一维无限深势阱的动量几率幅和等式型不确定关系

()大理学院荷花校区物理系,云南大理均根动量.()中图分类号:O41311文献标记码:A文章编号:04ΔΔ普遍形式的不拟定关系px?h?/2x()ΔΔ体状况下如单缝衍射、一维无限深势阱、一维谐振子和氢原子等等px终究等于什么这个问题,在1把坐标原点取在势阱壁上,并使坐标轴指向另一阱壁,则宽度为0,0<x<a;()函数x=根据薛定谔方程能够解出势阱中粒子的波函数?,x?0,x?aπ2/asinnx/a,0<x<a,n=1,2,3,;ψ()x=0,x?0,x?a.+?aπ2na22ψ()x?=x|x|dx=xsindx.x=??2a-aa+?2π11a2n22sinxdx-x-=a.22?2aa0π122n-11Δ()x=1-a.2212π2ΔΔ)(可见,x随量子数n的增大而增大,当n??时,x?a/2n对于粒子被关在宽度为a的刚性直壁阱内这种典型情形,粒粒子位置的不拟定范畴就等于a/23.对于上面讨论的这种状况来说,典型规律是量子规律在n03Y650A()作者介绍:罗凌霄1964—,男,副专家,理学学士2()ψ为方便起见,我们以p代表动量在x轴上的投影动量的本征函数及其共轭复数分别为x=xpii11px3-pxh?h?ψ(和x=eep1/21/2π(π()2h?a+?iπ12nx-px3h?ψψ()()=xxdx=esindx=cpp1/2??(πaa)-?02h?(π)cosn+pa/h?11211-+-1/2πππ2n/a+p/h?n/a+p/hn/a-p/h)??(π)(π)(π)sinn+pa/h?n-pa/h?sinn-pa/h?cos+i-πππn/a-p/hn/a+p/hn/a-p/h122413cc=++-pp22π(π)(π)2h2a?n/a+p/h?n/a-p/h?(π)(π)n/a+p/h?n/a-p/h?(π)(π)(π)2cosn+pa/h?2cosn+pa/h?2cosn-pa/---2(π)(π)(ππ))(n/a+p/h?n/a-p/h?n/a+p/h?n/a-p/h?(π)n/a+p/h?12(π)sinpa/h-n?(π)n-pa/han212cos?×-=22pa/h?+n2h?1(π)n/a-p/h?(π)pa/h?-n12(π)sinpa/h?+n21)(×2.2πpa/h-n?1(π)pa/h+?333?0,因此平均动量p?=pccdp=0,于是动由于是奇函数,并且当|p|??时,pccpppppp+?+?2332=p?,()pccdp3pp?-?-2Δ()p,p=1122(π)(π)sinpa/h?-nsinpa/h?+n+?+?22dpdp)5=-.22π?π?pa/h-n?11pa/h?+n-?-?(π)(π)pa/h-npa/h+n??22()()根据2式和512(π)sinpa/h?-n+?+?2dp3ccdp=an/h?=pp2??π1pa/h?+n-?-?(π)pa/h-n?2112(π)(π)sinpa/h?-ndpa/h?-n+?22n.2?11-?π)(π)πpa/h?-npa/h?-n+n2n6式仍然成立.因此,当n取非零整66()()把2式代入3式,得1122(π)(π)sinpa/h?+n-sinpa/h-n?22+?+?an2pdp2pdp2(Δ)p=+.22?π?π2?h1pa/h?+n1pa/?h-n-??(π)(π)pa/h?-npa/h?+n212(π)sinpa/h?-n2+?2pdpan2(Δ)p=.2?πh1pa/h+n??-?(π)npa/h-?21(π)τ令pa/h?-n=,则222222+?+?+?2ττπ)πτττsin4nh?sin[+n/2]4nh?1sind22(Δ)pτπττ=d=d+n.22222τπτπ?+n??+n4τττ-?-?-?aa22ττsinsinτττ()是奇函数,并且当||??时,?0因此第一项积分等于零.再把6式代入其中,由于2222πnh?2(Δ)得p=,故动量不拟定范畴2πnh?Δ)(p7=.可见,阱中粒子动量的不拟定范畴与量子数n成正比,与阱的宽度为a的刚性直壁阱内这种典型情形,由于粒子的动量只能取p和-p并且取p和-p的几率各为1/222()Δpp.与4式比较懂得,仅因此粒子的平均动量p?=0方均根动量=p,动量的不拟定范畴p但是,按典型规律,p能够连()ΔΔ续取值,因此p=p也能够持续取值,然而按量子规律7式ΔπΔ典型规律毕竟不同.但是,当a??时,相邻两个p值的差别h?/?0,此时pa3一维无限深方形势阱中粒子的等式型动量-位置不拟定关系()()根据1式和722πh?nΔΔ()px=8-2,32π()ΔΔΔΔ(ΔΔ)/3-2h/2111357??可见px随的增大而增大,并且没有上限.px的最小值px=×h?2h?24λλ根据德布罗意公式=h/p和驻波条件a=n/2能够推出πnh?()=9p.πnh?2()()()=,与9我们根据德布罗意公式和驻波条件根据4式和7式得到方均根动量5结论()根据8式懂得,ΔΔΔΔ与量子数n密切相关,n越大,px也就越大,并且没有上限.但是px111357h?/2,比普遍形式的不确实关系给出的下限h?/2数有关的等式型关系式,是一件令人愉快的事情.些特殊状况的等式型不拟定关系也同样能够被推导出来.()1马文蔚.物理学教程下册M.北京:高等教育出版社,.189—2周世勋.量子力学教程M.北京:高等教育出版社,1979.81—ThemomentumprobabilityamplitudeandtheformuncertaintyrelationofonedimensionalinfinitewellLUOLing2xiao()DepartmentofPhysics,DaliCollege,Dali671000Abstract:Themomentumprobabilityamplitudeandtheequalityformuncertaintyrelationofonedimensionalinfinitewellaregiven,aanomalousintegralformulaisdeduced,itshowthatthemomentumreckonedfromdeBroglieformulaandsta