浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（原卷版）

绝密★考试结束前2023学年第一学期浙南名校联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知方程表示半径为1的圆，则实数（）A2 B.1 C. D.2.在空间直角坐标系中，点，点B关于y轴对称的点为C，则=（）A. B. C. D.23.已知直线l的一个方向向量，且过点，则直线l的方程为（）A B. C. D.4.抛物线的焦点为F，且抛物线C与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则（）A.2 B.1 C. D.5.已知长方体，，，则直线与直线所成角的余弦值为（）A. B. C. D.6.已知圆与圆相交于A，B两点，则=（）A. B. C. D.7.双曲线左、右焦点分别为F₁、F₂，A为双曲线C左支上一点，直线与双曲线C的右支交于点B，且，则（）A. B.26 C.25 D.238.有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（）A.2 B.3 C.4 D.5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知直线，，则（）A直线过定点 B.当时，C.当时， D.当时，之间的距离为10.某环保局对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若连续10天，每天空气质量指数（单位：μg/m³）不超过100，则认为该地区环境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标.根据连续10天检查所得数据的数字特征推断，环境治理一定达标的地区是（）A.甲地区：平均数为80，众数为70B.乙地区：平均数为80，方差为40C.丙地区：中位数为80，方差为40D.丁地区：极差为10，80%分位数为9011.已知抛物线的准线与x轴交于点D，O为坐标原点，点A，B是抛物线C上异于点O的两个动点，线段AB与x轴交于点T，则（）A.若T为抛物线C的焦点，则线段AB的长度的最小值为4B.若T为抛物线C的焦点，则为定值C.若△AOT与△BOT的面积之积为定值，则T为抛物线C的焦点D.若直线DA和直线DB都与抛物线C相切，则T为抛物线C的焦点12.己知椭圆的左，右焦点分别为，，圆，点P在椭圆C上，点Q在圆M上，则下列说法正确的有（）A.若椭圆C和圆M没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是B.若，则的最大值为4C.若存在点P使得，则D.若存在点Q使得，则非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知一个圆柱上、下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为5，圆柱底面直径为4，则圆柱的侧面积为______.14.已知直线与圆，则圆C上到直线l距离为1的点有______个.15.椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，.点O是坐标原点，点A是椭圆的左顶点，的中点M为双曲线的左顶点，设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足，则椭圆的离心率______.16.点P是长方体内的动点，已知，Q是平面BC₁D上的动点，满足，则的最小值是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆.（1）求过圆心C且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；（2）直线与圆C相交所得的弦长为4，求实数b的值.18.某用人单位招聘毕业大学生设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试.笔试有两次机会，若第一次笔试通过，则进入面试环节，若没有通过，进行第二次笔试，两次笔试相互独立，若第二次笔试通过则进入面试环节，若仍不通过，则淘汰不予录用.面试只有一次机会，通过后即可录用.已知考生甲通过笔试的概率均为，通过面试的概率为.考生乙通过笔试的概率均为，通过面试的概率为.记“甲被录用”为事件A，“乙被录用”为事件B，事件A，B相互独立.求：（1）；（2）甲乙两人恰有一个人被该用人单位录用的概率.19.平面上的动点到定点的距离等于点P到直线的距离，记动点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）直线与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点为M.是否存在这样的直线l，使得，若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由.20.已知三棱柱ABCA₁B₁C₁满足AC=BC=1，∠ACB=90°，∠A₁AC=60°，顶点A₁在平面ABC上的射影为点B.（1）证明：AC⊥平面A₁BC；（2）点M为A₁C₁的中点，点N为BC的中点，求直线CM与平面ANB₁所成角的正弦值.21.已知双曲线，斜率为k的直线l过点M.（1）若，且直线l与双曲线C只有一个交点，求k的值；（2）已知点，直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线的斜率分别为，若为定值，求实数m