2024届一轮复习北师大版 直线与圆锥曲线的综合问题 作业

2024届一轮复习北师大版直线与圆锥曲线的综合问题作业1.已知椭圆x236+y29=1以及椭圆内一点P(4,2),A.-12 B.12 C.-2 D答案A2.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1 B.x=-1C.x=2 D.x=-2答案B解析抛物线的焦点为Fp2,0,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-p2即x=y+p2,代入y2=2px消去x得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0,由根与系数的关系得y1+y22=p=2(y1,y2分别为点所以抛物线的标准方程为y2=4x,准线方程为x=-1.3.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与直线y=3xA.(1,2) B.(1,2]C.(1,5) D.(1,5]答案B4.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,A.1 B.2 C.3 D.2答案B5.已知过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段答案2解析设A(x1,y1),B(x2,y2),x∴(x1∴y1-y∵y1-y2x1-x2=-12,x1∴-b2a2∴a2=2b2.又b2=a2-c2,∴a2=2(a2-c2),∴a2=2c2,∴e=ca6.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2答案(1,5)解析由过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线∴e=ca=a2∴1<e<5,∴此双曲线离心率的取值范围为(1,5).等级考提升练7.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,A.1 B.2C.3 D.2答案B解析∵c2=a2-b2=16-4=12,∴c=23.∴椭圆的右焦点F(23,0).∴设过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线为my=x-23,其中m=1k设A(x1,y1),B(x2,y2),联立my=x-23,x216+y24=1,消去x∴y1+y2=-43m4+m2,y1∵AF=3FB,∴-y1=3y2,把以上三式联立消去y1,y2,得m2=12,∴1k2=12,即k2=2又k>0,∴k=2.8.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52,过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A,B两点,A.-13或13C.2 D.1答案B9.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),AF=3FB,过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G,则△ABG的面积为()A.839 BC.3239 D答案C解析设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AF=3FB,所以y1=-3y2,设直线l的方程为x=my+1,由y2=4x,x=my+1,消去x∴y1y2=-4,∴y1=23,y2=-23∴m=33,∴x1+x2=103,AB的中点坐标为53,233,过AB中点且垂直于直线l的直线方程为y-233=-33x-53,令y=0,可得x=113,∴S△ABG=12×113-110.(2023浙江高三二模)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,且满足AF2=2F2A.12 B.33 C.32答案B11.(多选题)已知B1,B2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的下顶点和上顶点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点PA.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-aB.PB1C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为aD.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线答案BC解析设P(x0,y0),x02a2+y02b2=∵点P在圆x2+y2=b2外,∴x02+y∴PB1·PB2=(-x0,-b-y0)·(-x0,b-y0)=x当点P在长轴的顶点上时,∠B1PB2最小且为锐角,设椭圆的右顶点为A,△PB1B2的外接圆半径为r,由正弦定理可得2r=2b∴r≤a2∴△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b直线PB1的方程为y+b=y0+bx0x,直线QB2的方程为y-b=y0-b-x0x化为y2b2-x2a2=1,由于点P不与B1,B2重合,12.设双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则答案3213.在直角坐标系xOy中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2.(1)求点M的轨迹C的方程;(2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点.(1)解设M(x,y),又A(-2,2),B(2,2),则kAM-kBM=y-2可得x2=2y(x≠±2),则M的轨迹C的方程为x2=2y(x≠±2).(2)证明设Pm,m22,Qn,n22,m≠±2,n≠±2,又A(-2,2),可得kAP·kAQ=m22即有mn-2(m+n)=-12,即mn=2(m+n)-12,直线l的斜率为kPQ=m2可得直线l的方程为y-m22=化为y=m+n2可得y-6=m+n2可得直线l恒过定点(2,6).新情境创新练14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63(1)求椭圆C的方程;(2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求△OAB(O为原点)面积的最大值.解(1)根据题意知:离心率e=63,可得ca=63,即c2a2=23,因为c2=a2-b2,又由椭圆C经过点32,-32,代入可得(32)

2a联立a2=3b2,34a2+3(2)由题意,易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+2,联立y=kx+2,x23+y2=1,消去y得(1+因为直线AB与椭圆C相交于A,B两点,所以Δ=(12k)2-4×9(1+3k2)>0,得k2>1,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-12k1+3k2,x1x