积函数为A(x),由于A(x)的连续性,当dx

很小时,以底面积为A(x),高为dx

的薄柱体体积就是体积微元dV=A（x）dx.36.它是薄片的体积△V的近似值,即△V≈dV=A(x)dx从而有37.例3求椭圆绕x轴旋转一周所形成的椭球的体积V.解由椭圆方程则得当a=b=R时,得半径为R的球体体积公式38.4.3在物理学中的应用

——变力作功设物体在变力y=f(x)作用下,沿x轴正向从点a移动到点b,求它所作的功W.在[a,b]上任取相邻两点x和x+dx,则力f(x)所作的微功为dW=f(x)dx,于是得39.例4根据虎克定律,弹簧的弹力与形变的长度成正比.已知汽车车厢下的减震弹簧压缩1cm需力14000N,求弹簧压缩2cm时所作的功.解由题意,弹簧的弹力为f（x）=kx(k为比例常数),当x=0.01m时f(0.01)=k×0.01=1.4×10000N,由此知k=14000000,故弹力为f(x)=1400000x.于是即弹簧压缩2cm时所作的功为280J.40.作业必作题习题六第七题、第八题第一小题。选作题第八题第二小题。思考题微元法体现的辨证思想方法是什么？41.微积分学在中国的最早传播人

——李善兰

李善兰（1811—1882）是我国清代数学家，原名心兰，字壬叔，号秋纫，浙江海宁县硖石镇人.他曾任苏州府幕僚,1868年被清政府谕召到北京认同文馆数学教授,执教13年.李善兰对尖锥求积术、